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1、奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 1 页磁场一、恒定电流的磁场1、直线电流的磁场通有电流强度为I 的无限长直导线，距导线为R 处的磁感应强度为：RIB20；如下图距通有电流强度为 I 的有限长直导线为R 处的 P点的磁感应强度为：)cos(cos40RIB-若 P 点在通电直导线的延长线上，则R=0=0=无法直接应用上述式子计算，可进行如下变换lRdd21)sin(2121上式中1d、2d分别为 P 点到 A、B 的距离，l为直导线的长度所以：lddR)sin(21代入式得：)sin(coscos4210ddIlB令2sin2cos2cos2sin22cos2cos2)sin(coscosy将=0=
2、代入上式得0y所以：在通电直导线的延长线上任意一点的磁感应强度为0B2、微小电流元产生的磁场微小电流元的磁场，根据直线电流的磁场公式)cos(cos40rIB得：奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 2 页若、都是锐角，如左图，有：)cos(cos40rIB=)sin(sin4210rI因1、20，所以)sin(sin4210rIB)(4210rI所以：rIB40若、中有一个是钝角，如（右图），则：sin)sin(cos4)cos(cos400000rIdIB-00000sinsincoscossinsin)sin(因0，所以：0000coscossinsin)sin(-式代入式得：rIB40总上所述，
3、电流元 I 在空间某点产生的磁场为：rIB40，式中r为电流元到该点的距离，为电流元端点与该点连线张开的角度。3、环形电流的磁场半径为 R 的圆环通有电流I，则、环心处的磁场：RIRIRIB244000奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 3 页、在垂直于环面的轴线上，距环心为x处的磁场：rIrIBBi4sinsin4sin00-22xRr-22sinxRR-2222xRRrR-将代入得：232220)(2xRIRB结论：半径为R 的金属园环，其内通有电流I，则在过环心垂直于园环面的直线上与环心距离为x的一点，磁感应强度为：232220)(2RxIRB若0 x，即环心处的磁感应强度为：RIB204、磁极
4、子在轴线上距其中心为x的点产生的磁场为：302 xpBm磁极子在平行与其平面距中心为x的点产生的磁场，以边长为L、通电电流为I 的磁极子为例：)5.05.0(40LxLxIB22025.04LxLI因Lx，所以，xL，代入上式，并略去二级无穷小量，得：304 xpBm以上结论可推广到其它磁极子。有一磁极子，磁矩为mp，p 点距磁极子距离为x，p 点与磁极子中心连线与磁极子轴线成角，求 p 点的磁场根据磁极子在轴线上和在平行与其平面的某点产生的磁场公式可得p 点磁场的两个分量分别为：奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 4 页xB302cosxpmyB304sinxpm22yxBBB2230cos4sin
5、4xpm5、无限长直螺线管的电流的磁场若无限长直螺线管单位长度的匝数为n，通有电流 I，则螺线管内部的磁感应强度B1、螺线管端口的磁感应强度B2分别为：nIB01nIB0221例 1、水平放置的边长为L 的正三角形导线框内通有恒定电流I，求以该正三角形为底面的正四面体的顶点的磁感应强度例 2、边长为L 的正方形线圈通有电流I，求（1）正方形中心处的磁感应强度为多少?（2）过正方形中心垂直于线圈平面的轴线上一点P 距正方形中心为x，P 点的磁感应强度为多少？若 xL，求 P 点的磁感应强度的近似值。例 3、对磁现象的成功解释最早是由安培提出来的，按照安培的计算，长直细导线通过恒定电流I，并被弯成
6、“V”形，半张角为，如图所示。在“V”形导线包围面以外对称轴上的P 点（OP=d）的磁感应强度 B 的大小正比于2tan。安培的研究后来被总结到麦克斯韦电磁理论中而被普遍接受。求（1）P 点的磁感应强度B 的方向奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 5 页（2）按照安培的研究，P 点的磁感应强度B 的大小为：2tankB，?k（3）p/点是对称轴上与P点关于顶点O 对称的点，P/点的磁感应强度的大小为多少？例 4、有一无限长的金属圆筒，今在圆筒中沿轴线方向通入均匀电流，试证明在筒内任意一点的磁感应强度都为零。例 5、在半径为R 的木球上紧密的绕有细导线，相邻线圈可认为相互平行，以单层盖住半个球面，如图所
