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1、一、一、中世纪的欧洲第 5讲.冲破黑暗文艺复兴与近代数学的兴起三、三、解析几何的诞生二、二、向近代数学的过渡大约在公元大约在公元500年左右才开始出现新文化年左右才开始出现新文化公元公元511世纪，是欧洲历史上的黑暗时期世纪，是欧洲历史上的黑暗时期出现一些水平低下的算术和几何教材：出现一些水平低下的算术和几何教材：博埃齐：选编了几何、算术等教科书博埃齐：选编了几何、算术等教科书,几何仅包含原几何仅包含原本的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测本的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测量术；算术则是根据四百年前尼科马库斯的一本浅易的量术；算术则是根据四百年前尼科马库斯的一本浅易
2、的著作编写的。著作编写的。比比德德(V.Bede,674735)、热热尔尔拜拜尔尔(Gerbert,约约9501003)等等人人也也讨讨论论过过数数学学.前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度-阿拉伯数字带入欧洲。阿拉伯数字带入欧洲。直到直到12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏是由于受翻译、世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏是由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激开始。传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激开始。文艺复兴的意大利成为东西方文化的熔炉文艺复兴的意大利成为东西方文化的熔炉.古代学术传播西欧的路线如图古代学术传播西欧的路线如图5
3、.1所示所示一、中世纪的欧洲一、中世纪的欧洲 数学著作的翻译：数学著作的翻译：阿德拉特阿德拉特：几何原本、花拉子米：几何原本、花拉子米天文表；天文表；普拉托普拉托：巴塔尼天文学、狄奥多：巴塔尼天文学、狄奥多修斯球面几何以及其它著作修斯球面几何以及其它著作罗伯特罗伯特：花拉子米代数学等：花拉子米代数学等杰拉德杰拉德：90多部阿拉伯文著作翻译多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文成拉丁文.包括大汇编包括大汇编,原原本本,圆锥曲线论圆锥曲线论,圆的度圆的度量等量等斐波那契：斐波那契：算盘书算盘书(Abaci,1202)印印度度-阿阿拉拉伯伯数数码码，分分数数算算法法，开开方方法，二次和三次方程，不定方程，法，
4、二次和三次方程，不定方程，以及几何原本和希腊三角学的以及几何原本和希腊三角学的大部分内容大部分内容兔子问题：兔子问题：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？殖成多少对？斐波纳契数列：斐波纳契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，3
5、4，55，89，144，233二、向近代数学的过渡二、向近代数学的过渡1.1三、四次方程求解三、四次方程求解：费罗费罗(S.Ferro,14651526)：发现形如发现形如的三次方程的代数解法，并将解法秘密传给他的三次方程的代数解法，并将解法秘密传给他的学生费奥的学生费奥塔塔利亚塔塔利亚:宣称可以解形如宣称可以解形如的三次方程的三次方程,并最终将解法传授与卡尔丹并最终将解法传授与卡尔丹1 1 1 1 代数学代数学代数学代数学l论数字与度量（论数字与度量（15561560）：数学百科全书和）：数学百科全书和16世纪最好的数学著作之一世纪最好的数学著作之一卡尔丹卡尔丹：大术大术(或大法或大法154
6、5年年)三次方程三次方程 x3=px+q(p,q0)的解法：的解法：实质是考虑恒等式：实质是考虑恒等式：(a b)3+3ab(a b)=a3 b3若若选选取取a 和和b，使使3ab=p，a3 b3=q，（*）由（由（*）不难解出）不难解出a 和和b，于是得到于是得到a b 就是所求的就是所求的x.后人称之为卡尔丹公式。后人称之为卡尔丹公式。卡卡尔尔丹丹还还对对形形如如x3=px+q(p,q0)的的方方程程给给出出了了解解的的公公式式：x=a+b其中其中对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成卡尔丹能解的类型。卡
