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1、主讲：主讲：徐泽林徐泽林天津师范大学数学科学学院http:/ 2.1 2.1 希腊文明希腊文明 2.2 2.2 从泰勒斯到柏拉图学派从泰勒斯到柏拉图学派-论证数学的发端论证数学的发端第二章第二章 古代希腊数学古代希腊数学2.2.1 2.2.1 从泰勒斯到毕达哥拉斯学派从泰勒斯到毕达哥拉斯学派 2.2.2 2.2.2 雅典时期的希腊数学雅典时期的希腊数学 爱利亚学派爱利亚学派 诡辩学派诡辩学派 柏拉图学派柏拉图学派 亚里士多德学派亚里士多德学派 三大几何难题目三大几何难题目 关于无限的迷思关于无限的迷思 逻辑演绎结构的倡导逻辑演绎结构的倡导 2.3 2.3 亚历山大前期亚历山大前期-希腊数学的黄
2、金时代希腊数学的黄金时代 2.3.1 2.3.1 欧几里得欧几里得 2.3.2 2.3.2 阿基米德阿基米德2.3.3 2.3.3 阿波罗尼斯阿波罗尼斯 2.4 2.4 亚历山大后期与希腊数学的衰落亚历山大后期与希腊数学的衰落 海伦海伦 梅内劳斯梅内劳斯 托勒密托勒密 丢番图丢番图 帕波斯帕波斯 塞翁塞翁 2.1 2.1 2.1 2.1 希腊文明希腊文明2.22.2 从泰勒斯到柏拉图学派-论证数学的发端2.2.1 2.2.1 从泰勒斯到毕达哥拉斯学派从泰勒斯到毕达哥拉斯学派 （1）伊奥尼亚学派 从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料很少。不过希腊数学的兴起和希腊
3、商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验和文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思想自由而大胆地发展。城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念。在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教中分离开来。Thales of Miletus（2）泰勒斯 米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡。泰勒斯生于公元前624年，是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以
4、发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源.当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测到一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高度，使法老大为惊讶。泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。泰勒斯是演绎几何学的鼻祖，开数学证明之先
5、河，据说他最先证明了如下的定理:1.圆被任一直径二等分；2.等腰三角形的两底角相等；3.两条直线相交，对顶角相等；4.半圆的内接三角形，一定是直角三角形；5.如果两个三角形有一条边以及这条边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等。泰勒斯在天文学方面也曾有不同凡响的工作，据说他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食。当时正值战争之际，泰勒斯向世人宣告，若不停战，到时天神震怒！到了那天下午，两派将士仍激战不已，霎时间，太阳在天空中消失，星辰闪烁，大地一片漆黑。双方将士见此景象，砍太阳神真的发怒了，要降罪于人类，于是立即罢兵休战，从此铸剑为犁，和睦相处。另据传说，泰勒斯醉心于钻研哲学与科学，且
6、可谓清贫守道，而遭市井嘲笑。他不以为然地说，君子爱财取之有道。他在对气候预测的基础上，估计来年油料作物会大丰收，于是垄断了米利都和开奥斯两地的所有油坊，到季节以高价出租。有了钱，科学研究可以做得更好。这两则传说，如果是真实的话，那么泰勒斯确实不愧于其墓碑上所镌刻的颂辞：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地、万古流芳。”不过，这也是一则传说，因为泰勒斯生活的年代离我们太久远了，没有确切可靠的资料。（3）毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯(今希腊东部小岛)。为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。
7、后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪(约公元前500前300)之久。毕达哥拉斯非常重视数学，企图用数来解释一切这个学派不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数u这学派有一种习惯，就是一切发明都归功于学派的领认而且常常是秘而不宣所以后人很难知道究竞是谁在什么时候发明的PlutarchPlutarch(约46-120)的面积证明法a b b ab a b aa c c b b c bb c ca a c a毕达哥拉斯本人发现人所共知的“勾股定理”的时候，欢欣之情不可言状传说还宰了一百头牲畜来祭缪斯女神(Muses，神话中掌管文艺、科学的女神)，以酬谢神的默示。勾
