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1、 CH6解析几何解析几何第六章第六章 数学的转折点数学的转折点解析几何的产生解析几何的产生 近代数学本质上可以说成是变量数学。变量数学的近代数学本质上可以说成是变量数学。变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。解析几何的基本思想第一个里程碑是解析几何的诞生。解析几何的基本思想是在平面上引进所谓是在平面上引进所谓“坐标坐标”的概念，并借助这种坐标的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对在平面上的点和有序实数对(x,y)(x,y)之间建立一一对应之间建立一一对应的关系。每一对实数的关系。每一对实数(x,y)(x,y)都对应于平面上的一个点，都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐
2、标反之，每一个点都对应于它的坐标(x,y)(x,y)，以这种方，以这种方式可以将一个代数方程式可以将一个代数方程f(x,y)=0f(x,y)=0与平面上一条曲与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的探讨发觉新的几何结果。过来通过代数问题的探讨发觉新的几何结果。解析几何：借助坐标系，用代数方法探讨几何对象解析几何：借助坐标系，用代数方法探讨几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，也叫坐标几何。之间的关系和性质的一门几何学分支，也叫坐标几何。CH6解析几何解析几何 文艺复兴时期，由于机械的广泛运用、航海事业的
3、快文艺复兴时期，由于机械的广泛运用、航海事业的快速发展以及我国四大独创的西传，促使欧洲的生产发生了速发展以及我国四大独创的西传，促使欧洲的生产发生了大的飞跃。在生产的推动下，自然科学得到了迅猛的发展，大的飞跃。在生产的推动下，自然科学得到了迅猛的发展，数学也因此进行了一场大变革。正如恩格斯所说：数学也因此进行了一场大变革。正如恩格斯所说：“在中在中世纪的黑夜之后，科学以意想不到的力气重新兴起，并以世纪的黑夜之后，科学以意想不到的力气重新兴起，并以奇妙的速度发展起来，我们要再次把这个奇迹归功于生产。奇妙的速度发展起来，我们要再次把这个奇迹归功于生产。”“”“社会一旦有技术上的须要，则这种须要会比
4、十所高校社会一旦有技术上的须要，则这种须要会比十所高校更能把科学推向前进。更能把科学推向前进。”CH6解析几何解析几何 16 16、1717世纪，科学思想和科学方法也正处于一个变革世纪，科学思想和科学方法也正处于一个变革时期。在这个时期，到处是一片要求科学改革的呼声。比时期。在这个时期，到处是一片要求科学改革的呼声。比如，哲学家培根强调必需给人类的理智开拓一条与以前相如，哲学家培根强调必需给人类的理智开拓一条与以前相比完全不同的道路以结束中世纪以来学问状况既不景气又比完全不同的道路以结束中世纪以来学问状况既不景气又没有很大进展的现状。他提倡通过对自然现象进行视察和没有很大进展的现状。他提倡通过
5、对自然现象进行视察和试验来得出正确的结论。伽利略进一步强调了在视察和试试验来得出正确的结论。伽利略进一步强调了在视察和试验中运用数学方法的作用，强调科学必需通过测量而追求验中运用数学方法的作用，强调科学必需通过测量而追求定量的规律。他的试验定量的规律。他的试验数学方法，是划时代的思想。数学方法，是划时代的思想。当时的很多自然科学家都留意到数学在自然科学探讨中的当时的很多自然科学家都留意到数学在自然科学探讨中的重要性，这对数学的发展也起了巨大的促进作用。由于实重要性，这对数学的发展也起了巨大的促进作用。由于实践的须要和各门科学自身的发展，使自然科学转向对运动践的须要和各门科学自身的发展，使自然科