7、尔丹能解的类型。费拉里费拉里(L.Ferrari,15221565)(L.Ferrari,15221565)：四次方程求解：四次方程求解 其解法是利用一个变换：其解法是利用一个变换：将一般四次方程将一般四次方程 简化为简化为 (这总可以做到这总可以做到)由此进一步得到由此进一步得到 于是，对于任意的于是，对于任意的z，有，有 再选择适当的再选择适当的 z，使上式右边成为完全平方式，实际上使，使上式右边成为完全平方式，实际上使 即可。这样就变为即可。这样就变为z z的三次方程。的三次方程。费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种卡尔丹：卡尔丹：将塔氏方法推
8、广到一般情形的三次方程，将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，给出几何证明；给出几何证明；认识到三次方程有三个根，四认识到三次方程有三个根，四 次方程有四个根；对三次方程求解中的所谓次方程有四个根；对三次方程求解中的所谓“不可约不可约”情形感到困惑，认为复根是成对出现情形感到困惑，认为复根是成对出现 的；卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于的；卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于 x x2 2项的系数的相反数，每两根乘积之和等于项的系数的相反数，每两根乘积之和等于x x 项的系数，等等项的系数，等等 15721572年年,意大利数学家意大利数学家邦贝利邦贝利在其所著教科书代在其所著教科书代 代数
9、中引进虚数，用以解决三次方程不可约情况，并以代数中引进虚数，用以解决三次方程不可约情况，并以dimRq11表示表示-11。牛顿牛顿在其普遍的算术中证明复根成对出现在其普遍的算术中证明复根成对出现荷兰人荷兰人吉拉德吉拉德代数新发现代数新发现(1629)作进一步的推断：对于作进一步的推断：对于n次多项式方次多项式方程，如果把不可能的程，如果把不可能的(复数根复数根)考虑在内，并包括重根，则应有考虑在内，并包括重根，则应有n 个根。个根。根与系数的关系问题后来由韦达、牛顿和格列高里等人作出系统阐述。根与系数的关系问题后来由韦达、牛顿和格列高里等人作出系统阐述。*法国代数学：法国代数学：韦达：韦达：分
10、析方法入门分析方法入门(1591)、论方程的整理与修正、论方程的整理与修正(1615)、有效、有效的数值解法的数值解法(1600)等方程论著作等方程论著作给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法。给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法。笛卡儿：笛卡儿：1637年年,首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求解解.几几何何学学中中提提出出因因式式分分解解定定理理：f(x)能能为为(x-a)整整除除,当当且且仅仅当当a是是 f(x)=0的的一一个个根根;未未加加证证明明叙叙述述了了n次次多多项项式式方方程程应应有有n个
11、个根根的的论论断断,以以及及“笛笛卡卡儿儿符符号号法法则则”:多多项项式式方方程程f(x)=0的的正正根根的的最最多多个个数数等等于于系系数变数变号的次数号的次数,负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续出现的次数负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续出现的次数.韦达：韦达：分析引论分析引论(1591)(1591)第一次有意识地使用系统的代数字母与符号第一次有意识地使用系统的代数字母与符号,辅音辅音 字母表示已知量字母表示已知量,元音字母表示未知量元音字母表示未知量,他把符号他把符号 性代数称作性代数称作“类的算术类的算术”.同时规定了算术与代数同时规定了算术与代数 的分界的分界,认为代数运
12、算施行于事物的类或形式认为代数运算施行于事物的类或形式,算算 术运算施行于具体的数术运算施行于具体的数.使代数成为研究一般类型使代数成为研究一般类型 的形式和方程的学问的形式和方程的学问,因其抽象而应用更为广泛因其抽象而应用更为广泛.韦达的符号代数保留着韦达的符号代数保留着齐性原则齐性原则，要求方程中各项都，要求方程中各项都 是是“齐性齐性”的，即体积与体积相加，面积与面积相加的，即体积与体积相加，面积与面积相加.1.2 1.2 符号代数的引入符号代数的引入 韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德的代数新发现和奥韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德的代数新发现和奥特雷德特雷德(Ought