8、股定理早己为巴比伦人所知不过最早的证明，大概还应归功于毕达哥拉斯学派。有的学者猜想这证明是从研究垛积数(figuratenumbcr)的关系得出来的可惜证法已失传现在教科书所采用的面积证法，如欧几里得几何原本卷1的47题，是欧儿里得首先给出。有些古代学者如斯特技博(Strzbo，公元前6624年，希腊地理学家)说毕达哥拉斯曾在巴比伦学习过，有的甚至说他到过印度“他对数字的神秘观点类似早期的巴比伦，而整个暂学的气氛十分接近印度值得注意的是，勾股定理在毕达哥斯之前巴比伦等国都早已知道，和毕达哥拉斯有什么关系，有待进一步研究毕达哥拉斯学派特点之一，是将算术与几何紧密联系起如他们发现用丰个整数表示直角
9、三角形边长的一种公式：2n十1，2n2十2n分则是二直角边，则斜边是2 n22 n十1这公式届于算术，又属于几何。这学派又将自然数分为苦干类：奇数，偶数；奇数乘奇数，偶数乘偶数；素数，完全数奇数，偶数；奇数乘奇数，偶数乘偶数；素数，完全数(一个数等于除它本身以外的所有因子之和，如281十2十4十7十14)；三角数(1，3，6，l0，)；平方数(1，4，9，16，)；五角数(I，5，12，22，35，5l，)等等又注意到连续的奇数和必为平方数1121十3221十3十5321十3十5十742这都和几何有关。希帕苏斯希帕苏斯 Hippasus(公元前公元前470年左右）年左右）是一个不可公度的数第一
10、次数学危机第一次数学危机不可公度量的发现自然数是一切的基础素数:数的原子不可公度:数的原子？根据勾股定理，导致了无理量的发现假设直角三角形是等腰的，直角边是1，那么弦是，它不可能用任何的“数”(有理数)表示出来，即直角边与弦是不可通约的这发现是毕达哥拉斯学派最卓越的功乾也是整个数学史上一项重大发现根据勾股定理，导致了无理量的发现假设直角三角形是等腰的，直角边是1，那么弦是，它不可能用任何的“数”(有理数)表示出来，即直角边与弦是不可通约的这发现是毕达哥拉斯学派最卓越的功乾也是整个数学史上一项重大发现。11abc无理数的发现无理数的发现x x、y y均为偶数均为偶数x、y互素112几何方面，他们
11、证明了平面可用正三角形、正方形或正六边形填满，空间可用立方体填满又知道正四面体、六面体、八面体和二十面体，并用这四种正多面休来表示火、风、土、水“四大元素”后来又发现了正十二洒性但没有相应的第五种元素，于是就用来代表宇宙全体这个学派在天文方面的贡献也不少首创地圆说，认为日、月、五星都是球形，悬在太空中，他们认为球是最完美的立体，圆是最完美的平面图。毕达哥拉斯还是音乐理论的始祖，他阐明了单弦的调和乐音与弦长的关系2.2.2 雅典时期的希腊数学（1）埃利亚学派德莫克里特(Democritus，JvA6xPc?oc，约公元前460357饲。：生于圆圆型(从der3，LlJ北剧他和他的老师旦茎坦(Le
12、uciPPu，Jc6KMn。e)是原子论学派的创始人倔度克利特不仅是数学家、哲学家，而且有关于物理、气象、动物和控学的丰富若作，是几乎达到百岁高龄的学者可惜他的书流传下来的很少他到过东方旅行，在埃及住过，并说自己在作闯和证明方面已超过了埃及的测量者(h“叩ed。“叩te)德漠克利特认为万物的始源只有两个原子与虚空“原子”(atom，拉丁文atomu3来自希腊文5?。A。s，是不可分割的思)是不可分的物质粒子，永远处于运动状态之中这种见解给宗教以毁灭性的打击在数学方面，德设克利特应用了原子的观点他认为线段、面积和立体，是由有限个不可再分的原子构成的计算体积就等于将这些原子集合起来这种不接严格的想
13、法骤然看来好象不大合理，但是这种“原子法”和前面授到安提丰的“穷蜗法”却是古代数学家发现新结果的重要线索阿基米德说德滨克利特是第一个得出圆锥或棱锥体积是等底等高的圆柱或棱柱的13的人这命题的最早证明属于位多克萨斯(Eudoxus，别6。5。97约公元前408355年)阿基米德自己也用过这种方法寻找问题的答案，然后再用严密的理论使其精确化，直到16世纪的刻L勒，将园看作无数顶点在圆心上的三角形的和，还带有“原子法”的遗风*芝诺（2）智人学派与尺规作图问题 公元前5世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”(sop
14、histschool,或译巧辩学派、哲人学派)应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，即求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已知圆。问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这个学派的安提丰(约公元前430)提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8，16，32、边形，这样继