6、学转向对运动的探讨、对各种变更过程及各种变更着的量之间依靠关系的探讨、对各种变更过程及各种变更着的量之间依靠关系的探讨。因此，探讨运动成了自然科学的中心课题。因而，的探讨。因此，探讨运动成了自然科学的中心课题。因而，作为变更着的量的一般性质和它们之间依靠关系的反映，作为变更着的量的一般性质和它们之间依靠关系的反映，在数学中产生了变量和函数的概念。在数学中产生了变量和函数的概念。CH6解析几何解析几何 变量和函数的出现是数学史上的一个转折点，数学变量和函数的出现是数学史上的一个转折点，数学起先进入一个崭新的时期起先进入一个崭新的时期变量数学时期。这一时期变量数学时期。这一时期可以分为两个阶段：变
7、量数学的建立阶段（可以分为两个阶段：变量数学的建立阶段（1717世纪）和世纪）和发展阶段（发展阶段（18181919世纪世纪2020年头）。在变量数学建立阶段，年头）。在变量数学建立阶段，出现了数学史上划时代的事务：笛卡儿和费马创立解析出现了数学史上划时代的事务：笛卡儿和费马创立解析几何，费马、帕斯卡和荷兰的惠更斯开创了概率论，牛几何，费马、帕斯卡和荷兰的惠更斯开创了概率论，牛顿、莱布尼兹独创了微积分。顿、莱布尼兹独创了微积分。1717世纪虽然有长期的宗教世纪虽然有长期的宗教斗争、严峻的谷物欠收和数次瘟疫的大流行，但就数学斗争、严峻的谷物欠收和数次瘟疫的大流行，但就数学而言，而言，1717世纪
8、却是史无前例富于发觉的时代，数学上硕世纪却是史无前例富于发觉的时代，数学上硕果累累。因此，有人赞扬：果累累。因此，有人赞扬：1717世纪是数学史上的天才世世纪是数学史上的天才世纪。纪。CH6解析几何解析几何 解析几何的产生是数学史上一件划时代的大事，是变量解析几何的产生是数学史上一件划时代的大事，是变量数学建立中第一个确定性的步骤。解析几何是初等代数、初数学建立中第一个确定性的步骤。解析几何是初等代数、初等几何和一般变量相结合的产物，其创立是以代数与几何的等几何和一般变量相结合的产物，其创立是以代数与几何的高度发展为基础。高度发展为基础。6.1解析几何产生的背景解析几何产生的背景 1717世世
9、纪纪欧欧洲洲的的资资本本主主义义萌萌芽芽起起先先强强壮壮成成长长。航航海海中中如如何何确确定定地地球球的的经经纬纬度度、天天文文中中如如何何进进一一步步驾驾驭驭行行星星的的运运行行规规律律、力力学学中中怎怎样样才才能能精精确确分分析析物物体体的的受受力力状状况况、军军事事中中如如何何精精确确计计算算炮炮弹弹的的运运行行轨轨迹迹等等都都给给数数学学提提出出了了一一系系列列亟亟待待解解决决的的问问题题。上上述述这这些些问问题题都都难难以以在在常常量量数数学学的的范范围围内内获获得得解解决决，这这就促使人们寻求解决变量问题的新方法。就促使人们寻求解决变量问题的新方法。1.1.解析几何产生的外部条件解
10、析几何产生的外部条件 CH6解析几何解析几何 从数学本身的发展来说，也具备了重要条件。几何学曾从数学本身的发展来说，也具备了重要条件。几何学曾在古希腊有较高的发展，特殊是阿波罗尼奥斯对圆锥曲线作在古希腊有较高的发展，特殊是阿波罗尼奥斯对圆锥曲线作过深化的探讨。但是，古希腊的几何学仅是一种静态几何，过深化的探讨。但是，古希腊的几何学仅是一种静态几何，它没有把曲线看作动点的轨迹，更没有给出它的一般表示方它没有把曲线看作动点的轨迹，更没有给出它的一般表示方法。这种局限性在法。这种局限性在1616世纪以前并没有引起人们的留意。因为世纪以前并没有引起人们的留意。因为实践没有向几何学提出这样的课题。文艺复
