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1、二项式定理（双基）一、单项选择题1 . （i JL；的展开式中的系数为（）D. 1672D. 1672A. -872B. 8a/2C. -1672.二项式（1 +2x）4展开式的各项系数的和为（）D. 26A. 81B. 80C. 27. （ +振了的展开式中第7项为（）A.106”B. 96a7bC. 84。3犷D. 3601b2 .设常数假设的二项展开式中项的系数为15,那么=（D. -3D. 39A. -2B. 2C. 33 . （1 + 2幻5的展开式中的常数项为（）A. -1B. 1C. 294 .假设（2犬+亍）的二项式展开式中二项式系数的和为32,那么正整数”的值为（）A. 7B
2、. 6C. 5D. 4（1、5 .假设的展开式中第3项的二项式系数是15,那么展开式中所有项系数之和为I 2J1111A. B. C. D.326464128二、解答题8 .（1 一2x）5 = % +a1x + a2x2 +6i3x3 +a4x4 + a5x5.（1）求。（）；（2）求4 +2 +3 +。4 +。5 ；（3）求q +a3+a5 .9 .设（3%一 I），= 4 +|工+。212 +%/ +Q4/，求以下各式的值:本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案。化简，得解得 =6,展开式中各项二项式系数的和26 =64 ；(2)由(1)知 =6,展开式共有7项，中间项为第4项，令r
3、=3,得(=_5405.【点睛】此题主要考查二项展开式的系数及特定项求解，通项公式是求解这类问题的钥匙，侧重考查 数学运算的核心素养.A21(1) n = 6, (2) Tx = 64x6, (=240/, 7； =60, T.【解析】【分析】(1)由d=15解得结果即可；(2)根据通项公式可得当厂=0,2,4,6时，展开式中的项为有理项，将厂的值代入通项公式即可求得结果.【详解】(1)依题意得解得 =6；所以当 = 0,2,4,6时、展开式中的项为有理项，所以展开式中有理项为7； = 26 x C：/ = 641 , T3 = 26-2Cl-x3 = 240x3 , n二26一4屐%=60,
4、4=26-6。煞-3=4.【点睛】 此题考查了二项展开式中的二项式系数，考查了利用二项展开式的通项公式求有理项，属于 基础题.12. (1) 6； (2)常数项为60.【解析】【分析】(1)根据通项，写出前三项二项式系数，根据和为22,求出的值;答案第6页，总10页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案。(2)利用通项，并令工的指数为0,求出常数项.【详解】( 1 丫解：(1)因为2x + 尸 展开式中前三项的二项式系数和为22.所以 c： + c： + c； = 1+ M + L = 22,解得：几=6或 =7 (舍去).所以的值为6.(2)由通项公式小=屐(2x)6-9=C；26Mx6
5、苫，令6 = 0,可得：攵=4, 2所以展开式中的常数项为*1 =e26-4%。=60.【点睛】此题考查利用二项式展开式的通项法研究特定项的问题，属于基础题.,3(1) 6； (2) 60； (3) 160户.【解析】【分析】(1)利用公式展开得前三项，二项式系数和为22,即可求出n.(2)利用通项公式求解展开式中的常数项即可.(3)利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项.【详解】解：由题意，(2x + 一1)展开式前三项的二项式系数和为22. 7 x(1)二项式定理展开：前三项二项式系数为：端+ C + c； = 1 + T + 7)= 22,解得： =6或 =一7(舍去).即的值为6.答
6、案第7页，总10页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案。16-迎（2）由通项公式乙1 二C：（2x）6（7） =26一晨2 , y/X可得：k = 4.,12展开式中的常数项为小-c：26Tx万=60 ；（3）是偶数，展开式共有7项那么第四项最大2 =160炉.展开式中二项式系数最大的项为+1 =cl261_111由题意7；+1=。；（炉）-3（_1工3）3为常数项，那么 5 3） + （ ）x3 = 0,解得 =5. 23考点：1 .二项式定理的应用；2.二项式的通项、系数、次数. 答案第8页，总10页x【点睛】 此题主要考查二项式定理的应用，通项公式的有关计算，属于基础题.15. 6