15、续下去，安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽(约263年前后)的割圆术思想不谋而合。柏拉图学派 公元前4000年，古希腊哲学进入系统化阶段，其代表人物有柏拉图和亚里士多德。公元前427年柏拉图生于雅典的一个名门望族。他的父亲名叫阿里斯东，母亲叫柏里克蒂娥尼，是改革家梭伦的后裔。柏拉图本名阿里斯托克利，据说因为他生有一个阔额头，所以得了个浑号“柏拉图”，后来这个名字也就叫出了名。柏拉图青年时代，正当伯罗奔尼撒战争，18岁时他应征入伍。他青年时期象其他贵族子弟一样受过良好的教育，富于文学兴趣和才能。20岁时成为苏格拉底的学生。公元前399年苏
16、格拉底被已经腐败的雅典民主派处死，柏拉图因此受到沉重的打击。苏格拉底被处死后，柏拉图不得不暂离雅典，大约从28至40岁，他作了一次海外游历。他先到邻邦墨加拉，从那里渡海去北非。他先后到过希腊殖民城市昔伦尼和金字塔之乡埃及。然后来到南意大利，在那里接触到毕达哥拉斯派门徒如阿基达等；这些人才哲学有着坚定信念，知识渊博，又执掌着政权，给他留下了深刻的印象。柏拉图曾经有三次西西里之行，他试图把政治理想付诸现实，但都以失败而告终。第一次是公元前387年柏拉图到达西西里岛，在叙拉古宫廷会见僭主狄奥尼修一世，宾主交谈并不投机；僭主信奉军事实力，柏拉图谈论唯心论哲学，结果不欢而散。第二次是公元前367年，柏拉
17、图应戴昂邀请去叙拉古担任新即位的狄奥尼修二世的教师。第三次是公元前361年狄奥尼修二世再邀柏拉图前往叙拉古,结果仍不顺利，败兴而归。据说柏拉图在返国途中被人卖为奴隶，幸得熟人慷慨解囊，以二十明那替他赎身。公元前386年，柏拉图在雅典近郊凯菲索区的阿卡德米体育场开办了一所学校，他一边教学，一边著作，做了一名教师。他在阿卡德米的入口处写了“不懂几何学者勿入”的字样，告诉人们，没有几何学的知识休想登上柏拉图的哲学殿堂。柏拉图主持学园约40载，学园的建立是他生命史上的转折点，在某些方面还是西欧科学史上最值得纪念的事件。对于柏拉图来说，这意味着在长期等待之后，已经找到了他一生真正的工作。柏拉图的著作大都
18、是以对话体裁写成的。主要有：辩诉篇，克利托篇，普罗塔戈拉篇，高吉亚篇，曼诺篇，共和国篇，(即理想国)，菲多篇，宴话篇，菲德罗篇，智者篇，法律篇等。拉斐尔圣齐奥(1483-1520)所绘油画雅典学派A Roman mosaic showing Platos Academy不懂几何者不得入内柏拉图的理想国是柏拉图的一部代表作，涉及他思想体系的各个方面，包括哲学、伦理、教育、文艺、政治等内容，但主要地是讨论所谓“正义国家”的问题。柏拉图生活的时代，希腊城邦开始发生危机，于是他留心于探索一个普遍性的问题：究竟定下一套什么样的原则，采取什么样的具体措施，才能够建立起称得上是理想的国家?这种国家在本质上既
19、可以克服某些城邦(如雅典)所固有的“弊病”，又可以作为一切城邦(甚至外邦)理应仿效的“范型”。大概这就是柏拉图在殚心竭力地构造他的理想国家时，所面临和考虑的主要课题。公元前347年，柏拉图以80岁卒其天年。是在参加一个弟子的婚礼中，小睡一憩竟长眠而未起的。柏拉图死后，他所创立的学园由门徒主持代代相传，继续存在了数世纪之久。柏拉图非常重视数学，传说在他的学因门口写着；“不但几何者不得入内”。柏拉图鉴于毕达哥拉斯所给出点的定义(点是方位置的单位)不够明确，于是另立定义“点是直线的开端”，或“点是不可分割的线”这两个定义和我因墨经中的“端，体之无厚而最前者也”及“体，若二之一，尺之端也”极其相似。柏
20、拉图在教学中为科学奠定了基础，坚持准确的定义、清楚的假设和逻辑的证明。他对数学有很大的功劳,在他的倡导下,柏拉图学派中产生了不少数学家。欧多克萨斯曾一度是柏拉图的学生在天文、几何、医学和法律方面都有值得称道的成就他是最早介绍球面天文和描述星座的希腊科学家。在数学方面，最大的功劳是创立了比例论。欧几里得几何原本第5卷比例论大部分来自他多克萨期的工作他多克萨斯的比例论完全排除了毕达哥拉斯学派只能适用于可通约量的算术方法，纯粹用公理法建立理论，因此没有区别可迈约和不可通约的必要 柏拉图学派及其他学术中心柏拉图(约公元前427前347)在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力
21、方面的作用，而忽视其实用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了比例论，是欧几里得的前驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。Aristotle 亚里斯多德，古希腊著名哲学家、自然科学家，西方文艺理论的真正奠基者。公元前384年生于爱琴海北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗斯，其父是马其顿国王阿明塔斯二世的御医。母亲法伊斯提来自优卑亚岛的哈尔基斯。亚里斯多德早年丧父，由监护人“
22、抚养”。17岁赴雅典就读于柏拉图的“学园”，受教20年。为学员中出类拔萃者。柏拉图去世后，亚里斯多德曾受马其顿王之聘，教育太子亚历山大。回雅典后，亚里斯多德在吕刻翁自立学园，专心教育和著述，经常在走廊边走边讲授，后世称他的弟子为“逍遥学派”。恩格斯称他是古代“最博学的人”。公元前335年，亚里斯多德返回雅典，在雅典东郊的一所名叫吕凯伊昂的体育场开办了自己的学校。13个年头里，他一边教学，一边写作。这是他最为成熟也最有成就的时期，他遗存的大部分作品完成于此时。弟子分两班。他每天上午教高级班，人数有限，课程包括哲学、物理学、辩证术等。下午教普通班，讲授修辞学、政治学等课目。因他经常率领一群弟子在校
