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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会2012 年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分15 610 11 12 13 14 得分评卷人复查人一、选择题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1 如果实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22|()|aabcabc可以化简为（）（A）2c a（B）2a 2b（C）a（D）a2如果正比例函数y=ax（a 0）与反比例函数y=xb（b 0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（3，2），那么另一
2、个交点的坐标为（）（A）（2，3）（B）（3，2）（C）（2，3）（D）（3，2）3如果ab，为给定的实数，且1ab，那么1121aabab，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）（A）1（B）214a（C）12（D）144小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我 2 元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我 n 元，我的钱数将是你的 2 倍”，其中 n 为正整数，则 n 的可能值的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）4 5 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6 掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4 的
3、余数分别是 0，1，2，3 的（第 1 题图）概率为0123pppp，则0123pppp，中最大的是（）（A）0p（B）1p（C）2p（D）3p二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否 487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是.7如图，正方形 ABCD 的边长为 215，E，F 分别是 AB，BC 的中点，AF与 DE，DB 分别交于点 M，N，则 DMN 的面积是 .8如果关于 x 的方程 x2+kx+43k23k+92=0 的两个实数根分别为1x，2x，那么2012220111xx
4、的值为92 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得3 分，负者得 0分；平局各得 1 分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为.10如图，四边形 ABCD 内接于 O，AB 是直径，AD=DC.分别延长 BA，CD，交点为 E.作 BFEC，并与EC 的延长线交于点F.若 AE=AO，BC=6，则 CF 的长为.（第 6 题图）（第 7 题图）（第 10 题图）三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分）11已知二次函数232yxmxm（），当13x时，恒
5、有0y；关于 x 的方程2320 xmxm（）的两个实数根的倒数和小于910求 m的取值范围12如图，O 的直径为AB，O1过点O，且与 O 内切于点BC为O 上的点，OC与O1交于点D，且ODCD点E在OD上，且DCDE，BE 的延长线与 O1交于点F，求证：BOC1DO F 13已知整数 a，b 满足：ab 是素数，且 ab是完全平方数.当 a2012 时，求 a 的最小值.14 求 所 有 正 整 数n，使 得 存 在 正 整 数122012xxx，满 足122 0 1xxx，且122012122012nxxx.（第 12 题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞
6、赛试题参考答案一、选择题1C解：由实数 a，b，c 在数轴上的位置可知0bac，且 bc，所以22|()|()()()aabcabcaabcabca2D 解：由题设知，2(3)a，(3)(2)b，所以263ab，.解方程组236yxyx，得32xy，；32.xy，所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.3D 解：由题设知，1112aabab，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244aababab，中位数为(1)(1)44224aabab，于是4423421444abab.4D 解
7、：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，xy，均为非负整数.由题设可得2(2)2()xn yynxn，消去 x 得(2y7)n=y+4，2n=721517215)72(yyy.因为1527y为正整数，所以2y7 的值分别为 1，3，5，15，所以 y 的值只能为 4，5，6，11从而 n 的值分别为 8，3，2，1；x 的值分别为 14，7，6，75D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36 个，其和除以 4 的余数分别是 0，1，2，3 的有序数对有 9 个，8 个，9 个，10 个，所以01239891036363636pppp，因此3p 最大二、填空题6
8、7x19 解：前四次操作的结果分别为3x2，3(3x2)2=9x8，3(9x8)2=27x26，3(27x26)2=81x80.由已知得27x26487，81x80487.解得7x19.容易验证，当 7x19 时，32x487 98x487，故 x 的取值范围是7x1978 解：连接 DF，记正方形ABCD的边长为 2a.由题设易知BFNDAN，所以21ADANDNBFNFBN，由此得2ANNF，所以23ANAF.在 RtABF 中，因为2ABaBFa，所以225AFABBFa，于是2 5cos5ABBAFAF.由题设可知 ADEBAF，所以AEDAFB，0018018090AMEBAFAED
9、BAFAFB.于是25cos5AMAEBAFa，（第 7 题）24 5315MNANAMAFAMa，415MNDAFDSMNSAF.又21(2)(2)22AFDSaaa，所以2481515MNDAFDSSa.因为15a，所以8MNDS.832解：根据题意，关于 x 的方程有=k24239(3)42kk0，由此得(k3)20又(k3)20，所以(k3)2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+49=0，解得x1=x2=32.故2012220111xx=21x=2398 解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知23130ab，由此得 0b43.又(1)(2)2mmab，所以22(1)(2)ab
10、mm.于是0130(1)(2)bmm43，87(1)(2)mm130，由此得8m，或9m.当8m时，405ba，；当9m时，2035ba，5522aba，不合题设.故8m10223解：如图，连接 AC，BD，OD.由 AB 是O 的直径知 BCA=BDA=90.依题设 BFC=90，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，所以BCF=BAD,所以 RtBCFRtBAD，因此BCBACFAD.因为 OD 是O 的半径，AD=CD，所以 OD 垂直平分 AC，ODBC，于是2DEOEDCOB.因此223DECDADCEAD，.由AEDCEB，知DE ECAE BE因为322BAAEBEBA，所以32
11、322BAADADBA，BA=22AD，故ADCFBCBA3 222 2BC.三、解答题11解：因为当13x时，恒有0y，所以23420mm（）（），即210m（），所以1m,（5 分）当1x时，y0；当3x时，y0，即2(1)(3)(1)2mm0，且233(3)2mm0，解得 m5,（10 分）设方程2320 xmxm的两个实数根分别为12xx，由一元二次方（第 10 题）程根与系数的关系得121232xxmx xm，因为1211910 xx，所以121239210 xxmx xm，解得12m，或2m因此12m,（20 分）12 证明：连接 BD，因为OB为1O 的直径，所以90ODB又因为
12、DCDE，所以CBE 是等腰三角形,（5 分）设BC与1O 交于点M，连接 OM，则90OMB 又因为OCOB，所以22BOCDOMDBC12DBFDO F,（15 分）又因为1BOCDO F，分别是等腰BOC，等腰1DO F 的顶角，所以BOC1DO F,（20 分）13解：设 ab=m（m 是素数），ab=n2（n 是正整数）.因为(a+b)24ab=(ab)2，所以(2am)24n2=m2，(2am+2n)(2am2n)=m2.,（5 分）因为 2am+2n 与 2am2n 都是正整数，且2am+2n2am2n(m为素数)，所以2am+2nm 2，2am2n1.（第 12 题）解得a2(
13、1)4m，n214m.于是b=am214m（）.,（10 分）又 a2012，即2(1)4m2012.又因为 m是素数，解得 m89.此时，a41)(892=2025.当2025a时，89m，1936b，1980n.因此，a 的最小值为 2025.,（20 分）14解：由于122012xxx，都是正整数，且122012xxx，所以1x 1，2x 2，,，2012x2012于是122012122012nxxx1220122012122012,（10 分）当1n时，令12201220122 20122012 2012xxx，则1220121220121xxx.,（15 分）当1nk时，其中1k2011，令1212kxxxk，122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012kkxk kxkkxk,，则1220121220121(2012)2012kkxxxk1kn综上，满足条件的所有正整数n 为122012，,（20 分）