13、red,15751660）的实用分析术所继承。特别是通过）的实用分析术所继承。特别是通过后者的著作使得采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数法后者的著作使得采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数法的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个（的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个（a,b,c,d,）表示已知量，后几个（）表示已知量，后几个（x,y,z,w,）表示未知量，成为今天的）表示未知量，成为今天的习惯。习惯。到十七世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中特意使用符号具有到十七世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中特意使用符号具有很好的功效。并且使数学问
14、题具有一般性。很好的功效。并且使数学问题具有一般性。部分文艺复兴时期出现的缩写代数符号：部分文艺复兴时期出现的缩写代数符号：帕西奥里（意，帕西奥里（意，14451517年）年）（意，（意，1994）l 1494年算术集成：继斐波那契之后年算术集成：继斐波那契之后l第一部内容全面的数学书第一部内容全面的数学书l猫捉老鼠问题猫捉老鼠问题：一只老鼠在一只老鼠在60英尺高的白杨树顶上，英尺高的白杨树顶上，l一只猫在树脚下的地上。老鼠每天下降一只猫在树脚下的地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上英尺，晚上l又上升又上升1/6英尺；猫每天往上爬英尺；猫每天往上爬1英尺，晚上又滑下英尺，晚上又滑下1/4l英尺；
15、这棵树在猫和老鼠之间每天长英尺；这棵树在猫和老鼠之间每天长1/4英尺，晚上英尺，晚上l又缩又缩1/8英尺。试问猫要多久能捉住老鼠？英尺。试问猫要多久能捉住老鼠？符号符号使用者使用者时间时间方根方根RFibonacci(11701250,意意)1202年年加，减加，减p,mPacioli(约约14451517,意意)1494年年加，减加，减+,-J.Widman（德）（德）1489年年减减Oughtred（英）（英）1631年年等于等于=R.Recorde（英）（英）1557年年等于等于Vieta（法）（法）1591年年等于等于 Descartes（法）（法）1637年年乘乘 Oughtred（
16、英）（英）1631年年乘乘 Oughtred（英）（英）1631年年运算或关系运算或关系比例比例：Oughtred（英）（英）1631年年除除 J.H.Rahn(16221676,瑞士瑞士)1659年年大于大于,小于小于,T.Harriot（15601621,英）英）16世纪世纪方括号方括号,大括号大括号,Vieta（法）（法）1593年年根号根号 C.Rudolff（奥地利）（奥地利）16世纪世纪 n根号根号A.Girard（15931632,荷）荷）16年年乘幂乘幂xnxnOresme14世纪世纪乘幂乘幂xnBombelli（法）（法）乘幂乘幂axnanChuquet（法）（法）1484年
17、年指数指数a3a3PierreHerigone（法）（法）1634年年指数指数a3aaaT.Harriot（15601621,英）英）指数指数axaxDescartes（法）（法）1637年年 n2 2 2 2 三角学三角学三角学三角学波伊尔巴赫：波伊尔巴赫：把托勒玫的天文大成译成拉丁文，并编制了十分精确的正弦表。把托勒玫的天文大成译成拉丁文，并编制了十分精确的正弦表。雷格蒙塔努斯：雷格蒙塔努斯：论各种三角形欧洲第一部脱离天文学的三角学专著论各种三角形欧洲第一部脱离天文学的三角学专著全全书书分分五五卷卷，前前两两卷卷论论平平面面三三角角,后后三三卷卷论论球球面面三三角角,给给出出了了球球面面三
18、三角角正弦定理和边的余弦定理。正弦定理和边的余弦定理。方位表：制定高达方位表：制定高达5位的三角函数表位的三角函数表,除正余弦表外除正余弦表外,还有正切表。还有正切表。首次对三角学作出完整、独立的阐述首次对三角学作出完整、独立的阐述,使其开始在欧洲广泛传播。使其开始在欧洲广泛传播。维尔纳维尔纳(Werner,14681528)：论球面三角：论球面三角(1514)改进了将雷格蒙塔努斯的思想。改进了将雷格蒙塔努斯的思想。雷提库斯：雷提库斯：将将传传统统的的弧弧与与弦弦的的关关系系,改改进进为为角角的的三三角角函函数数关关系系,并并采采用用了了六六个个函函数数(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割正弦