23、园的林荫道上踱着方步授课，所以他的学派得名“逍遥学派”。亚里斯多德的研究工作得到了亚历山大的赞助。据说这位跃马东方的“大王”派了成千的人员供他支配，有打猎的、捕鱼的、养蜂的、喂鸟的，等等，分布在希腊和亚洲的各个地区。这样便帮助他建成了一座规模可观的生物实验室。亚历山大还下令为亚里斯多德搜集各邦各城的法律政治资料，为他提供800塔兰特的研究费用。公元前323年，亚历山大的死耗从巴比伦传来，雅典人一时间将自己对马其顿人的怒气发泄到亚里斯多德的头上。他被控犯了“渎神罪”。他眼见祸之将至，匆匆避居于哈尔基斯。次年辞世，享年63岁。他的著作相传有400余卷，但大多散失，传者也残缺不全。他的著述可分为形而
24、上学、物理学、伦理学、政治学和美学五个部分.批判地继承了柏拉图的全部学说。柏拉图破坏多于建树，亚里斯多德批判多于继承，建树多于破坏；两人处处针锋相对。亚里斯多德实践了自己的名言：“我爱我的老师，我更爱真理。”他专论文艺和美学的著作，今传有诗学和修辞学，是古希腊文艺辉煌成就的总结。诗学是讲课提纲，是所谓“秘传本”，现存仅有26章，主要论述了悲剧和史诗，对喜剧所论甚简，对抒情诗根本没提，这是第一部。据传还有系统论述艺术一般问题的第二部，可惜已遗失。修辞学是发表的作品，即“外传本”。此外相传还有论修词、论诗人、戏剧研究和荷马问题四部著作，都已散失。车尔尼雪夫斯基评价亚里斯多德是“第一个以独立体系阐明
25、美学概念的人，他的概念竟雄霸了2000余年”。称他的诗学“是第一篇最重要的美学论文，也是迄至前世纪末叶一切美学概念的根据”。他的文艺理论在欧洲文艺史上具有“法典”的权威，影响极为深远。亚里斯多德还是逻辑科学的创立者，有名的逻辑推理“三段论”就是他提出来的。亚里斯多德的形式逻辑为传统逻辑打下了坚实的基础。三等分任意角；倍立方，即求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已知圆。问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步
26、。这个学派的安提丰(约公元前430)提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8，16，32、边形，这样继续下去，安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽(约263年前后)的割圆术思想不谋而合。（1）三大几何作图问题欧多克斯欧多克斯EudoxusEudoxus（409409356BC)356BC)芝诺悖论芝诺悖论芝诺Zeno约495BC430BC（2）关于无限的迷思芝诺与运动悖论这个时期的希腊数学中心还有以芝诺(约公元前496前430)为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给学术界以极大的震
27、动。这四个悖论是：他提出四个悖论，给学术界以极大的震动。这四个悖论是：二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步。Zeno of Elea运动是不存在的运动是不存在的 阿基琉斯(善跑英雄)追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去，总也追不上。飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的。芝诺悖论芝诺悖论:飞矢不动飞矢不动时刻t 运动场问
28、题，芝诺论证了时间和它的一半相等。（3）逻辑结构的倡导 2.3 2.3 2.3 2.3 亚历山大前期亚历山大前期-希腊数学的黄金时代希腊数学的黄金时代 亚历山大前期从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。欧几里得的几何原本是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，
29、把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。几何原本体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼(约公元前276前195)的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很出名。天文学家喜帕恰斯(公元前2世纪)制作“弦表”，是三角学的先导。亚历山大帝国 2.3.
30、1 2.3.1 欧几里得与几何原本欧几里得与几何原本 欧几里得(活动于约前300-)古希腊数学家。以其所著的几何原本(简称原本）闻名于世。关于他的生平，现在知道的很少。早年大概就学于雅典,深知柏拉图的学说。公元前300年左右，在托勒密王（公元前364前283）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。他是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据普罗克洛斯（约410485）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的几何原本之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的
