2013年陕西省高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 23 页）2013 年陕西省高考数学试卷（文科）年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分）1 （5 分）设全集为 R，函数 f（x）=的定义域为 M，则RM 为（ ）A （，1）B （1，+）C （，1D1，+）2 （5 分）已知向量 =（1，m） ， =（m，2） ，若 ，则实数 m 等于（ ）ABC或D03 （5 分）设 a，b，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）Al

2、ogablogcb=logcaBlogablogca=logcbClogabc=logablogacDloga（b+c）=logab+logac4 （5 分）根据下列算法语句，当输入 x 为 60 时，输出 y 的值为（ ）A25B30C31D615 （5 分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20，25）上的为一等品，在区间15，20）和区间25，30）上的为二等品，在区间10，15）和30，35）上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（ ）第 2 页（共 23 页）A0.09B0.20C0

3、.25D0.456 （5 分）设 z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A若 z20，则 z 是实数B若 z20，则 z 是虚数C若 z 是虚数，则 z20D若 z 是纯虚数，则 z207 （5 分）若点（x，y）位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值为（ ）A6B2C0D28 （5 分）已知点 M（a，b）在圆 O：x2+y2=1 外，则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是（ ）A相切B相交C相离D不确定9 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC 的形状为 （ ）A直角三角形

4、 B锐角三角形 C钝角三角形 D不确定10 （5 分）设x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，有（ ）Ax=xBx+=x C2x=2xDx+x+=2x二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题，每小题小题 5 分，共分，共 25 分）分）11 （5 分）双曲线的离心率为 12 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 第 3 页（共 23 页）13 （5 分）观察下列等式：（1+1）=21（2+1） （2+2）=2213（3+1） （3+2） （3+3）=23135照此规律，第 n 个

5、等式可为 14 （5 分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分） ，则其边长 x 为 （m） 选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）的第一题计分）15 （5 分） （不等式选做题）设 a，bR，|ab|2，则关于实数 x 的不等式|xa|+|xb|2 的解集是 16 （几何证明选做题） 如图，AB 与 CD 相交于点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点P已知A=C，PD=2DA=2，则 PE= 第 4 页（共 23 页）17 （

6、坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t 为参数）的焦点坐标是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，小题，共共 75 分）分）18 （12 分）已知向量 =（cosx，） ， =（sinx，cos2x） ，xR，设函数f（x）=（） 求 f（x）的最小正周期（） 求 f（x）在0，上的最大值和最小值19 （12 分）设 Sn表示数列an的前 n 项和（） 若an为等差数列，推导 Sn的计算公式；（） 若 a1=1，q0，且对所有正整数 n，有 Sn=判断an是否为等比数列，并证明你的结论20 （12 分

7、）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O平面 ABCD，AB=AA1=（） 证明：平面 A1BD平面 CD1B1；（） 求三棱柱 ABDA1B1D1的体积21 （12 分）有 7 位歌手（1 至 7 号）参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为 5 组，各组的人数如下：组ABCDE第 5 页（共 23 页）别人数5010015015050（） 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组中抽取了 6 人请将其余各组抽取的人数填入下表组别ABCDE人数501

8、0015015050抽取人数6（） 在（）中，若 A，B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率22 （13 分）已知动点 M（x，y）到直线 l：x=4 的距离是它到点 N（1，0）的距离的 2 倍（） 求动点 M 的轨迹 C 的方程；（） 过点 P（0，3）的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率23 （14 分）已知函数 f（x）=ex，xR（） 求 f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（） 证明：曲线 y=f（x）与曲线 y=有唯一公共点

9、（） 设 ab，比较 f（）与的大小，并说明理由第 6 页（共 23 页）2013 年陕西省高考数学试卷（文科）年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分）1 （5 分）设全集为 R，函数 f（x）=的定义域为 M，则RM 为（ ）A （，1）B （1，+）C （，1D1，+）【分析】由根式内部的代数式大于等于 0 求出集合 M，然后直接利用补集概念求解【解答】解：由 1x0，

10、得 x1，即 M=（，1，又全集为 R，所以RM=（1，+） 故选：B【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题2 （5 分）已知向量 =（1，m） ， =（m，2） ，若 ，则实数 m 等于（ ）ABC或D0【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算【解答】解： =（1，m） ， =（m，2） ，且，所以 12=mm，解得 m=或 m=故选：C【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，向量，则的充要条件是 x1y2x2y1=0，是基础题3 （5 分）设 a，b，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）第 7 页（共 23 页）Alogablogcb