11、兴运动之后，开实践没有向几何学提出这样的课题。文艺复兴运动之后，开普勒发觉了行星运动的三大定律。伽利略又证明白炮弹、石普勒发觉了行星运动的三大定律。伽利略又证明白炮弹、石子等抛物体的运动轨迹是抛物线。这就使几乎被人们遗忘的子等抛物体的运动轨迹是抛物线。这就使几乎被人们遗忘的阿波罗尼奥斯探讨过的圆锥曲线重新引起人们的重视。人们阿波罗尼奥斯探讨过的圆锥曲线重新引起人们的重视。人们发觉圆锥曲线不仅仅是依附在圆锥上的静态曲线，而且是与发觉圆锥曲线不仅仅是依附在圆锥上的静态曲线，而且是与自然界物体运动有亲密联系的曲线。要计算行星运行的椭圆自然界物体运动有亲密联系的曲线。要计算行星运行的椭圆轨道，要求出炮
12、弹飞行所走过的抛物线，综合几何方法已无轨道，要求出炮弹飞行所走过的抛物线，综合几何方法已无能为力，仅靠古希腊的几何学已找不出解决这些问题的有效能为力，仅靠古希腊的几何学已找不出解决这些问题的有效方法。要想反映出这类运动的轨迹及性质，就必需从观点到方法。要想反映出这类运动的轨迹及性质，就必需从观点到方法都来一个变革，即须要建立一种在运动观点上的几何学。方法都来一个变革，即须要建立一种在运动观点上的几何学。2.解析几何产生的内部条件解析几何产生的内部条件 CH6解析几何解析几何 古希腊的数学家们只重视几何学的探讨，而忽视代数的古希腊的数学家们只重视几何学的探讨，而忽视代数的方法。从古希腊起，在西方
13、数学的发展过程中，几何学始终方法。从古希腊起，在西方数学的发展过程中，几何学始终是至高无上的，就连一些简洁的代数问题也往往用几何方法是至高无上的，就连一些简洁的代数问题也往往用几何方法解决。代数方法在东方国家虽然有高度的发展，但又忽视了解决。代数方法在东方国家虽然有高度的发展，但又忽视了论证几何学的探讨。因此，无论是在古代的欧洲，还是在东论证几何学的探讨。因此，无论是在古代的欧洲，还是在东方国家，都不具备产生解析几何的条件。方国家，都不具备产生解析几何的条件。CH6解析几何解析几何 随随着着东东方方文文化化的的传传入入，东东方方高高度度发发展展的的代代数数进进入入了了欧欧洲洲。文文艺艺复复兴兴
14、运运动动使使欧欧洲洲数数学学在在古古希希腊腊几几何何学学和和东东方方代代数数学学的的基基础础上上有有了了巨巨大大的的发发展展。韦韦达达符符号号代代数数学学的的创创立立，使使代代数数学学从从一一个个过过去去以以分分别别解解决决各各种种特特殊殊问问题题侧侧重重于于计计算算的的数数学学分分支支转转变变成成一一门门探探讨讨一一般般类类型型问问题题和和方方程程的的学学科科。这这就就为为由由几几何何曲曲线线建建立立代代数数方方程程并并由由代代数数方方程程探探讨讨几几何何曲曲线线铺平了道路。铺平了道路。坐坐标标概概念念的的引引入入和和发发展展对对解解析析几几何何的的创创立立也也有有重重要要的的作作用用。文文
15、艺艺复复兴兴时时期期，随随着着航航海海事事业业的的发发展展，常常常常须须要要确确定定轮轮船船在在大大海海中中的的位位置置，这这就就推推动动了了坐坐标标法法的的发发展展。坐坐标标概概念念的的引引入入，实实现现了了平平面面的的算算术术化化，架架起起了了代代数数、几几何何融融合的桥梁，为解析几何的诞生奠定了基础。合的桥梁，为解析几何的诞生奠定了基础。CH6解析几何解析几何 对解析几何的诞生起至关重要作用的是天体运动和物体对解析几何的诞生起至关重要作用的是天体运动和物体运动。开普勒发觉行星绕日运动的轨迹是椭圆，伽利略指出运动。开普勒发觉行星绕日运动的轨迹是椭圆，伽利略指出各种抛物体的运动轨迹是抛物线，
16、这就向数学提出了用运动各种抛物体的运动轨迹是抛物线，这就向数学提出了用运动的观点去探讨圆锥曲线和其他曲线的问题。由于几何图形表的观点去探讨圆锥曲线和其他曲线的问题。由于几何图形表示了运动，这就启发了人们反过来把静止不变的几何图形看示了运动，这就启发了人们反过来把静止不变的几何图形看作是变量运动的轨迹。这样一来，就把变量引入了数学。从作是变量运动的轨迹。这样一来，就把变量引入了数学。从今，数学就发生了质的变更今，数学就发生了质的变更由探讨常量的初等数学进入由探讨常量的初等数学进入到探讨变量的高等数学。在初等几何和初等代数基本定型和到探讨变量的高等数学。在初等几何和初等代数基本定型和成熟的基础上，