31、学习箴言。斯托贝乌斯（约500）记述了另一则故事,说一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学之后将得到些什么。欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。欧几里得将公元前 7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了几何原本之外，他还有不少著作，可惜大都失传。已知数是除原本之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和原本前6卷相近，包括94个命题,指出若图形中某些元素已知,则另外一些元素也可以确定。图形的分割现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。光学是早期几何光学著作之一，研究
32、透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。希腊数学史上，欧几里得具有承前启后的作用。他是希腊论证几何学的集大成者，更是亚历山大数学学派的奠基人。他对数学，或者说整个人类文明史的贡献，主要体现在他的鸿篇巨制原本当中。这部杰作的出台亮相，使以前所有有关数学原理的书册黯然退出了历史舞台。从问世之日起，它便倍受推崇，直到如今，世界各国的初等几何课本还在讲授它的内容。它被广泛使用和研究的程度完全可追圣经，而它对于科学思想的重大影响更是无与伦比。“原本”的希腊文原意是指一个学科中最重要的定理，如同字母之于语言的作用一样，它
33、们必须具有最一般最广泛的应用。原本所包含的正是这样一些数学定理。欧几里得在这里运用公理法则对当时的数学知识进行了系统化、理论化的总结。其书共分13卷，包括5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了人类文明史上第一个演绎数学的公理化体系。在内容上，原本总结并推广了毕达哥拉斯学派的几何成就，欧多克斯的比例理论，以及几乎所有以前的立体几何知识，此外，还有大量的初等数论定理。在方法上，原本则通过完善安提丰的穷竭法，使其在面积、体积理论方面成为一种有力的、成熟的证明工具，展现了古希腊数学的思想精髓和典型意义。利用几何形式处理代数问题的思想也是它的一个显著特点。（欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明
34、）欧多克斯对比例的界定并未限制涉及到的量是否可以公度，从而巧妙地回避了无理量问题，因而能够适用于更加广泛的几何命题证明。原本对欧多克斯比例理论的精彩阐述。这被认为是该书的最大成就之所在，因为它在当时的认识水平上，消除了由不可公度量引起的数学危机。原本给出了有关整数性质的若干定理及其证明。其中包括素数分解唯一性定理和素数个数无穷的定理。求两数最大公因子的辗转相除法，现今称为欧几里得算法。此外，还有和连比有关的几何级数，以及关于完全数的定理等。所有这些内容说明，将原本仅仅看成是一部纯几何著作多少有点不够全面客观。不过，原本最大的功绩应在于它确立了数学中的演绎范式，这种范式要求一门科学中的每个命题必
35、须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有逻辑链的共同出发点,只是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理：公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。正是在这一点上，欧几里得原本可以说是数学史上的第一座理论丰碑。几何原本几何原本 1482年年 威尼斯威尼斯2.3.2 阿基米德阿基米德公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。父亲是位数学家兼天文学家。阿基米德从小有良好的家庭教养，11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称“智慧之都”的名城里，阿基米德博阅群书，汲取了许多的知识，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生，钻研几何原本。后来阿基米德成为兼数学家与力学家
36、的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。其原因在于他通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演泽方法推出许多杠杆命题，给出严格的证明。其中就有著名的“阿基米德原理”，他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就。尽管阿基米德流传至今的著作共只有十来部，但多数是几何著作，这对于推动数学的发展，起着决定性的作用。（1）阿基米德的著作论螺线，是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。砂粒计算，是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了