7、0【解析】【分析】 利用二项式展开式通项确定满足条件的系数.【详解】 二项式（2x+y） 6的展开式中，展开式的含x2y4的项为C：（2x）2y4=60x2y4,所以含x2y4 的项的系数是60.故答案为60.【点睛】此题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，属于基础题.16. 5【解析】【分析】【详解】试题分析：先将题中二项式进行化简得,试题分析：先将题中二项式进行化简得,本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案。17. -560【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，求得第四项的系数.【详解】二项展开式中，第四项的系数为C，24(一l)3 =560.故答案为：560【点睛】本小题主要考
8、查二项展开式通项公式的运用，属于基础题.18. -1【解析】令l + x = 0,即 =得%=1,令 1 + % = 1,即工=0,得4+% + 6 =0,那么19. 21【解析】【分析】由于展开式中各项系数之和为96,所以令工=1,那么3(1 + 47 =96,从而可求出4 = 1,进而可求出展开式的常数项【详解】令x = l,得3(1 + 4)5=96,解得，=1.展开式的常数项为C； + 2 x C； = 21所以(1 + X)的展开式中常数项为21.故答案为：21【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题20. 0答案第9页，总10页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用
9、，答案。【解析】【分析】利用二项式定理可知，对关系式中的X赋值，即可求得4+4 +。2+。8的值【详解】（X_2）= 6Zq + 6Z| 1） +.+出（X1）令 X= 2 得：0 = % +。 + / + , , + ， 即 （）+。1 + / + , , + 08 = 0 ；故答案为0.【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题.答案第10页，总10页(1 ) Q +。2 +。3 +。4 +。5 ；(2) % +% +。4 ；(3) % + 2az + 3% + 4。4 + 5% .(1 f10.在x 展开式中，求:(1)含X的项；(2)含Y的项的系数.(I )求展开式
10、中各项二项式系数的和;(II)求展开式中中间项.(1、12.二项式2x + g (几cN)的展开式中第3项的二项式系数是15,按要求完成以下问题：(1)求及的值；(2)求展开式中有理项；13.13.2x +展开式中前三项的二项式系数和为22.(1)求的值；(2)求展开式中的常数项.(1 V.21+ 下展开式前三项的二项式系数和为22.(1)求及的值；(2)求展开式中的常数项；(3)求展开式中二项式系数最大的项.三、填空题. (2x+ y)6的展开式中，x2/的系数为.14 .假设(-=)的展开式中第四项为常数项，那么产试卷第2页，总3页15 .在（2x I），的二项展开式中，第四项的系数为.1
11、6 . 设炉=优+0。+x）+2（l+x）2+.+6（l+x）6, 那么 ai+a2+.+6=/、517 . （1 + 2/） 1 + - 的展开式中各项系数之和为96,那么该展开式的常数项为x）18 .假设(工-2)8 = a。+ 6/j (x -1) + a2 (x -1)2 + . +tz8(x-l)8,那么为 + q +% + . + / =本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案。参考答案1. A【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，+=(-瓜y,然后令x的次为3,得左=3,从而可求出Y的系数【详解】展开式的通项公式为tm =令仁3,那么4(-任了=83,那么13的系数为8
12、近，应选：A.【点睛】此题考查二项式定理的应用，属于基础题2. A【解析】【分析】令 = 1即可得二项式展开式的各项系数的和.【详解】解:令x = 1可得二项式(1 + 2x)4的展开式的各项系数的和为34 = 81.应选A.【点睛】此题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3. C【解析】【分析】(4 + 叫的展开式中第7项为C；/ (6)6 .【详解】答案第1页，总10页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案。+布的展开式中第7项为C；/ (扬/=843。3应选：C【点睛】此题考查求二项展开式中的指定项，属于基础题.4. D【解析】【分析】利用通项公式求出项的系
13、数且等于一 15,建立关于。的方程，求解即可.【详解】,、5/ rX2+- 的二项展开式的通项公式为7；用二。；(2厂厂.=优.。；.93I X) = 012,3,4,5.令 10 3r=7,得 =1,所以展开式中项的系数为oG=-15,解得 =3.应选：D.【点睛】此题考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.5. B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令元的指数为 求出人 可得展开式的常 数项.【详解】(1 + 2x)5的展开式的通项为4+1 = C；(2x)r = 2P当r = 0时，可得(1 + 2x)5的展开式中的常数项为2C； = 1.应选：B.【点睛】此题主要