19、、余弦、正切、余切、正割、余割)，编制了间隔为，编制了间隔为10“的的10位位和和15位正弦表。位正弦表。韦达：韦达：将平面三角与球面三角知识系统化将平面三角与球面三角知识系统化.在标准数学在标准数学(1579)和斜截和斜截面面(1615)中中,把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起,其中包括自己得到的正切公式：其中包括自己得到的正切公式：建立解球面三角形的方法与一套公式建立解球面三角形的方法与一套公式,给出帮助记忆这些公式的今天给出帮助记忆这些公式的今天所所谓谓的的“纳纳皮皮尔尔法法则则”.这这些些球球面面三三角角公公式式大大都都是是托托勒勒
20、玫玫建建立立的的,但但也有也有韦达自己的公式韦达自己的公式,如如（A为钝角）为钝角）尤为重要的是韦达还将一套三角恒等式改成代数形式。尤为重要的是韦达还将一套三角恒等式改成代数形式。16世纪世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。3 3 3 3 从透视学到射影几何从透视学到射影几何从透视学到射影几何从透视学到射影几何 圆圆锥锥曲曲线线在在天天文文学学上上的的应应用用，促促使使人人们们需需要要重重新新审审视视希希腊腊人人的的圆圆锥锥曲曲线线，以以及及其其它它高高等等曲曲线线。天天文文观观测测的的需需要要，光光学学又又日日益益成
21、成为为文文艺艺复复兴兴时时期期的的一一个个重要课题。文艺复兴时期的几何创造其动力来自艺术。重要课题。文艺复兴时期的几何创造其动力来自艺术。中中世世纪纪宗宗教教绘绘画画具具有有象象征征性性和和超超现现实实性性。文文艺艺复复兴兴时时期期，描描绘绘现现实实世世界界成成为绘画的重要目标为绘画的重要目标.画家们在将三维现实世界画家们在将三维现实世界 由于绘画、制图的刺激导致透视学的兴起由于绘画、制图的刺激导致透视学的兴起,从而诞生了投影几何学。从而诞生了投影几何学。布努雷契：布努雷契：由于对数学对兴趣而认真研究透由于对数学对兴趣而认真研究透视法，他试图运用几何方法进行绘画。视法，他试图运用几何方法进行绘
22、画。阿尔贝蒂：阿尔贝蒂：论绘画论绘画(1511)早期数学透早期数学透视视法的代表作。引入投影线、截影等概念，法的代表作。引入投影线、截影等概念，还讨论了截影的数学性质，成为射影几还讨论了截影的数学性质，成为射影几何何发展的起点。发展的起点。绘制到二维的画布上时绘制到二维的画布上时,面临的问题：面临的问题：（1 1）一个物体的同一投影的两个截影有什么）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？共同的性质？（2 2）从两个光源分别对两个物体投影得同一）从两个光源分别对两个物体投影得同一物影物影,那么这两个物体有何共同的几何性质？那么这两个物体有何共同的几何性质？蒙娜丽莎达芬奇自画像 德沙格德沙
23、格(G.Desargues,15911661)：系统讨论透视法的第一人系统讨论透视法的第一人.他研究投影法的动机是希望证明阿波罗尼奥斯他研究投影法的动机是希望证明阿波罗尼奥斯圆锥曲线的定理圆锥曲线的定理.1636年发表第一篇关于透视法的论文年发表第一篇关于透视法的论文.代表作是代表作是1639年发年发表的试论锥面截一平面所得结果的初稿表的试论锥面截一平面所得结果的初稿,书中引入书中引入70多个投影几何术多个投影几何术语语,有些很古怪有些很古怪,如投影线叫如投影线叫“棕棕”,标有点的直线叫标有点的直线叫“干干”,其上有三点成对合其上有三点成对合关系关系的直线叫的直线叫“树树”等等。等等。创造性思
24、想：创造性思想：从焦点透视的投影与截影原理出从焦点透视的投影与截影原理出发发,对对平行线引入无穷远点的概念平行线引入无穷远点的概念,继而获得无穷继而获得无穷远线的概念远线的概念;讨论了今天所谓的笛沙格定理讨论了今天所谓的笛沙格定理:投影三角形投影三角形ABC 和和ABC的对应边的对应边(或或延长线延长线)交点交点Q、R、P共线。反之，对应共线。反之，对应边交点共线的三角形，对应顶点连线边交点共线的三角形，对应顶点连线AA、BB、CC共点共点O。德沙格在他朋友鲍瑟德沙格在他朋友鲍瑟16481648年发表的一本年发表的一本关于透视法著作的附录中关于透视法著作的附录中,发表了三角形其发表了三角形其它
25、一些射影性质的结论它一些射影性质的结论,其中包含投影变换其中包含投影变换下交比不变性定理。下交比不变性定理。A B C DQRPABCCABOOA BCD一直线上的四点一直线上的四点A、B、C、D间的线段构成的比间的线段构成的比定义为它定义为它们的们的交比交比.笛沙格从投影观点考虑，证明了投影线的每个截线上的交比都相等。笛沙格从投影观点考虑，证明了投影线的每个截线上的交比都相等。从从对合点对合点问题出发首次讨论了问题出发首次讨论了调和点组调和点组的理论。笛沙格利用射影原理证明的理论。笛沙格利用射影原理证明了：在圆锥曲线的内接四边形中，任一不过顶点的直线与圆锥曲线以及与完全了：在圆锥曲线的内接四