11、=logcaBlogablogca=logcbClogabc=logablogacDloga（b+c）=logab+logac【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式 loga（xy）=logax+logay（x、y0） ，判断选项即可【解答】解：对于 A，logablogcb=logca，与换底公式矛盾，所以 A 不正确；对于 B，logablogaa=logab，符合换底公式，所以正确；对于 C，logabc=logablogac，不满足对数运算公式 loga（xy）=logax+logay（x、y0） ，所以不正确；对于 D，loga（b+c）=logab+logac，不满足 loga

12、（xy）=logax+logay（x、y0） ，所以不正确；故选：B【点评】本题考查对数的运算法则，基本知识的考查4 （5 分）根据下列算法语句，当输入 x 为 60 时，输出 y 的值为（ ）A25B30C31D61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第 8 页（共 23 页）该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值当 x=60 时，则 y=25+0.6（6050）=31，故选：C【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中

13、的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误5 （5 分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20，25）上的为一等品，在区间15，20）和区间25，30）上的为二等品，在区间10，15）和30，35）上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（ ）A0.09B0.20C0.25D0.45【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据

14、频率的和等于 1 可求得二等品的概率【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间15，20）和25，30）上的概率为 0.045+1（0.02+0.04+0.06+0.03）5=0.45故选：D第 9 页（共 23 页）【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题6 （5 分）设 z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A若 z20，则 z 是实数B若 z20，则 z 是虚数C若 z 是虚数，则 z20D若 z 是纯虚数，则 z20【分析】设出复数 z，求出 z2，利用 a，b 的值，判断四个选项的正

15、误即可【解答】解：设 z=a+bi，a，bR，z2=a2b2+2abi，对于 A，z20，则 b=0，所以 z 是实数，真命题；对于 B，z20，则 a=0，且 b0，z 是虚数；所以 B 为真命题；对于 C，z 是虚数，则 b0，所以 z20 是假命题对于 D，z 是纯虚数，则 a=0，b0，所以 z20 是真命题；故选：C【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算7 （5 分）若点（x，y）位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值为（ ）A6B2C0D2【分析】先根据曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域画出区域 D，再利用线性规划的方法求出目标

16、函数 2xy 的最大值即可【解答】解：画出可行域，如图所示解得 A（2，2） ，设 z=2xy，把 z=2xy 变形为 y=2xz，则直线经过点 A 时 z 取得最小值；所以 zmin=2（2）2=6，故选：A第 10 页（共 23 页）【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值属于基础题8 （5 分）已知点 M（a，b）在圆 O：x2+y2=1 外，则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是（ ）A相切B相交C相离D不确定【分析】由 M 在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d，根据列出的不等式判断 d 与r 的大

17、小即可确定出直线与圆的位置关系【解答】解：M（a，b）在圆 x2+y2=1 外，a2+b21，圆 O（0，0）到直线 ax+by=1 的距离 d=1=r，则直线与圆的位置关系是相交故选：B【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键9 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC 的形状为 （ ）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不确定第 11 页（共 23 页）【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为

18、角的正弦，利用两角和公式化简求得 sinA 的值进而求得 A，判断出三角形的形状【解答】解：bcosC+ccosB=asinA，sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，sinA0，sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查10 （5 分）设x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，有（ ）Ax=xBx+=x C2x=2xDx+x+=2x【分析】依题意，通过特值代入法对 A，B，C，D 四选项逐一分析即可得答案【解答】解：对 A，设 x=1

19、.8，则x=1，x=2，所以 A 选项为假对 B，设 x=1.8，则x+=2，x=1，所以 B 选项为假对 C，x=1.4，则2x=2.8=3，2x=4，所以 C 选项为假故 D 选项为真故选：D【点评】本题考查函数的求值，理解题意，特值处理是关键，属于中档题二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题，每小题小题 5 分，共分，共 25 分）分）11 （5 分）双曲线的离心率为 【分析】通过双曲线方程求出 a，b，c 的值然后求出离心率即可第 12 页（共 23 页）【解答】解：因为双曲线，所以 a=4

20、，b=3，所以 c=，所以双曲线的离心率为：e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力12 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 3 【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径 r=1 的半个球体表面积是底面积与半球面积的和，其表面积=故答案为：3【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力13 （5 分）观察下列等式：（1+1）=21（2+1） （2+2）=2213（3+1） （3+2） （3+3）=23135第

21、13 页（共 23 页）照此规律，第 n 个等式可为 （n+1） （n+2） （n+3）（n+n）=2n135（2n1） 【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第 n 个等式【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第 n 个等式的左边含有 n 项相乘，由括号内数的特点归纳第 n 个等式的左边应为：（n+1） （n+2） （n+3）（n+n） ，每个等式的右边都是 2 的几次幂乘以从 1 开始几个相邻奇数乘积的形式，且 2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第 n

