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1、2023年“TKUIT信 利 杯”全 国 初 中 数 学 竞 赛 试 题 参 考 答 案 和 评 分 标 准 一、选 择 题(共 5小 题，每 小 题 6分,满 分 3 0分.以 下 每 道 小 题 均 给 出 了 代 号 为 A,B,C,D的 四 个 选 项,其 中 有 且 只 有 一 个 选 项 是 对 的 的.请 将 对 的 选 项 的 代 号 填 入 题 后 的 括 号 里.不 填、多 填 或 错 填 得 零 分)1.已 知 实 数。工 人，且 满 足(。+1)2=3-3 3+1),3 9+1)=3-(1)2.则 哈+解 的 值 为(A)2 3(B)-2 3(C)-2(D)-13答:选
2、(B)。、8是 关 于 x 的 方 程(X+1)2+3(X+1)-3=0的 两 个 根，整 理 此 方 程，得 x+5x+1-0,?A=25 4 0,a+b=-5,ab=l.故。均 为 负 数.因 此,h a b r-r a r r a2+b2 f r(a+bY lab _bJ F。J-=7 cib v ab=-7 ab=-=23 a b a b ab y/ab2.若 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 长 为 4、b,斜 边 长 为 C,斜 边 上 的 高 为 力，则 有().(A)ab=h2(B)-+-=-(C)上+乂=上 a b h a2 b2 h2(D)a2+b2=2/答:选(
3、C)a h0,bh0,：.abha2+b2 h2+h2=2h2;因 此，结 论(A)、(D)显 然 不 对 的.设 斜 边 为 c，则 有 a+人 c,(a+/?)，即 有 2 2 21 1 1+,a b h因 此，结 论(B)也 不 对 的.由-yla2+b2h=-ab化 简 整 理 后，得-4+4=4.2 2 a2 b h2因 此 结 论(C)是 对 的 的.3.一 条 抛 物 线 y=ax?+bx+c 的 顶 点 为(4,-11),且 与 x 轴 的 两 个 交 点 的 横 坐 标 为 一 正 一 负，则 a、b、c 中 为 正 数 的().(A)只 有 a(B)只 有 人(C)只 有
4、c(D)只 有。和 万 答:选(A)由 顶 点 为(4,7 1)，抛 物 线 交 x 轴 于 两 点，知 a 0.设 抛 物 线 与 x 轴 的 两 个 交 点 的 横 坐 标 为 x”马,即 为 方 程 ax2+bx+c=O的 两 个 根.由 题 设 匹 2 0，知 0，所 以 c 0.a根 据 对 称 轴 尤=4,即 有-2 0,知 X 0.2a故 知 结 论(A)是 对 的 的.4.如 图 所 示，在 A N C 中,。后 4 5 尸 G,且 产 G 到 DE、的 距 离 之 比 为 1:2.若 A B C的 面 积 为 3 2,/CDE的 面 积 为 2,则 C E G 的 面 积 S
5、 等 于).A B(A)6(B)8(C)1 0答：选(B)(D)1 2(第 4颜 煦)由。E AB/G 知,COEsCAB,/CDE/CFG,所 以 又 由 题 设 知 PD*=二 1 所 以 FA 2FD _ 1茄 一 3，1 1 3 1F D-A D-x-A C-A C,3 3 4 4故 E O=D C,于 是 因 此，结 论(B)是 对 的 的.5.假 如 x 和 y 是 非 零 实 数，使 得 N+y=3 和|巾+彳 3=0,那 么 x+y等 于().(A)3(B)V13(C)1-V 1 3(D)4-V13答:选(D)将 y=3 W 代 入 Iy+x，=0,W x3 x2+3|A=0.
6、(1)当 无 0时 F+3%=0,方 程 2一%+3=0无 实 根;(2)当 x 0 时,*33x=o,得 方 程%3=0解 得=生 叵，正 根 舍 去，从 而=上 等.2 2工 曰。1-V13 7-V13于 是 y=3_忖=3+=-.故 x+y=4-VU.因 此，结 论（D）是 在 对 的 的.二、填 空 题（共 5小 题,每 小 题 6分，满 分 3 0分）6.如 图 所 示，在 ABC 中，AB=AC,A D=A E,NBAO=60。，则 N E O C=（度）.答：30解:设 N C 4=2 a,由 AB=AC 知 ZB=-（1 8 0-60-2）=6 0-a,2NAO3=180。NB
7、 60。=60。+a,由 AO=AE 知，ZADE=90。a,（第 6 版 图）所 以 ZEDC=180P-ZADE-ZADB=30P.7.据 有 关 资 料 记 录,两 个 城 市 之 间 天 天 的 电 话 通 话 次 数 T与 这 两 个 城 市 的 人 口 数 加、（单 位：万 人）以 及 两 城 市 间 的 距 离 d（单 位:km）有 7=需 的 关 系（攵 为 常 数）.现 测 得 A、8、C三 个 城 市 的 人 口 及 它 们 之 间 的 距 离 如 图 所 示,且 已 知 A、8 两 个 城 市 间 天 天 的 电 话 通 话 次 数 为 f，那 么 从 C 两 个 城 市