26、边形中，任一不过顶点的直线与圆锥曲线以及与完全四边形对边相交的四对点具有对合关系。在对合概念的基础上引入四边形对边相交的四对点具有对合关系。在对合概念的基础上引入共轭点共轭点与调与调和点组的概念，认为对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性。在调和点和点组的概念，认为对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性。在调和点组概念基础上，笛沙格进一步研究了组概念基础上，笛沙格进一步研究了极点与极带理论极点与极带理论。利用这些理论处理了阿。利用这些理论处理了阿波罗尼奥斯的圆锥曲线，他将圆锥曲线的直径视作无穷远点的极带，通过投影波罗尼奥斯的圆锥曲线，他将圆锥曲线的直径视作无穷远点的极带，通过投影和截影这种
27、新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。法国另一位数学家法国另一位数学家帕斯卡帕斯卡（BlaisePascal,16231662）十六岁时就）十六岁时就开始也研究投射与取景法开始也研究投射与取景法,他曾接受笛沙格的建议他曾接受笛沙格的建议把圆锥曲线的许多性把圆锥曲线的许多性质简化为少数几个基本命题质简化为少数几个基本命题,1640年完成著作略论圆锥曲线年完成著作略论圆锥曲线,不久失不久失传传,后于后于1779年被重新发现年被重新发现.在射影几何方面他最突出的成就是所谓的在射影几何方面他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理帕斯卡定理:圆锥曲线的
28、内接六边形对边交点共线圆锥曲线的内接六边形对边交点共线.（1）一个数学对象从形状连续变化到另一形状；）一个数学对象从形状连续变化到另一形状；（2）变换与变换不变性；）变换与变换不变性；（3）几何新方法）几何新方法仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量。仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量。十七世纪数学家们的时尚是理解自然和控制自然十七世纪数学家们的时尚是理解自然和控制自然,用代数方法处理数学问用代数方法处理数学问题一般更为有效题一般更为有效,也特别容易获得科技所需要的数量结果也特别容易获得科技所需要的数量结果,而射影几何学家的方而射影几何学家的方法是综合的法是综合的,而且得出的结果也
29、是定性的而且得出的结果也是定性的,不那么有用不那么有用.因此因此,射影几何产生后不射影几何产生后不久久,很快就让位于代数、解析几何和微积分很快就让位于代数、解析几何和微积分,终由这些学科进一步发展出在近代终由这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其它学科数学中占中心地位的其它学科.笛沙格、帕斯卡、希尔等人的工作与结果也渐笛沙格、帕斯卡、希尔等人的工作与结果也渐被人们所遗忘被人们所遗忘,迟至十九世纪才又被人们重新发现迟至十九世纪才又被人们重新发现.拉伊尔拉伊尔:(P.delaHire,16401718)圆锥曲线圆锥曲线(1685)中首先证明了有关调和点组的圆的性质中首先证明了有关调和点组的
30、圆的性质,再通过投再通过投影和取截影影和取截影,将这些性质推广到圆锥曲线上将这些性质推广到圆锥曲线上,证明了阿波证明了阿波罗尼乌斯的罗尼乌斯的364个关于圆锥曲线的定理中的个关于圆锥曲线的定理中的300个个.其结其结果并未超过笛沙格与帕斯卡的工作果并未超过笛沙格与帕斯卡的工作,最突出的地方在于极最突出的地方在于极点理论方面有所创新点理论方面有所创新,获得并且证明了命题：若一点获得并且证明了命题：若一点Q在在直线直线p上移动上移动,则该点则该点Q 的极带将绕那直线的极带将绕那直线p 的极点的极点P 转动转动.德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果，视德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果
31、，视为欧几里得几何的一部分，从而在十七世纪人们对二者不加区别。但我们应该为欧几里得几何的一部分，从而在十七世纪人们对二者不加区别。但我们应该认识到，当时由于这一方法而诱发了一些新的数学思想和观点：认识到，当时由于这一方法而诱发了一些新的数学思想和观点：4 4 4 4 计算技术与对数计算技术与对数计算技术与对数计算技术与对数 科科学学成成果果在在工工程程技技术术上上的的应应用用以以及及实实践践上上的的需需要要,对对计计算算技技术术提提出出了了前前所所未未有有的的要要求求.如如：地地理理探探险险与与海海洋洋贸贸易易需需要要更更为为准准确确的的天天文文知知识识;以以精精确确观观测测为为基基础础的的新