37、新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。圆的度量，利用圆的外切与内接96边形，求得圆周率为：，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。球与圆柱，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理”。抛物线求积法，研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆
38、锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。浮体，是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。论锥型体与球型体，讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。平面的平衡，是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。（2）阿基米德的数学A A 关于球体积公式的获得关于球体积公式的获得T N x-R SA BCRB B 关于抛物线弓形面积关于抛物线弓形面积GTH
39、FKAODCMENPWBVV1P1P1V1QqP1系统总结并严格证明了杠杆定律，为静力学奠定了基础。在总结前人经验的基础上，阿基米德系统地研究了物体的重心和杠杆原理，提出了精确地确定物体重心的方法，指出在物体的重心处支起来，就能使物体保持平衡。在论平面图形的平衡一书中，进一步确定了各种平面图形的重心，并对杠杆平衡条件做了严格的数学证明。得出重物的重量比和它们离支点的距离成反比的杠杆定律。运用这一定律，阿基米德设计过杠杆滑轮系统，创造了用小力把大船拉到水里等奇迹。2在著名的论浮体一书中，他总结出了著名的阿基米德原理；放在液体中的物体受到向上的浮力，其大小等于物体所排开的液体重力。从此使人们对物体
40、的沉浮有了科学的认识，从而奠定了流体静力学的基础。3确定各种几何图形的面积和物体的表面积、体积的计算方法，创立“穷竭法”。他精通几何学，先后发现了几十条定理。在圆的度量等著作中，提出了计算圆的周长、面积及扇形面积的准确公式；他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法精确求出在这些计算中，他创立的“穷竭法”，实质上与现代数学积分计算的基本思想相同。在论抛物线形的求积法、论球和圆柱等著作中，阿基米德在计算抛物线弓形面积和球、椭球、旋转抛物体等的表面积与体积时，进一步发展了“穷竭法”,以说是现代微积分法的先导。他还首创记任意大数的方法，突破了当时用希腊字母记数最大数不能超过一万的局限等
41、。（3）阿基米德的主要科学贡献和他的前辈及同时代的一些学者相比，阿基米德的学术活动有一个显著的特点，就是他既极为重视科学的严密性、准确性，要求对每一个问题都进行精确的、合乎逻辑的证明；又非常注意科学知识的实际应用，亲自设计制造过多种机械装置和建筑物，开创理论研究和实际应用密切结合的学风。流传下来的阿基米德的著作除上文提到的外，尚有螺线、论锥体和球体、沙的计算等。据现在所知，他失传的著作有天球仪的制造、论杠杆、支持、原理和反射光学等。在他死后差不多两千年，在公元1670年，英国牛津出版了阿基米德遗著全集。经历了这么多世纪而保留下来的阿基米德的著作，就全部收在这部全集中了。美国的E.T.贝尔在数学
42、人物上是这样评价阿基米德的：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。2.3.3 阿波罗尼斯与圆锥曲线阿波罗尼斯(ApolloniusofPerga,前262前190)古希腊数学家。生于小亚细亚的帕加(今土耳其安塔利亚省内)，青年时去亚历山大城学习数学。其主要著作圆锥曲线在数学史上占有重要的地位。该书系统地讨论了抛物线阿波罗尼奥斯是亚历山大时期希腊数学史上的又一位杰出人物。他的贡献涉及几何学和天文学，但最为重要的是他在前人工作的基础上创立
43、了相当完美的圆锥曲线论。他以欧几里得式的严谨风格所写就的传世之作圆锥曲线论，在研究圆锥曲线上所达到的理论高度，直到笛卡尔、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。圆锥曲线论共分八卷，含487个命题。前四卷是基础部分，后四卷为拓广的内容，可惜末卷现已失传。阿波罗尼奥斯一改希腊人通过三种圆锥面构导圆锥曲线的传统方法，仅从一个对顶锥出发便得到了所有的圆锥曲线。椭圆、抛物线、双曲线这些词的通用名称就是他在这部书中首先提出来的。在使用统一的方式引出三种圆锥曲线后，他便展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉及圆锥曲线的直径、共轭直径、切线、中心、双曲线的渐近线、椭圆与双曲线的焦点、以及处在各种不同位置的圆锥曲线的交