14、考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确写出其答案第2页，总10页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案。通项，属于基础试题C【解析】【分析】由二项式系数性质，(。+勿的展开式中所有二项式系数和为2计算.【详解】2% +宁的二项展开式中二项式系数和为2，二2 =32,. = 5.应选：C.【点睛】此题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键.6. B【解析】由题意知：所以 =6,故(x ，)=(x 工)6,令x = l得所有项系 222数之和为(2)6=2647. (1) 1； (2) -2； (3) -122.【解析】【分析】(1)代入x = 0即可求
15、得%=1；(2)代入 = 1可求得；(3)代入 = 1结合(2)即可求解.【详解】(1)令x = 0可得%=1.(2 )令 X = 1 口 J 得。0 +。 + % + % +。4 +。5 = 1，故。+。2 +。3 + 4 + % = -2 .(3)取 = 1,得旬q + % %-。5 = 3，= 243 ,又+%+%+% = - ，(2)答案第3页，总10页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案。-得 2(q + /+%) = 244 ,那么 6Z| + / + % = 122.【点睛】此题考查赋值法求系数和，属于基础题.8. (1) 33； (2) -496； (3) 240.【解析
16、】【分析】先由二项展开式的通项公式，得到(3X一1)5展开式的第厂+ 1项为=C35f ( 求出4 =-1 ；(1)令X = l,根据4=-1,即可求出结果；(2)令x = l,根据(1)的结果，即可得出结果；(3)对原式两边同时求导，将x = l代入求导后的等式，即可得出结果.【详解】二项式(3%-1)5 展开式的第 +1 项为 却=Q35-rx5-r (1)/= C；35r (-l)r x5-r,令5 =0,那么r=5,所以4 = C；35-5(I? 二一1；(1)令 x = 1 代入(3% 一 I)5 = a。+ a1x + a2x2 + a3x +得2，= a。+ q + 出 + /
17、+ / + %，所以 q + / + % + 4 + % = 32 +1 33 ；(2)令 = -1 代入(3x-1)5 = 4 +a1x + a2x2 +a3x?, + a4x4 +%/ 得(-4)= % -+ 2 一 “3 + 4 一。5，所以 2(4 +q +/) = ()+ 4 +2 + / +% +%)+ (4 - 4 + “2 一 生 +。4 一 “5 )= 321024 = 992,因止匕 4 + % + = -496 ；(3)对(3元-1)5 = a() +ax + a2x2 +a3x3 +a4x4 +a5x5 两边同时求导，得到 15(3X一1)4 =q +2a2x + 3a
18、3x2 +4%丁 +5a5x4,将 = 1 代入得 % + 2a2 + 3% + 4% + 5 a5 =15x2, = 240.答案第4页，总10页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案。【点睛】 此题主要考查二项式定理的应用，涉及导数的计算，属于常考题型.9. (1) 126%； (2) -84.【解析】【分析】(1)写出二项展开式的通项，令x的指数为1,求得参数的值，代入通项可求得结果;(2)写出二项展开式的通项，令x的指数为3,求得参数的值，进而可求得展开式中含丁的项的系数.【详解】(1)(1)1Y X展开式的通项为=碣产令9 2厂=1,得r=4,所以含X的项为C：(一l)x = 1
19、26x；(2)由(1),令9 2 = 3,得 =3,所以含d的项的系数为C；(l)3 =84.【点睛】此题考查利用二项式定理求指定项或指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.9( I ) 64； (II)n=.540”【解析】【分析】(I )根据展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是9： 1求出的值，然后可求各项二项式系数的和；(II)根据及的值确定中间项，利用通项公式可求.【详解】 解：(1)由题意知，展开式的通项为:/ q Y-5 rT小=C 曲严 _ =。：(一3)”丁且 N), I x J那么第五项的系数为C ：(-3打,第三项的系数为C ；(-3)2,那么有那么有：(-3)：9 83)2 一 1 答案第5页，总10页