32、新天天文文学学说说需需要要精精密密的的天天文文数数表表,特特别别是是三三角角函函数数表表;日日益益发发展展起起来来的的银银行行业业务务和和商商务务活活动动也也需需要要更更好好的的计计算算技技术术.由由于于算算术术方方面面的的推推动动,数数域域开开始始得得到到拓拓宽宽,人人们们能能够够对对分分数数、正正负负数数、无无理理数数及及连连分分数数有有了了一一定定的的认认识识并并作作适适当当的的处处理理.1585年年荷荷兰兰数数学学家家史史蒂蒂文文发发表表的的论论十十进进制制算算术术系系统统探探讨讨十十进进数数及及其其运运算算理理论论,并并提提倡倡用用十十进进制制小小数数来来书书写写分分数数,还还建建议
33、议度度量量衡衡及及币币制制中中也也广广泛泛采用十进制采用十进制.这种十进位值制的采用又为计算技术的改进准备了必要条件。这种十进位值制的采用又为计算技术的改进准备了必要条件。对数的发明和应用：由于天文和航海计算的强烈需要，为简化天文、航海方对数的发明和应用：由于天文和航海计算的强烈需要，为简化天文、航海方面所遇到繁复的高位数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法，这种面所遇到繁复的高位数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法，这种设想受到人们熟知的三角公式设想受到人们熟知的三角公式的启示，或许受到斯蒂费尔在他的综合算术（的启示，或许受到斯蒂费尔在他的综合算术（1544）中所发现的几何级数
34、）中所发现的几何级数1,r,r2,r3,与其指数构成的算术级数与其指数构成的算术级数0,1,2,3,之间对应关系及运算性质的启示。之间对应关系及运算性质的启示。纳皮尔纳皮尔(J.Napier)：在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法.奇妙的对数定理说明书奇妙的对数定理说明书(1614)阐述了对数方法阐述了对数方法.他考察一个点他考察一个点P沿直线沿直线AB(长度为长度为107单位单位)运动运动,其速度在每一点其速度在每一点P上正比于剩余距离上正比于剩余距离PB=y;再假定一个点再假定一个点Q沿无限直线沿无限直线CD匀匀速运动速运动,速度等于第一点在
35、速度等于第一点在A处的速度处的速度,CQ=x;且且P与与Q分别同时从分别同时从A、C出发出发(如图如图);那么定义那么定义x 是是y 的对数。的对数。APyBCDQx图图 纳纳皮皮尔尔最最初初让让x 和和y 这这两两组组数数是是按按公公式式对对应应,其中其中a=107，e是是自自然然对对数数的的底底，当当时时，并并不不能能得得到到，而是得到，而是得到。纳皮尔的目的是想用对数解决平面和球面三角问题，因此他。纳皮尔的目的是想用对数解决平面和球面三角问题，因此他作了以分弧为间隔的作了以分弧为间隔的0 90 角正弦的对数表。角正弦的对数表。布里格斯布里格斯(HenryBriggs,15611631)：
36、与与纳纳皮皮尔尔合合作作,决决定定采采用用y=10 x,则则时时得得到到,获获得得今今天天所所谓谓的的“常常用用对对数数”.由由于于我我们们的的数数系系是是十十进进的的,从从而而它它在在数数值值计计算算上上具具有有优优越越性性.对对数数算算术术(1624)编编制制了了1-2000以以及及90000-100000的的14位常用对数表。位常用对数表。比尔吉比尔吉(JobstBrgi,15521632):1600年年也也独独立立地地发发明明了了对对数数方方法法以以简简化化天天文文计计算算。其其对对数数思思想想的的基基础础是是斯斯蒂蒂费费尔尔的的级级数数对对应应思思想想，属属于于算算术术性性质质而而略
37、略异异于于纳纳皮皮尔尔的的做做法法。不不过他的发明迟至过他的发明迟至1620年才得到发表。年才得到发表。对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲。对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲。拉拉普普拉拉斯斯(Laplace,17491827)曾曾赞赞誉誉：“对对数数的的发发明明以以其其节节省省劳劳力力而而延延长长了了天天文文学学家家的的寿寿命命”。可可以以说说，到到十十六六世世纪纪末末、十十七七世世纪纪初初，整整个个初初等等数数学学的的主主要要内内容容基基本本定定型型，文文艺艺复复兴兴促促成成的的东东西西方方数数学学的的融融合合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。为近代数学的兴