44、点数等等。2.4 2.4 2.4 2.4 亚历山大后期与希腊数学的衰落亚历山大后期与希腊数学的衰落 亚历山大后期公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明。海伦(约公元62)、门纳劳斯(约公元100)、帕普斯等人都有重要贡献。天文学家C.托勒密(约85165)将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础。晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯(约公元100)和丢番图(约250)。前者是杰拉什(今约旦北部)地方的人。著有算术入门，后者的算术是讲数的理论的，而大部分内容可以归入代数的范围。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，
45、对后世影响之大，仅次于几何原本。325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重的打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数学至此告一段落。即使按今天的标准来衡量，圆锥曲线论中乃有不少深奥的结果，尤为突出的是第五卷对从定点到圆锥曲线间最长和最短线段的探讨，这在实质上给出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线概念，它们是近代微分几何的课题。第三、四两卷对圆锥曲线极点与极线调和性质的论述，则包含了射影几何学
46、的思想萌芽。圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高成就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解析几何的一些主要结论，着实令人惊叹。但这种手段也给许多复杂命题的叙述与证明带来了麻烦，使其显得晦涩难懂，从而影响到其后十几个世纪里几何学的裹足不前。几何学中的新时代直到17世纪才迟迟到来。2.4.1 2.4.1 海伦海伦2.4.2 2.4.2 梅内劳斯梅内劳斯 亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉。该时期开始阶段值得提及的几何学家恐怕只有海伦，其量度（Metrica）一书主要讨论各种几何图形的面积体积计算。其中包括后来随其命名的三角形面积公式。海伦的几何学带有罗马科学明显的实用色彩，不少命题没有证明
47、，这对于亚历山大前期的数学家而言，完全是不可思议的。2.4.3 2.4.3 托勒密托勒密Ptolemy(85 AD-165)亚历山大后期几何学最富创造性的成就是三角学的建立。这方面最卓越的代表人物首推托勒密。他的名著天文学大成（Almagest）既总结了前人的知识，又提出了不少新理论，为三角学的进一步发展和应用奠定了坚实的基础。天文学大成对三角学的贡献为托勒密在数学史上赢得了稳固地位。天文学大成对于三角学最有意义的贡献在于其中的那张弦表，它在实质上给出了从0到90每隔15角的正弦值。此外，托勒密还给出了编制这张弦表的数学原理。托勒密的弦表，是历史上第一个有明确的构造原理并流传于世的系统的三角函
48、数表。丢番图（DiophantusofAlexandria）,约公元250年前后，古希腊对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本希腊诗文选TheGreekanthology【这是公元500年前后的遗物，大部份为语法学家梅特罗多勒斯Metrodorus所辑，其中有46首和代数问题有关的短诗epigram。以下所引的是第126题。】中，收录了他的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多幺令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补
49、，又过四年，他也走完了人生的旅途。”意思即是：丢番图的一生，幼年占1/6，青少年占1/12，又过了1/7才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半。这相当于方程X/6+X/12+X/7+5+X/2+4=X，X=84，由此知道丢番图享年84岁。亚历山大的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。他有几种著作，最重要的是算术，还有一部多角数，另一些已遗失。算术是一部划代的著作，它在历史上影响之大，可和欧几里得的几何原本相媲美。丢番图的算术是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方
50、程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。2.4.4 2.4.4 丢番图（Diophantus of Alexandria）从另一个角度看，算术一书也可以归入代数学的范围。代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想（虽然未有现代方程的形式）这几方面来看，丢番图的算术完全可以算得上是代数。希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之