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1、先看下面的问题先看下面的问题 若今天是星期一，若今天是星期一，20天后是星期几？再天后是星期几？再过过810天后的那一天是星期几？天后的那一天是星期几？数学问题数学问题:（a+b）n 的展开式是什么？的展开式是什么？1.3.11.3.1二项式定理二项式定理在两个袋子中分别取一个球，共有多少种结果？在两个袋子中分别取一个球，共有多少种结果？a ba b(a+b)2=a2+2ab+b2你能发现这两个问题的相似之处吗？你能发现这两个问题的相似之处吗？a aa ba bb b在三个袋子中分别取一个球，共有多少种结果在三个袋子中分别取一个球，共有多少种结果？a ba ba ba a a a ba b b
2、a b bb 1331由此你能推出下面的式子吗？由此你能推出下面的式子吗？(a+b)3=(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a3+a2b+ab2+b3 如何从组合知识得到如何从组合知识得到(a+b)4展开展开式中各项的系数式中各项的系数?(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每个括号都不取若每个括号都不取b，只有，只有 种取法得到种取法得到a4；(2)若只有一个括号取若只有一个括号取b，共有，共有 种取法得到种取法得到a3b；(3)若只有两个括号取若只有两个括号取b，共有，共有 种取法得到种取法得到a2b2；(4)若只有三个括号取若只有三个括号取b，
3、共有，共有 种取法得到种取法得到ab3；(5)若每个括号都取若每个括号都取b，共有，共有 种取法得种取法得b4.(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4那么那么(a+b)n=?二项式定理：二项式定理：对二项式定理的理解对二项式定理的理解 （1）它有）它有n+1项项;（2）各项的次数都等于二项式的次数）各项的次数都等于二项式的次数n;（3）字母）字母a按降幂排列，次数由按降幂排列，次数由n递减到递减到0;字母字母b按升幂排列，次数由按升幂排列，次数由0递增到递增到n.二项式定理：二项式定理：2 二项式系数二项式系数 我们看到的二项展开式共有我们看到的二项展开式共有n+1项，其中项
4、，其中各项的系数各项的系数 ()叫做二项式系数（叫做二项式系数（binomial coefficient）.二项式定理：二项式定理：3 通项通项 式中的式中的 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项，用通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第表示，即通项为展开式的第k+1项：项：二项式定理：二项式定理：你能用个类似数列通项公式的式子来表示这些展开你能用个类似数列通项公式的式子来表示这些展开式的规律吗？式的规律吗？(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+Cnkxk+Cnnxn若令若令a=1,b=-x，则展开式又如何？，则展开式又如何？(a+b)n Cn0 an Cn1 an-1b Cn2 an
5、-2b2 Cnk an-kbk Cnnbn(nN*)若令若令a=1,b=x，则得到：，则得到：(1-x)n=1-Cn1x+Cn2x2+(-1)kCnkxk+(-1)n Cnnxn例题例题1用二项式定理展开下列各式：用二项式定理展开下列各式：解解:（2）先将原）先将原式化简，再展开，得式化简，再展开，得 引例：引例：若今天是星期一，若今天是星期一，20天后是星期几？再过天后是星期几？再过810天天后的那一天是星期几？后的那一天是星期几？余数是1，则再过810天后的那一天是星期二。例题例题2(1)写出写出(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4 4项的系数；项的系数；（2）求）求 的展开式中的展开
6、式中x3的系数。的系数。解题归纳：利用解题归纳：利用通项公式通项公式解决问题比较简单规范。解决问题比较简单规范。例题例题3求二项式求二项式 的展开式中的有理项的展开式中的有理项.分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂）分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂）方法二用定理展开（次数较小时使用）方法二用定理展开（次数较小时使用）答案：答案：课堂小结课堂小结1.二项式定理二项式定理 二项式定理二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnran-rbr+Cnnbn是是通通过过不不完完全全归归纳纳法法，并并结结合合组组合合的的概概念念得得到到展展开开式式的的规规律律性性，然然后后用数学归纳
7、法加以证明用数学归纳法加以证明.2.二项式定理的特点二项式定理的特点 (1)项数：共项数：共n+1项项,是关于是关于a与与b的齐次多项式的齐次多项式 (2)系数系数 (3)指数指数：a的指数从的指数从n逐项递减到逐项递减到0,是降幂排是降幂排 列；列；b的指数从的指数从0逐项递增到逐项递增到n，是升幂排列，是升幂排列.1.（2004年安徽、河北卷）在年安徽、河北卷）在 的的展开式中，常数项是展开式中，常数项是_.A.14 B.14 C.42 D.42 高考链接高考链接解析：解析：则则k=6，故展开式中的常数故展开式中的常数项项是是,选选答案答案A.令令 2.（2005年全国高考上海卷）在年全国高考上海卷）在(x-a)10的展开的展开式中，式中，x7的系数是的系数是15，则实数，则实数a的值为的值为_.-1/2解析：解析：