38、起及以后的惊人发展铺平了道路。三、三、解析几何的诞生解析几何的诞生 近代数学本质上可以说成是变量数学。近代数学本质上可以说成是变量数学。生产力对科学技术提出的要求：生产力对科学技术提出的要求：机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律；业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等；十十六六世世纪纪,对对运运动动与与变变化化的的研研究究已已变变成成自自然然科科学学的
39、的中中心心问问题题,这这就就迫迫切切地地需需要一种新的数学工具要一种新的数学工具,从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。解析几何解析几何变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生.解析几何的基本思想是在平解析几何的基本思想是在平面上引进所谓面上引进所谓“坐标坐标”的概念的概念,并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对(x,y)之间建立一一对应的关系之间建立一一对应的关系.代数方程代数方程f(x,y)=0对应于平面曲线对应于平面曲线.奥雷斯姆：奥雷斯姆：解析几何最重要的前驱解析几何最重要的
40、前驱论论形形态态幅幅度度中中提提出出的的形形态态幅幅度度原原理理(或或称称图图线线原原理理),甚甚至至已已接接触触到到直直角角坐坐标标系系中中用用曲曲线线表表示示函函数数的的图图象象,奥奥雷雷斯斯姆姆借借用用“经经度度”、“纬纬度度”这这两两个个地地理理学学术术语语来来叙叙述述他他的的图图线线,相相当当于于纵纵坐坐标标与与横横坐坐标标.不不过过他他的的图图线线概概念念是模糊的是模糊的,至多是一种图表至多是一种图表,还未形成清晰的坐标与函数图象的概念。还未形成清晰的坐标与函数图象的概念。笛卡儿笛卡儿:更好地指导推理和寻求科学真理的方法论更好地指导推理和寻求科学真理的方法论(1637)三个附录三个
41、附录:几何学几何学,屈光学和气象屈光学和气象学学,解析几何的发明包含在几何学中解析几何的发明包含在几何学中.笛卡尔出发点是笛卡尔出发点是帕普斯帕普斯(Pappus)问题：问题：设在平面上给定设在平面上给定3条直线条直线l1、l2和和l3，从平，从平面上的点面上的点C 作点作三条直线分别与作点作三条直线分别与l1、l2、l3交于交于P、R、Q，交角分别等于已知角，交角分别等于已知角 1、2和和 3，求使求使CPCR=k CQ 2的点的点C的轨迹。的轨迹。如果给定四条直线如果给定四条直线(如图如图)，则求使，则求使这这一一问问题题称称作作帕帕普普斯斯四四直直线线问问题题.问问题题还还可可以以类类似
42、似地地推推广广到到n 条条直直线线的的情情形形.帕帕普普斯斯曾曾宣宣称称,当当给给定定的的直直线线是是三三条条或或四四条条时时,所得的轨迹是一条圆锥曲线。所得的轨迹是一条圆锥曲线。的的C C点的轨迹。点的轨迹。l2l3l4l1E A x P GyRDCQHFS几几何何学学第第二二卷卷证证明明了了四四直直线线问问题题的的帕帕普普斯斯结结论论。其其做做法法是是：记记AP为为x，PC为为y，经经简简单单的的几几何何分分析析，他他用用已已知知量量表表出出CR、CQ 和和CS 的的值值，代代入入CPCR=CSCQ，就得到一个关于，就得到一个关于x和和y的二次方程：的二次方程：y 2=A y+B x y+
43、C x+D x 2(*)其中其中A、B、C、D是由已知量组成的简单代数式。是由已知量组成的简单代数式。笛笛卡卡尔尔指指出出，任任给给x一一个个值值，就就得得到到一一个个关关于于y的的二二次次方方程程，从从这这个个方方程程可可以以解解出出y，根根据据几几何何学学第第一一卷卷所所给给的的方方法法，用用圆圆规规直直尺尺将将y画画出出。如如果果我我们们取取无无穷穷多多个个x值值，就就得得到到无无穷穷多多个个y值值，从从而而得得到到无无穷穷多多个个点点C，所所以以这这些些点点C的轨迹就是方程（的轨迹就是方程（*）代表的曲线。）代表的曲线。笛笛卡卡儿儿在在这这里里选选定定一一条条直直线线(AG)作作为为基
44、基线线(相相当当于于一一根根坐坐标标轴轴)，以以点点A为为原原点点，x值值是是基基线线的的长长度度，从从A点点量量起起；y值值是是另另一一条条线线段段的的长长度度，该该线线段段从从基基线线出出发发，与与基基线线交交成成定定角角。于于是是，笛笛卡卡儿儿建建立立了了历历史史上上第第一一个个倾倾斜斜坐坐标标系系。几何学第三卷还给出直角坐标系的例子。几何学第三卷还给出直角坐标系的例子。有了坐标系和曲线方程的思想，笛卡儿又提出了一系列新颖的想法，如：有了坐标系和曲线方程的思想，笛卡儿又提出了一系列新颖的想法，如：曲线的次数与坐标轴选择无关；坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；利用曲曲线的次数与坐标轴选择无关