17、人们试图用代数方法探讨几何问题，于是产成熟的基础上，人们试图用代数方法探讨几何问题，于是产生了一门崭新的数学分支生了一门崭新的数学分支解析几何。解析几何。CH6解析几何解析几何笛卡儿，法国数学家、哲学家和物理笛卡儿，法国数学家、哲学家和物理学家。诞生于法国北部图朗郡的一个学家。诞生于法国北部图朗郡的一个贵族之家。贵族之家。2 2岁丧母，深受父亲溺爱。岁丧母，深受父亲溺爱。他的父亲是一名律师，曾任议会议员，他的父亲是一名律师，曾任议会议员，有一份相当可观的地产。笛卡儿有一份相当可观的地产。笛卡儿8 8岁那岁那年，被送到法国当时最好的学校拉弗年，被送到法国当时最好的学校拉弗里舍镇的一所耶稣学校接受
18、教化。里舍镇的一所耶稣学校接受教化。8 8年年中这所学校给他打下的数学基础比当中这所学校给他打下的数学基础比当时在大多数高校中学到的还强的多。时在大多数高校中学到的还强的多。他父亲看到他身体虚弱，就特地与校他父亲看到他身体虚弱，就特地与校长协商，允许他每天早上可以睡到他长协商，允许他每天早上可以睡到他情愿起来上课时，这就使他养成了早情愿起来上课时，这就使他养成了早上躺在床上思索问题的习惯。上躺在床上思索问题的习惯。6.2笛卡儿与他的笛卡儿与他的几何学几何学1.笛卡儿生平简介笛卡儿生平简介 CH6解析几何解析几何 1612 1612年，笛卡儿遵照父命去普瓦界高校攻读法律，年，笛卡儿遵照父命去普瓦
19、界高校攻读法律，4 4年年后毕业当了一名律师。在笛卡儿那个年头，欧洲正陷入战后毕业当了一名律师。在笛卡儿那个年头，欧洲正陷入战火之中。按当时的社会风气，有志之士不是致力于宗教，火之中。按当时的社会风气，有志之士不是致力于宗教，就是献身于打仗。于是，笛卡儿确定从军。就是献身于打仗。于是，笛卡儿确定从军。16171617年，他加年，他加入奥伦茨公爵的军队驻扎在荷兰。在那里，笛卡儿为了解入奥伦茨公爵的军队驻扎在荷兰。在那里，笛卡儿为了解决一张公开张贴的数学问题而激发出对数学的爱好。决一张公开张贴的数学问题而激发出对数学的爱好。16191619年年1111月月1010日，他做了三个生动的梦。他认为，这
20、些梦如奇日，他做了三个生动的梦。他认为，这些梦如奇妙的钥匙，打开了大自然的宝库。事实上，不是这些梦给妙的钥匙，打开了大自然的宝库。事实上，不是这些梦给了他启示，而是因为他苦思冥想才做了这些梦。这把奇妙了他启示，而是因为他苦思冥想才做了这些梦。这把奇妙的钥匙是什么呢？即代数应用于几何。的钥匙是什么呢？即代数应用于几何。CH6解析几何解析几何 1637 1637年，笛卡儿出版了更好地指导推理和寻求真理年，笛卡儿出版了更好地指导推理和寻求真理的方法论，简称方法论。在这本书中，有的方法论，简称方法论。在这本书中，有3 3个著名的个著名的附录：几何学、折光、气象。其中几何学附录：几何学、折光、气象。其中
21、几何学包括了他关于坐标几何和代数的思想，他首次明确提出包括了他关于坐标几何和代数的思想，他首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和探讨曲线。数方程来表示和探讨曲线。几何学的问世，是解析几何产生的重要标记。这几何学的问世，是解析几何产生的重要标记。这部方法论朴实无华，通俗易懂，不仅是重要的哲学著部方法论朴实无华，通俗易懂，不仅是重要的哲学著作，而且是法国文学史上杰出的散文。笛卡儿的哲学著作作，而且是法国文学史上杰出的散文。笛卡儿的哲学著作焕发着一股从柏拉图到当时的任何哲学家的作品中全然找焕发着一股从柏拉图到当时