22、 个等式的右边为 2n135（2n1） 所以第 n 个等式可为（n+1） （n+2） （n+3）（n+n）=2n135（2n1） 故答案为（n+1） （n+2） （n+3）（n+n）=2n135（2n1） 【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题14 （5 分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分） ，则其边长 x 为 20 （m） 【分析】设矩形高为 y，由三角形相似可求得 40=x+y 且x0，y0，x40，y40，利用基本不等式即可求得答案【解答】解：设矩形高为 y，由三角

23、形相似得：=，且x0，y0，x40，y40，第 14 页（共 23 页）40=x+y2，仅当 x=y=20m 时，矩形的面积 s=xy 取最大值 400m2故答案为：20【点评】本题考查基本不等式，考查相似三角形的应用，求得 40=x+y 是关键，属于中档题选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）的第一题计分）15 （5 分） （不等式选做题）设 a，bR，|ab|2，则关于实数 x 的不等式|xa|+|xb|2 的解集是 R 【分析】判断函数 f（x）=|xa|+|xb|的值域为（|

24、ab|，+） ，利用已知条件推出不等式的解集即可【解答】解：函数 f（x）=|xa|+|xb|的值域为（|ab|，+） ，因此，当xR 时，f（x）|ab|2，所以不等式|xa|+|xb|2 的解集是 R故答案为：R【点评】本题考查绝对值不等式的基本知识，考查计算能力16 （几何证明选做题） 如图，AB 与 CD 相交于点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点P已知A=C，PD=2DA=2，则 PE= 【分析】利用已知条件判断EPDAPE，列出比例关系，即可求解 PE 的值【解答】解：因为 BCPE，BCD=PED，且在圆中BCD=BADPED=BAD，第 15 页（共 2

25、3 页）EPDAPE，PD=2DA=2PE2=PAPD=32=6，PE=故答案为：【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力17 （坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t 为参数）的焦点坐标是 （1，0） 【分析】由题意第二个式子的平方减去第一个式子的 4 倍即可得到圆锥曲线 C的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可【解答】解：由方程（t 为参数）得 y2=4x，它表示焦点在 x 轴上的抛物线，其焦点坐标为（1，0） 故答案为：（1，0） 【点评】本题是基础题，考查参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的求法，考查计算能力三、解答题：解答应写出文字说明、证明

26、过程及演算步骤（本大题共三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，小题，共共 75 分）分）18 （12 分）已知向量 =（cosx，） ， =（sinx，cos2x） ，xR，设函数f（x）=（） 求 f（x）的最小正周期（） 求 f（x）在0，上的最大值和最小值【分析】 （）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求 f （x）的最小正周第 16 页（共 23 页）期（） 通过 x 在0，求出 f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值【解答】解：（）函数 f（x）=（

27、cosx，）（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x）最小正周期为：T=（）当 x0，时，2x，由正弦函数 y=sinx 在的性质可知，sinx，sin（2x），f（x），1，所以函数 f （x）在0，上的最大值和最小值分别为：1，【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力19 （12 分）设 Sn表示数列an的前 n 项和（） 若an为等差数列，推导 Sn的计算公式；（） 若 a1=1，q0，且对所有正整数 n，有 Sn=判断an是否为等比数列，并证明你的结论【分析】 （I）设等差数列的公差为 d，则 an=a1+（

28、n1）d，可得a1+an=a2+an1=，利用“倒序相加”即可得出；（II）利用 an+1=Sn+1Sn即可得出 an+1，进而得到 an，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列【解答】证明：（）设等差数列的公差为 d，则 an=a1+（n1）d，可得第 17 页（共 23 页）a1+an=a2+an1=，由 Sn=a1+a2+an，Sn=an+an1+a1两等式相加可得 2Sn=（a1+an）+（a2+an1）+（an+a1） ，（II）a1=1，q0，且对所有正整数 n，有 Sn=an+1=Sn+1Sn=qn，可得（nN*） ，数列an是以 a1=1 为首项，q1 为公比的等比数列【点

29、评】熟练掌握等差数列的通项公式及“倒序相加”法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前 n 项和的公式是解题的关键20 （12 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O平面 ABCD，AB=AA1=（） 证明：平面 A1BD平面 CD1B1；（） 求三棱柱 ABDA1B1D1的体积【分析】 （）由四棱柱的性质可得四边形 BB1D1D 为平行四边形，故有 BD 和B1D1平行且相等，可得 BD平面 CB1D1同理可证，A1B平面 CB1D1而 BD和 A1B 是平面 A1BD 内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A1BD平面 C