8、 间 天 天 的 电 话 通 话 次 数 为 次（用 力 表 达）.利 解:据 题 意，有”亚 啰 左，1602;，k=t.5因 此,3、。两 个 城 市 间 天 天 的 电 话 通 话 次 数 为 _.80 x100 32，58（人 口：80万）C（人 口：100万）（第 7 题 图）tBC 3202 5 64 28.已 知 实 数 a、b、x、y 满 足 a+b=x+y=2,a x+by=5,则（a2+h2）xy+ah（x2+y2）=答：5解：由 a+h-x+y-2,得(a+Z?)(x+y)-ax+by+ay+bx=4,ax+by-5,ay+b x-.因 而，(+(1 2-x)2,即%2-
9、10 x+24=0,解 之，得 X j=4,X2=6.故 C E的 长 为 4 或 6.1 0.实 数 x、y、z 满 足 x+y+z=5,xy+yz+z x-3,贝 U z 的 最 大 值 是.育 答，.3解：x+y-5-z,xy=?-z(x+j)=3-z(5-z)=z2-5z+3,x、y 是 关 于 r 的 一 元 二 次 方 程 一(5-z)f+z2 5z+3=0的 两 实 根.*/A=(5-z)2-4(z2-5 z+3)0,即 3Z2-1 0 Z-1 3 0,(3Z-13)(Z+1)0.z 7 一 13,%3 x=y=1 叶 Uj,z=1一 3.3 3 3故 z 的 最 大 值 为 U
10、.3三、解 答 题(共 4题,每 小 题 1 5分，满 分 6。分)1 1.通 过 实 验 研 究，专 家 们 发 现：初 中 学 生 听 课 的 注 意 力 指 标 数 是 随 着 老 师 讲 课 时 间 的 变 化 而 变 化 的，讲 课 开 始 时，学 生 的 爱 好 激 增，中 间 有 一 段 时 间，学 生 的 爱 好 保 持 平 稳 的 状 态，随 后 开 始 分 散.学 生 注 意 力 指 标 数 y 随 时 间 x(分 钟)变 化 的 函 数 图 象 如 图 所 示&越 大 表 达 学 生 注 意 力 越 集 中).当 OWxWlO时,图 象 是 抛 物 线 的 一 部 分，当
11、 10WXW20和 20WXW40时，图 象 是 线 段.(1)当 OWxWlO时，求 注 意 力 指 标 数 y 与 时 间 x 的 函 数 关 系 式;一 道 数 学 竞 赛 题 需 要 讲 解 2 4 分 钟.问 老 师 能 否 通 过 适 当 安 排，使 学 生 在 听 这 道 题 时，注 意 力 的 指 标 数 都 不 低 于 36.解：(1)当 OWxWlO时，设 抛 物 线 的 函 数 关 系 式 为 y=o r2+Z?x+c,由 于 它 的 图 象 通 过 点(0,20),(5,39),(10,48),所 以 c=20,25a+5b+c=39,100“+10b+c=48.i 9
12、 4解 得，a=,b=,c=20.5 5(第 II(A)颗 因)所 以i c 74y=x2 H-x+20,0 10.（5 分）5 57（2）当 20 x 24,所 以,老 师 可 以 通 过 适 当 的 安 排，在 学 生 注 意 力 指 标 数 不 7 7低 于 3 6 时，讲 授 完 这 道 竞 赛 题.（1 5分）1 2.已 知 a,人 是 实 数，关 于 的 方 程 组，3 2 y=x-ax-bx.y-ax-b有 整 数 解（x,y）,求 a,6满 足 的 关 系 式.解：将 y=ax+b代 入 y=x-ax?-Zu,消 去 a、b,得 y=x3-x y,.（5 分）（x+l）y=x3
13、.若 x+l=0,即 x=-1,则 上 式 左 边 为 0,右 边 为-1不 也 许.所 以 x+IWO,于 是 X3 2 1 1y=-=x x+1-.x+1 x+1由 于 x、y 都 是 整 数，所 以 x+1=1,即 x=-2或 x=0,进 而 y=8 或 y=0.故 x=2-x=0 或.y=8 1y=0（10 分）x=-2当 时，代 入 y=ax+。得,2 a-8+8=0;y=8x=0当|时，代 入 y=ax+8得,人=0.y=0综 上 所 述,a、8 满 足 关 系 式 是 2 a-。+8=0,或 者 人=0,a 是 任 意 实 数.（15 分）13.D良 X A B C 的 边 A
14、B 上 的 一 点，使 得 A B=3AD,P 是 ABC外 接 圆 上 一 点,使 得 N A O P=Z A C B,求 一 的 值.PD解:连 结 A 尸，则 NAP8=NACB=NAOP,所 以，XAPBS XADP,.（5 分）.AB AP.-=-,AP AD所 以 A L=AB A Z）=3A）2,A AP=y/3AD,.（10 分）所 以=石.（1 5分）PD AD（第 1 3 小 颗 图）1 4.已 知。0,K b2-4ac=b-2ac,求 从 一 4ac 的 最 小 值.解：令 y=ax2+bx+c，由 a Q,b 0,判 别 式=-4 a c 0,所 以 这 个 二 次 函 数 的 图 象 是 一 条 开 口 向 下 的 抛 物 线，且 与 x轴 有 两 个 不 同 的 交 点 4 2,0）,6（W，。），由 于 X 1%2=。不 妨 设 项%2，则 玉 0%2,对 称 轴 ahx=-4,当 a=-l,8=0,c=1时，等 号 成 立.所 以,-4这 的 最 小 值 为 4.（15分）