45、；坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；利用曲线的方程表示来求两条不同曲线的交点；以及曲线的分类等等。线的方程表示来求两条不同曲线的交点；以及曲线的分类等等。笛卡儿几何学的方法论背景笛卡儿几何学的方法论背景:几几何何学学作作为为笛笛卡卡儿儿哲哲学学著著作作方方法法论论的的附附录录，意意味味着着他他的的几几何何学学发发现现乃乃至至其其它它方方面面的的发发现现都都是是在在其其方方法法论论原原理理指指导导下下获获得得的的。其其方方法法论论原原理理的的本旨是寻求发现真理的一般方法，他认为在一切领域中可以建立一种普适的本旨是寻求发现真理的一般方法，他认为在一切领域中可以建立一种普适的推证真理的方法，这个方法就
46、是数学方法，称之为推证真理的方法，这个方法就是数学方法，称之为“通用数学通用数学”。由此。由此出发提出一种大胆的计划，即：出发提出一种大胆的计划，即：任何的问题任何的问题数学问题数学问题代数问题代数问题方程求解方程求解为了实现这一计划，笛卡儿首先通过为了实现这一计划，笛卡儿首先通过“广延广延”(对有形物广延的一种推对有形物广延的一种推广广)的比较将一切度量问题化为代数方程问题的比较将一切度量问题化为代数方程问题.为此需要确定比较的基础，为此需要确定比较的基础，即定义即定义“广延广延”单位，以及建立单位，以及建立“广延广延”符号系统及其算术运算，特别符号系统及其算术运算，特别是要给出算术运算与几
47、何图形之间的对应。是要给出算术运算与几何图形之间的对应。当然，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问题化归为代当然，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问题化归为代数方程问题后将如何继续，这还是几何学需要完成的任务。笛卡尔数方程问题后将如何继续，这还是几何学需要完成的任务。笛卡尔运用算术或代数术语将一切几何问题化为关于一个未知线段的单个代数运用算术或代数术语将一切几何问题化为关于一个未知线段的单个代数方程：方程：z=b z2=a z+bz3=a z2+bz+c z4=a z3+b z2+c z+d 几何学的主要篇幅或者说主要目标就是讨论如何给出这些方程的标几何学的主要篇幅或者说主要
48、目标就是讨论如何给出这些方程的标准解法准解法(由线段作图画出由线段作图画出)。笛卡儿依次对此进行分类解答：。笛卡儿依次对此进行分类解答：(1)一、二次方程；一、二次方程；(2)三、四次方程；三、四次方程；(3)五、六次五、六次方程；方程；几几何何学学第第一一卷卷对对于于最最简简单单的的第第（1）类类方方程程，讨讨论论了了三三种种形形式式的的二二次方程：次方程：z2=a z+b2z2=a z+b2 z2=a z b2并分别给出作图（解）。本质上是利用圆并分别给出作图（解）。本质上是利用圆与直线的交点。与直线的交点。以以z2=a z+b为例，笛卡儿作一直角为例，笛卡儿作一直角三角形三角形NLM，使
49、其一边，使其一边LM=b，另一边，另一边LN=a/2，延长斜边，延长斜边MN至至O，使，使NO=NL，则，则OM即所求线段即所求线段z（如图）。（如图）。aONPL b M2图图 笛笛卡卡儿儿发发明明坐坐标标几几何何的的最最终终目目标标是是解解决决高高次次方方程程的的作作图图问问题题在在几几何何学学第第三三卷卷的的后后半半部部分分，他他利利用用得得到到的的坐坐标标几几何何工工具具，解解决决了了三三、四四次次方方程程的的作作图图(利利用用圆圆与与抛抛物物线线的的交交点点)和和五五、六六次次方方程程的的作作图图(利利用用圆圆与与比比抛抛物物线线更更高高一一次次的的所所谓谓“笛笛卡卡儿儿抛抛物物线线
50、”的的交交点点)，并并指指出出，可可以以依依此此类类推推地地解解决决更更高高次次方方程的作图问题。程的作图问题。笛卡儿几何学的整个思路与传统的方法大相径庭笛卡儿几何学的整个思路与传统的方法大相径庭.笛卡儿在方法论笛卡儿在方法论中尖锐地批判了亚里士多德的中尖锐地批判了亚里士多德的“三段论三段论”法则法则,认为三段论法则认为三段论法则“只是在交只是在交流已经知道的事情时才有用流已经知道的事情时才有用,却不能帮助我们发现未知的事情却不能帮助我们发现未知的事情”.他认为他认为“古古人的几何学人的几何学”所思考的只限于形相所思考的只限于形相,而近代的代数学则而近代的代数学则“太受法则和公式的束太受法则和