22、的任何哲学家的作品中全然找不到的清爽气息。他是近代哲学的开创者，虽然他也是近不到的清爽气息。他是近代哲学的开创者，虽然他也是近代数学的开创者之一，但准确的说，他在数学和自然科学代数学的开创者之一，但准确的说，他在数学和自然科学上的成就，只是他哲学成果在科学上的表现。上的成就，只是他哲学成果在科学上的表现。CH6解析几何解析几何 几几何何学学作作为为笛笛卡卡儿儿哲哲学学著著作作方方法法论论的的附附录录，意意味味着着他他的的几几何何学学发发觉觉乃乃至至其其它它方方面面的的发发觉觉都都是是在在其其方方法法论论原原理理指指导导下下获获得得的的。其其方方法法论论原原理理的的本本旨旨是是寻寻求求发发觉觉真
23、真理理的的一一般般方方法法，他他认认为为在在一一切切领领域域中中可可以以建建立立一一种种普普适适的的推推证证真真理理的的方方法法，这这个个方方法法就就是是数数学学方方法法，称称之之为为“通通用用数数学学”。因因为为立立足足于于公公理理之之上上的的证证明明是是无无懈懈可可击击的的，而而且且数数学学方方法法超超乎乎其其对对象象，是是一一个个学学问问工工具具。同同时时他他认认为为，代代数数具具有有作作为为一一门门普普遍遍的的科科学学方方法法的的潜潜力力，强强调调了了代代数数的的一一般般性性以以及及它它在在推推理理程程序序机机械械化化和和减减小小解解题题工工作作量量方方面面的的价价值值。他他由由此此动
24、动身身提提出出一种大胆的支配，即：一种大胆的支配，即：任何的问题任何的问题数学问题数学问题代数问题代数问题方程求解方程求解 当当然然，笛笛卡卡儿儿的的方方法法论论著著作作并并没没有有告告知知人人们们，在在将将一一切切问问题题化化归归为为代代数数方方程程问问题题后后将将如如何何接接着着，这这还还是是几几何何学学须要完成的任务。须要完成的任务。CH6解析几何解析几何 从从16411641年秋天起，笛卡儿始终住在荷兰境内靠近海牙的小村子里。年秋天起，笛卡儿始终住在荷兰境内靠近海牙的小村子里。16461646年，年，5050岁的笛卡儿已经著名世界了。他在荷兰过着开心的隐居生岁的笛卡儿已经著名世界了。他
25、在荷兰过着开心的隐居生活，与欧洲的学者常常保持着通信的联系。活，与欧洲的学者常常保持着通信的联系。16491649年，瑞典的克里斯蒂年，瑞典的克里斯蒂娜女王听到笛卡儿的盛名后，便打破了他的安静生活。要笛卡儿每天娜女王听到笛卡儿的盛名后，便打破了他的安静生活。要笛卡儿每天去给女王上课。女王请笛卡儿亲临她的宫廷，还派了一艘军舰去迎接。去给女王上课。女王请笛卡儿亲临她的宫廷，还派了一艘军舰去迎接。女王想每天听笛卡儿讲课，但除了早晨女王想每天听笛卡儿讲课，但除了早晨5 5点又抽不出其他时间。可冬点又抽不出其他时间。可冬天早晨的寒冷对于不习惯早起、体质又孱弱的笛卡儿来说简直是一种天早晨的寒冷对于不习惯早
26、起、体质又孱弱的笛卡儿来说简直是一种灾难。下午当笛卡儿想躺下休息时，又常常被瑞典皇家科学院的人从灾难。下午当笛卡儿想躺下休息时，又常常被瑞典皇家科学院的人从床上拖起来。不久，他得了肺炎，状况越来越糟。床上拖起来。不久，他得了肺炎，状况越来越糟。16501650年年2 2月月1111日，日，这位年仅这位年仅5454岁、终生未婚的科学家就病逝于瑞典斯德哥尔摩。由于教岁、终生未婚的科学家就病逝于瑞典斯德哥尔摩。由于教会的阻挡，会的阻挡，仅有几个友人为其送葬。他的著作在他死后也被列入梵仅有几个友人为其送葬。他的著作在他死后也被列入梵蒂冈教皇颁布的禁书书目之中。蒂冈教皇颁布的禁书书目之中。但是，他的思想
27、的传播并未因此而但是，他的思想的传播并未因此而受阻，笛卡尔成为受阻，笛卡尔成为1717世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一。法国大革命之后，笛卡尔的骨灰和遗物被送进法国历史博物匠之一。法国大革命之后，笛卡尔的骨灰和遗物被送进法国历史博物馆。馆。18191819年其骨灰被移入圣日耳曼圣心堂中。在他的墓碑上，镌刻年其骨灰被移入圣日耳曼圣心堂中。在他的墓碑上，镌刻着：笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为争取并保证理性权利的人。着：笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为争取并保证理性权利的人。CH6解析几何解析几何 笛卡儿的哲学名言是：笛卡儿的哲学名言是