30、D1B1 第 18 页（共 23 页）（） 由题意可得 A1O 为三棱柱 ABDA1B1D1的高，由勾股定理可得 A1O=的值，再根据三棱柱 ABDA1B1D1的体积 V=SABDA1O，运算求得结果【解答】解：（）四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O平面 ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得 BB1 和 DD1平行且相等，故四边形 BB1D1D 为平行四边形，故有 BD 和 B1D1平行且相等而 BD 不在平面 CB1D1内，而 B1D1在平面 CB1D1内，BD平面 CB1D1同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B平面 CB1D1而

31、BD 和 A1B 是平面 A1BD 内的两条相交直线，故有平面 A1BD平面 CD1B1 （） 由题意可得 A1O 为三棱柱 ABDA1B1D1的高三角形 A1AO 中，由勾股定理可得 A1O=1，三棱柱 ABDA1B1D1的体积 V=SABDA1O=A1O=1=1【点评】本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题21 （12 分）有 7 位歌手（1 至 7 号）参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为 5 组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050（） 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况

32、，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从 B 组中抽取了 6 人请将其余各组抽取的人数填入下表组别ABCDE人数5010015015050第 19 页（共 23 页）抽取人数6（） 在（）中，若 A，B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 1 号歌手的概率【分析】 （）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（）利用古典概型概率计算公式求出 A，B 两组被抽到的评委支持 1 号歌手的概率，因两组评委是否支持 1 号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选

33、 1 人，2 人都支持 1 号歌手的概率【解答】解：（）按相同的比例从不同的组中抽取人数从 B 组 100 人中抽取 6 人，即从 50 人中抽取 3 人，从 150 人中抽取 6 人，填表如下：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993（）A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 好歌手，则从 3 人中任选 1 人，支持 1号歌手的概率为B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手，则从 6 人中任选 1 人，支持 1 号歌手的概率为现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人，则 2 人都支持 1 号歌手的概率 p=【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时

34、发生的概率乘法公式，若事件 A，B 是否发生相互独立，则 p（AB）=p（A）p（B） ，是中档题22 （13 分）已知动点 M（x，y）到直线 l：x=4 的距离是它到点 N（1，0）的距离的 2 倍第 20 页（共 23 页）（） 求动点 M 的轨迹 C 的方程；（） 过点 P（0，3）的直线 m 与轨迹 C 交于 A，B 两点若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率【分析】 （）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点 M 的轨迹 C 的方程；（）经分析当直线 m 的斜率不存在时，不满足 A 是 PB 的中点，然后设出直线 m 的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出

35、x1+x2，x1x2，结合 2x1=x2得到关于 k 的方程，则直线 m 的斜率可求【解答】解：（）点 M（x，y）到直线 x=4 的距离是它到点 N（1，0）的距离的 2 倍，则|x4|=2，即（x4）2=4（x1）2+y2，整理得所以，动点 M 的轨迹是椭圆，方程为；（）P（0，3） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由 A 是 PB 的中点，得2x1=0+x2，2y1=3+y2椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线 m 不经过这两点，即直线 m 的斜率 k 存在设直线 m 的方程为：y=kx+3联立，整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0因为 2x1=x2则，得，第

36、21 页（共 23 页）所以即，解得所以，直线 m 的斜率【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题23 （14 分）已知函数 f（x）=ex，xR（） 求 f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（） 证明：曲线 y=f（x）与曲线 y=有唯一公共点（） 设 ab，比较 f（）与的大小，并说明理由【分析】 （I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）令 h（x）=f（x）=，利用导数研究函数 h（x）的单调性即可得出；（III）设 ba=t0，通过作差f

37、（）=，构造函数g（t）=（t0） ，可得 g（t）=（t0） 令 h（x）=exx1（x0） ，利用导数研究其单调性即可【解答】 （I）解：函数 f（x）=ex的反函数为 g（x）=lnx，g（1）=1，f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为 y0=1（x1） ，即y=x1；第 22 页（共 23 页）（）证明：令 h（x）=f（x）=，则 h（x）=exx1，h（x）=ex1，当 x0 时，h（x）0，h（x）单调递增；当 x0 时，h（x）0，h（x）单调递减，故 h（x）在 x=0 取得极小值，即最小值，h（x）h（0）=0，函数 y=h（x）在 R 上单调递增，最多有一

38、个零点，而 x=0 时，满足 h（0）=0，是 h（x）的一个零点所以曲线 y=f（x） 与曲线 y=有唯一公共点（0，1） （） 设 ba=t0，则f（）=ea=，令 g（t）=（t0） ，则 g（t）=（t0） 令 h（x）=exx1（x0） ，则 h（x）=ex10，函数 h（x）在（0，+）单调递增，h（x）h（0）=0，因此 g（t）0，函数 g（t）在 t0 时单调递增，g（t）g（0）=0f（） 【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方第 23 页（共 23 页）法，考查了推理能力和计算能力