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1、二二 项项 式式 定定 理理二项式定理，又称牛顿二项式二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克定理，由艾萨克牛顿牛顿于于16641664、16651665年间提出年间提出二项式定理在组合理论、开高二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用及差分法中都有广泛的应用 欧几里得在欧几里得在几何原本几何原本卷二卷二设有如下命题：设有如下命题：“任意分一线任意分一线段成两段，则整段上的正方形段成两段，则整段上的正方形等于两分段上的正方形与两分等于两分段上的正方形与两分段所构成矩形的二倍之和。段所构成矩形的二倍之和。” 2222)(bababa
2、aabb02C12C22C03C13C23C33C1 2 1 1 3 3 133223()abaa babb222()abaabb23302C12C22C03C13C23C33C 如展开如展开2() ,ab3() ,a b初中学过的多项式乘法法则初中学过的多项式乘法法则问题问题 (请用组合数表示）请用组合数表示）1.两两个盒子内各有一红一黑大小和质量个盒子内各有一红一黑大小和质量完全相同的小球，完全相同的小球，现从每个盒子里各取出一个球，有几种不同的取法？每现从每个盒子里各取出一个球，有几种不同的取法？每种取法各有多少种？种取法各有多少种？( )02C( )12C22C( )2.三三( )(
3、)( )( )03C13C23C33C33223()abaa babb222()abaabb02C12C22C03C13C23C33C( )( )( )( )( )04C14C24C34C44C3.四四4()()()()()abab ab ab ab4a3ba3a b22a b4b都不取都不取b04C14C24C34C44C取一取一个个bbbb取取2个个取取3个个取取4个个04C14C24C34C44C4432 234()abaa ba babb04C14C24C34C44C展开展开 .()na b00nnkC a当时，我们可以得出二项式第一项11 11nnkC ab当时，我们可以得出二项式第
4、二项nnnknC b当时，我们可以得出二项式第n+1项011222* nnnnnnnkn kknnnnabC aC abC abC abC bn()(N )二项展开式的通项二项展开式的通项: 1kT二项式系数二项式系数:), 2 , 1 , 0(nkCkn 项数：项数：次数：次数：共有共有n1项项 各项的次数都等于各项的次数都等于n， kknknbaC )()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn 字母字母a按按降幂降幂排列排列，次数由次数由n递减到递减到0 , 字母字母b按按升幂升幂排列排列，次数由次数由0递增到递增到n .二项式定理二项式定理 011222* nn
5、nnnnnkn kknnnnabC aC abC abC abC bn()(N )1nx()nba)(用b 替换公式中的b ,则得到公式：设 a =1 b =x , 则得到公式：01122211nnnnnnkkn kknnnnnC aC abC abC abC b ()()0122kknnnnnnnCC xC xC xC x二项式定理二项式定理 解解: :直接展开直接展开)1()2()2()12(5166066xxCxCxx 6665564246)1()1)(2()1()2(xCxxCxxC 2423336611(2) ()(2) ()CxCxxx32231126016024019264xxx
6、xxx 例：求例：求 的展开式的展开式6)12 (xx 先化简后展开先化简后展开32231126016024019264xxxxxx 6366) 12(1)12()12( xxxxxx42651663)2()2()2(1xCxCxx )2()2()2(6656246336CxCxCxC 例：求例：求 的展开式的展开式6)12 (xx 解解: :例例2 2：求：求(1+2(1+2x x) )7 7的展开式的第的展开式的第4 4项的系数项的系数解：解： (1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项是项是37 333 171(2 )TCx 33372Cx 3280 x 所以所以(1+2x)7的展开式的
7、第的展开式的第4项的系数是项的系数是280变式练习：变式练习：(1+2(1+2x x) )7 7的展开式的第的展开式的第4 4项的二项式系数项的二项式系数是是 _注意注意 二项式系数与系数的区别二项式系数与系数的区别3735C 二项式系数二项式系数为为 ；项的系数项的系数为：为：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积knC例例3：求：求 展开式中展开式中x3的系数的系数91()xx 解：解： 展开式的通项是展开式的通项是91()xx 99 2991()( 1)kkkkkkC xC xx 由题意得：由题意得：9-2k=3k=3因此因此x3的系数是的系数是339( 1)84C (2)(2)二项展开式的通项：二项展开式的通项：kknknkbaCT 11.1.二项式定理：二项式定理：)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn (1)(1)二项式系数：二项式系数： ), 2 , 1 , 0(nkCkn