28、：“我思故我在我思故我在”，他说明说：，他说明说：“要想追求真理，我们必需在一生中尽可能把全部的事要想追求真理，我们必需在一生中尽可能把全部的事物都来怀疑一次物都来怀疑一次”，而世界上唯一先需怀疑的是，而世界上唯一先需怀疑的是“我在我在怀疑怀疑”，因为，因为“我在怀疑我在怀疑”证明证明“我在思想我在思想”，说明我，说明我的确存在，这就是的确存在，这就是“我思故我在我思故我在”，成为笛卡儿唯理主，成为笛卡儿唯理主义的一面旗帜。它虽然在物质与精神的关系上有所颠倒，义的一面旗帜。它虽然在物质与精神的关系上有所颠倒，但主见用怀疑的看法代替盲从和迷信，认为只有依靠理但主见用怀疑的看法代替盲从和迷信，认为
29、只有依靠理性才能获得真理，在当时不仅打击了经院哲学的教会权性才能获得真理，在当时不仅打击了经院哲学的教会权威，而且也为笛卡儿自己的科学发觉开拓了一条崭新的威，而且也为笛卡儿自己的科学发觉开拓了一条崭新的道路。道路。CH6解析几何解析几何 关于笛卡儿创立解析几何的灵感有两个传闻：关于笛卡儿创立解析几何的灵感有两个传闻：笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思晨思”习惯，有习惯，有一天，笛卡儿在床上晨思时，望见一只蜘蛛在天花板上爬行，突然灵感一天，笛卡儿在床上晨思时，望见一只蜘蛛在天花板上爬行，突然灵感来了，他想到：假如能知道蜘蛛与相邻两个墙壁的距
30、离之间的关系，就来了，他想到：假如能知道蜘蛛与相邻两个墙壁的距离之间的关系，就能描述出蜘蛛的路途。这样，他就产生了解析几何的设想。能描述出蜘蛛的路途。这样，他就产生了解析几何的设想。另一个传闻是，另一个传闻是，16191619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕（村庄，在圣马丁节的前夕（1111月月1010日），他做了三个连贯的梦。笛卡儿日），他做了三个连贯的梦。笛卡儿后来说正是这三个梦向他揭示了后来说正是这三个梦向他揭示了“一门奇妙的科学一门奇妙的科学”和和“一项惊人的发一项惊人的发觉觉”，虽然他从未明说过这门奇妙的科学和这项
31、惊人的发觉是什么，但，虽然他从未明说过这门奇妙的科学和这项惊人的发觉是什么，但这三个梦从今成为后来每本介绍解析几何诞生的著作必提的佳话，它给这三个梦从今成为后来每本介绍解析几何诞生的著作必提的佳话，它给解析几何的诞生蒙上了奇妙色调，当然未必可信。解析几何的诞生蒙上了奇妙色调，当然未必可信。事实上，笛卡儿之所以能创立解析几何主要是他勇于探究、勤于思事实上，笛卡儿之所以能创立解析几何主要是他勇于探究、勤于思索、运用科学方法同时批判地继承前人成就的必定结果。灵感和直觉是索、运用科学方法同时批判地继承前人成就的必定结果。灵感和直觉是勤奋努力的结果。勤奋努力的结果。CH6解析几何解析几何 1）引入坐标观
32、念）引入坐标观念 依据笛卡儿的思想，当满足方程的变数（依据笛卡儿的思想，当满足方程的变数（x，y）变更时，）变更时，坐标为（坐标为（x，y）的点画出的是曲线。希腊人认为，线是点的集）的点画出的是曲线。希腊人认为，线是点的集合。而笛卡儿却认为线是点运动的结果。因此，笛卡儿关于曲合。而笛卡儿却认为线是点运动的结果。因此，笛卡儿关于曲线的定义与希腊人的显著区分在于动与静。这种思维方法给后线的定义与希腊人的显著区分在于动与静。这种思维方法给后来的牛顿等人以莫大的影响。来的牛顿等人以莫大的影响。2.笛卡儿的工作笛卡儿的工作 CH6解析几何解析几何 2 2）利利用用坐坐标标法法提提出出曲曲线线表表示示成成
