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1、45 自感磁场的能量451、自感(1)自感电动势、自感系数回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。在自感现象中回路产生的电动势叫自感电动势。由法拉第电磁感定律tn这里磁通是自身电流产生磁场的磁通，按照毕奥萨尔定律，线圈中的电流所激发的磁场的磁感应强度的大小与电流强度成正比。因而应有tIt/。根据法拉第电磁感应定律，可得自感到电动势tIL自式中 L 为比例系数，仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关，称为自感系数。在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。式中负号表示自感电动势的方向。当电流增加时，自感电动势与原有电流的方向相反；当电流减小时，自感电动势与原有电流的方向相同
2、。要使任何回路中的电流发生改变，都会引起自感应对电流改变的反抗，回路的自感系数越大，自感应的作用就越强，改变回路中的电流也越困难。因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。(2)典型的自感现象及其规律如图 4-5-1 所示电路由电感线圈 L和灯泡A，以及电阻 R和灯泡 B组成两个支路连接在一个电源两端。A、B灯泡相同，当 K闭合瞬时，LA支路L A B R K 图 4-5-1t O I1I感图 4-5-2中，由于 L 的自感现象，阻碍电流增大，所以A不能立即发光，而是逐渐变亮，而 B立即正常发光。当稳定后，电流不再变化时，L 只在电路中起一个电阻的作用。流过 LA支路的电流1I，此时 L
3、中贮存磁场能为2121LIW(在后介绍)当 K断开瞬间，L 中电流要减小，因而会产生自感电动势，在回来 LABR中产生感应电流，从能量观点来看，L 释放线圈中磁场能，转变成电能消耗在回路中，所以A、B灯泡应是在 K断开后瞬间逐渐熄灭，其回路中电流时间变化如图 4-5-2 所示。452、磁场的能量见图 4-5-3，当 K 闭合后，回路中电流 将从零不断增加，而自感系数为L 的 线圈 中将 产生自 感电动势ti自阻碍电流的增加，和自合起来产生电流通过电阻 R RitiL即tiLRi式中i是变化的，方程两边乘以ti并求和图 5-2-1 iLitRiti2显然，方程的左边是电源输出的能量，而方程右边第
4、一项是在电阻R上产生的焦耳热，那剩下的一项显然也是能量，是储存在线圈中的磁场能，下面我们求它的更具体的表达式：K R L 图 4-5-3K刚闭合时，i=0，而当电路稳定后，电流不再变化，自感电动势变为零，稳定电流RI(忽略电源内阻)，iLi这个求和式的求和范围从 0 到 I，令，y=i并以i为横作标，y为纵坐标做一坐标系，则y=i在坐标系中为第一象限的角平分线。在横作标i处取i，i很小，可认为对应的y 为常量，窄条面积iiiyS，把从 0 到 I 的所有窄条面积加起来iiiy即为 y=i与i轴所夹三角形面积，故221Iiiiy代入iLi可知储存线圈内的能量。221LIW从公式看，能量是与产生磁
5、场的电流联在一起的，下面我们求出直螺线管的自感系数从而证实能量是磁场的。设长直螺线管长为l，截面积为 S，故绕有 N匝线圈，管内为真空。当线圈中通有电流I 时，管内磁场的磁感应强度nIB0，通过 N匝线圈的磁通量ISlNISlNNNBS200与LI相比较，可得SlNL20将代SlNL20，NBlnBI00代入磁场能量式y iiI O 图 4-5-4vnBNBlSlNnW0220202121单位体积的磁场能量为022nB与电场的能量密度2021E相比较，公式何等相似。从电学、磁学公式中，我们知道01对应于0n，公式的相似来源于电场，磁场的对称性。磁场的能量密度公式告诉我们，能量是与磁场联系在一起
6、的。只要有磁场，就有B，就有能量。另外，公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来，但对所有磁场的均适用。典型例题例 1、如图 4-5-5 所示的电路中，电池的电动势V12，内阻,2,15,9,2;1321HLRRRr开 始 时 电键 K与 A接通。将 K迅速地由 A移至与 B接通，则线圈 L 中可产生的最大自感电动势多大？分析：K接在 A点时，电路中有恒定电流I，当 K接至 B瞬间时，线圈中自感所产生的感应电动势应欲维持这一电流，此瞬时电流 I 就是最大值，维持此电流的感应电动势就是最大自感电动势。解：L 为纯电路，直流电阻不计，K接在 A时，回路稳定时电流I 为ArRRI1221当 K接到
7、 B点时，线圈中电流将逐渐减小至零，但开始时刻，电流仍为AI1，根据欧姆定律，维持这电流的瞬时自感电动势为L B A K R1R2R3 r图 4-5-5)(32RRILV24以后电流变小，自感电动势也减小直至零。例 2、由半径11r毫米的导线构成的半径102r厘米的圆形线圈处于超导状态，开始时线圈内通有100 安培的电流。一年后测出线圈内电流的减小量不足610安培，试粗略估算此线圈电阻率的上限。解：线圈中电流)(tI的减小将在线圈内导致自感电动势，故(1)IRtIL式中 L 是线圈的自感系数IL在计算通过线圈的磁统量时，以导线附近即1r处的 B为最大，而该处 B又可把线圈当成无限长载流导线所产生的，即1012)(rInrBB)(2)(1220221tIrrnrrIL12202rrn (2)而21221222rrrrR (3)把式(2)和式(3)代入式(1)，得tIIrr4210 (4)把3110r米，1210r米，100I安培及tI146102.336002436510安培/秒代入式(4)得26100.1欧姆/米这就是超导线圈电阻率的上限。