7、示。导线中通有电流I，线圈总匝数为N，试按以下两种情况求球心处的磁感应强度。（1）线圈沿球的半径方向均匀分布（2）线圈沿球的弧面方向均匀分布奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 6 页例 6、一根很长的直长铜导线，载有电流I，导线的横截面半径为R，在导线内以轴线为边界，沿半径方向做一个平面S，如图所示。求通过每米导线内S 平面的磁通量。例 7、（1）电流均匀地通过宽为2d 的无限长平面导体薄板，电流强度为I。通过板的中心并与板面垂直的直线上有一点P，P 到板的距离为x，不计板的厚度，求P 点的磁感应强度。（2）无限大的导体平面，以面电流密度i均匀通有电流，求空间一点的磁感应强度。（3）厚度为 2d 的无
8、限大导体平板，电流密度为j，求空间一点的磁感应强度。例 8、如图所示，一半径为R 的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值同向，电流强度为I，均匀分布。求（1）轴线上直导线单位长度所受的力（2）若用另一无限长直导线（通有与半圆柱面导体相同的电流）代替半圆柱面导体，产生同样的作用力，该导线应放在何处？奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 7 页例 9、将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，平面中电流方向垂直于纸面向里。已知平面两侧的磁感应强度分别为B1、B2，如图所示。求该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小和方向。例 10、在半径为R 的无限长均匀金属圆柱体内平行于
9、轴线挖去一半径为r 的无限长圆柱体，两圆柱体轴线间距离为a，今在此空心导体中沿轴线通一均匀电流I，求空心部分的轴线上任意一点的磁感应强度。例 11、真空中有一个无限长的薄壁导体圆筒，截面半径为R，通以均匀恒定的电流I，将其沿轴线切成两半，分开一极小距离，设电流分布不变，试求其中一部分上L 长度的电流受到的安培力。例 12、半径为 R 载有电流 I1的导体圆环与载有电流I2的无限长直导线AB 共面。AB 通过圆环的铅直直径且与圆环彼此绝缘。求圆环所受的力。奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 8 页例 13、（1）如图所示，两个完全相同的导体环A、B 的中心都在Z 轴（竖直方向）上，两环面平行且水平，分别
10、位于Z=h 的平面，为使两环相互排斥，它们通的电流方向相同还是相反？（2）一个通有电流的导体园环，能够不用任何机械的情况下飘浮在水平的超导平面之上。假设平面 Z=0就是一个水平的超导平面，A 是一个通有电流的导体园环，它的质量为m，半径为 r（rh），求 A 平衡时距离超导平面的距离。（3）如果 A 环在竖直方向上微振动，求其振动周期。例 14、长同为 L、质量同为m 的两根细长匀质导体棒，与两根自由长度同为l0（l0L）、劲度系数同为 k 的轻质金属弹簧连接成如图所示的系统，并将该系统放在光滑绝缘的水平面上，设法使系统内通有稳恒电流I,在两棒达平衡状态后将它们各自左右对称的稍稍偏离平衡位置，
11、而后两棒将对称的在各自平衡位置两侧附近振动，试求其振动周期。奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 9 页例 15、将截面半径为r=9.85cm 的铜管插进另一个截面半径为R=10cm 的等长的铜管中，两管之间留有均匀的 d=1.5mm 的缝隙，在缝隙中充满变压器油，油的相对介电常数为=5。两管的轴水平，并垂直于磁子午线，细铜管内有一小磁针，它可以在水平面内自由旋转。两铜管构成的电容器用静电机充电至30kV，外管开始以f=50r/s 的转速匀速转动，求磁针偏离磁子午面的角度。已知地磁场的水平分量为Bz=210-5T，真空中的磁导率与介电常数之积满足：2001c，c为光速，该问题中认为铜管长度远大于其半径，
12、两铜管构成的电容器可近似使用平行板电容器公式。二、带电粒子在磁场中的运动（一）用运动分解法解决带电粒子在磁场中的运动问题例 1、如图所示，光滑绝缘水平面上，有一质量m，带电量为+q 的小球，该空间有场强为E 水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B.现将小球由静止释放，求小球运动中的最大速率。奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 10 页例 2、如图所示，磁感强度为B 的水平匀强磁场的上边界为水平线MN，边界线 MN 以下磁场分布范围较宽，今有一质量为m、带电量为 q 的正电粒子以速度0竖直向下射入磁场中，粒子重力不可忽略，求粒子向下运动的最大距离及粒子从磁场中飞出点与入射点之间的距离。
13、例 3、如图所示，在真空中建立一坐标系xoy-z，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，z轴正方向垂直于纸面向里，在Ly0的区域内有沿z轴正方向的匀强磁场，mL8.0，TB1.0。今把一何质比kgCmqk/50的带正电质点在0 x、my20.0、0z处由静止释放，将带电质点经过原点的时刻定为0t的时刻，求带电质点在磁场中任一时刻t的位置坐标，并求它刚离开磁场时的位置和速度。取2/10smg奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 11 页例 4、如图所示，磁感强度为B 的匀强磁场有一水平的上边界，质量为m、带电量为+q 的微粒（重力不能忽略）从边界上 O 点以与边界成 角方向，大小为 0的速度斜向上射出，
14、微粒运动一段时间后恰好经过边界上的P 点，已知 OP=L，试讨论物理量m、q、B、0应满足的条件。（二）综合性问题例 1、如图所示，在一磁感强度为B 的无限大的匀强磁场中，一个粒子质量为m、电量为-q，在匀强磁场中运动，这个粒子在运动过程中受到大小恒为F 的阻力作用。现在从y 轴上 P 点沿 x 轴正方向发射这个粒子，初速度大小为0，不计重力，设OP=qBmv0，问：（1）粒子发射后作什么运动？（2）粒子的这种运动可用一种什么样的力学模型来模拟？奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 12 页（3）若粒子的初速度为)323(0qBFv，求粒子从发射到第一次到达x 轴的时间和位置。例 2（15 届决赛）、如
15、图所示，在半径为R 的圆形平面内分布有匀强磁场，磁场方向与圆面垂直且指向纸外，圆面的周界是一刚性的圆环。SD 是圆环的一条直径，一束质量和电量都相等的带正电的粒子以不同的速度沿垂直于磁场的方向从S点射入磁场，速度方向与SD 的夹角不超过300，粒子的重力不计。已知这种粒子在该磁场中做匀速圆周运动的周期为T.在 D 点圆环上有一小孔，只要粒子到达D 点，该粒子就从小孔穿出磁场区域。设粒子与圆环的碰撞为完全弹性的，每次碰撞后粒子的电量都不变，不考虑粒子间的相互作用与相互碰撞。求满足以下条件的那些粒子在射入磁场时的速度的大小和方向。粒子在磁场内运动的总时间为T 且与圆环的碰撞不超过6 次，其中最后一
16、次“碰撞”是正好到达D 点。奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 13 页例 3、（16 届决赛）围绕地球周围的磁场是两极强，中间弱的空间分布。1958 年，范阿伦通过人造卫星搜集到的资料研究了带电粒子在地球磁场空间中的运动情况后，得出了在距地面几千公里和几万公里的高空存在着电磁辐射带（范阿伦辐射带）的结论。有人在实验室中通过实验装置形成了如图所示的磁场分布区域MM/，在该区域中，沿z 轴从左到右由强变弱再变强，对称轴为PP/。已知 z 轴上 O点的磁感应强度大小为B0，两端的磁感应强度大小为BM，现有一束质量均为m、电量均为q、速度大小均为 0的不计重力的粒子，在O 点以与 z 轴成不同的投射角向右半
17、空间发射。设磁场足够强，粒子只能在由紧邻z 轴的磁感线围成的截面积很小的“磁力管”内运动。试分析说明具有不同的投射角的粒子在磁场区域的运动情况。提示：在理论上可以证明：在细“磁力管”的管壁上粒子垂直磁场方向的速度v的平方与“磁力管”轴上的磁感应强度的大小B 之比为一常数。奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 14 页例 4、如图所示，S 为一粒子发射源，它均匀地向各个方向持续发射质量为m、电量为q 的正粒子（不计重力），发射速率恒为 0，在发射源 S 的旁边有一半径为R 的圆屏，沿 SO方向加一磁感强度为B的匀强磁场，发射源到圆屏的垂线恰好过圆屏的中心，则打在圆屏上的粒子占总发射粒子的比例是多少？例 5
18、、空间有半径为R、长度 L 很短的圆柱形磁场区域，圆柱形的轴为x 轴，磁场中任意一点的磁感应强度都与到x 轴的距离 r 成正比，即B=kr，k 为常数。磁场关于x 轴有轴对称性，磁感线是以x 轴为中心的圆形。一簇质量为m、电量为 q 的正粒子（不计重力），以平行于x 轴的很大的速度 穿过该磁场。试分析粒子穿过磁场后的运动情况。例 6、在云室中，有如图所示方向的匀强磁场，一质子在其内做半径为r1的匀速圆周运动。现有一未知粒子沿x 轴方向进入云室，并与质子发生完全弹性碰撞，碰后未知粒子朝与x 轴、y 轴均成 450角方向做匀速直线运动，质子则绕半径r2的新轨道做匀速圆周运动，且r1和 r2恰成黄金
19、分割，问未知粒子是什么？奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 15 页例 7、在 xyz 坐标系中，质量为m、电量为-q 的不计重力的带负电粒子，从坐标原点O 以速度 射出，的方向在 yOz 平面内，与y 轴正向成 300角，如图所示。要使粒子经过点A（a、0、a），空间存在沿 OA 方向的匀强磁场，求磁感应强度的大小。例 8、一不计重力的带电粒子，以一定速度射入某一区域，粒子受到的空气阻力大小与其速度成正比，粒子停止运动前运动的距离为10cm，保持粒子的初速度不变，在该区域垂直于粒子运动方向加一匀强磁场，结果，粒子停止运动时与入射点相距6cm，若把磁感强度的大小减小为原来的一半，其它条件不变，则粒子停止运动时与入射点相距多远？奥林匹克物理竞赛辅导磁场第 16 页例 9、如图所示，一窄束单能（动能为定值）氩离子通过一扇形匀强磁场，图中060，此束射线在进出磁场时离子束的轴线都与磁场的边界垂直。求质量数为361m和402m的氩同位素离子束的发散角。