33、方方程程的的思思想想及及用用方方程程表表示示曲线的思想曲线的思想 笛笛卡卡儿儿的的中中心心思思想想是是要要建建立立一一种种一一般般的的数数学学，使使算算术术、几几何何和和代代数数统统一一起起来来，他他认认为为：欧欧氏氏几几何何的的每每一一个个证证明明总总是是要要求求某某种种新新的的往往往往是是奇奇异异的的想想法法，他他指指责责希希腊腊人人的的几几何何过过于于抽抽象象且且过过多多的的依依靠靠于于图图形形以以至至它它只只能能使使人人在在想想象象力力大大大大疲疲乏乏的的状状况况下下去去练练习习理理解解力力。欧欧氏氏几几何何是是一一种种度度量量几几何何，只只关关切切长长度度、角角度度，其其方方法法是是
34、综综合合的的，没没有有代代数数的的介介入入。他他对对当当时时通通行行的的代代数数也也加加以以指指责责，说说它它完完全全受受法法则则和和公公式式的的限限制制，缺缺乏乏直直观观以以至至于于成成为为一一种种充充溢溢混混杂杂和和晦晦暗暗有有意意用用来来阻阻碍碍思思想想的的艺艺术术而而不不像像一一门门改改进进思思想想的的科科学学。他他主主见见实实行行代代数数和和几几何何中中一切最好的东西，取长补短，融合为一门新的科学。一切最好的东西，取长补短，融合为一门新的科学。CH6解析几何解析几何 他发觉代数在供应广泛的方法方面要优于希腊人的几何他发觉代数在供应广泛的方法方面要优于希腊人的几何方法，代数方法具有一般
35、性，具有把推理程序机械化和削减方法，代数方法具有一般性，具有把推理程序机械化和削减解题工作量的价值。笛卡儿预见到了代数具有作为一门普遍解题工作量的价值。笛卡儿预见到了代数具有作为一门普遍的科学方法的威力。他要把代数方法应用于解决几何问题。的科学方法的威力。他要把代数方法应用于解决几何问题。为了寻求能把代数应用到几何中去的新方法，笛卡儿思索了为了寻求能把代数应用到几何中去的新方法，笛卡儿思索了2020多年。多年。16191619年，他悟出了新方法的关键是借助坐标系建立年，他悟出了新方法的关键是借助坐标系建立起平面上的点与数之间的对应关系，进而可以用方程表示曲起平面上的点与数之间的对应关系，进而可
36、以用方程表示曲线。他提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有线。他提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和探讨曲线。这样一来，笛卡儿就把变数的代数方程来表示和探讨曲线。这样一来，笛卡儿就把以前对立着的数与形统一了起来，并在数学中引入了变量的以前对立着的数与形统一了起来，并在数学中引入了变量的思想，从而开拓了变量数学的领域。恩格斯高度评价了笛卡思想，从而开拓了变量数学的领域。恩格斯高度评价了笛卡儿的新思想。他说：儿的新思想。他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；了变数，运动进入
37、了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就马上成为必要，而它们也就马上有了变数，微分和积分也就马上成为必要，而它们也就马上产生了。产生了。”CH6解析几何解析几何 笛笛卡卡儿儿在在解解析析几几何何的的创创建建中中作作出出了了重重大大贡贡献献，其其成成就就在在于于：他他用用代代数数语语言言表表示示几几何何性性质质，从从而而使使他他获获得得了了很很多多几几何何定定理理的的简简洁洁证证明明，而而用用综综合合几几何何的的方方法法证证明明就就很很困困难难。笛笛卡卡儿儿的的方方法法可可以以把把疑疑难难命命题题的的证证明明归归结结为为一一种种代代数数技技巧巧，这这种种技巧的驾驭不须要多大才
38、智。技巧的驾驭不须要多大才智。CH6解析几何解析几何 和笛卡儿共享创立解析几何荣誉的人是其同胞费马。和笛卡儿共享创立解析几何荣誉的人是其同胞费马。费马是法国费马是法国1717世纪最宏大的数学家之一。在微积分、数论、世纪最宏大的数学家之一。在微积分、数论、概率论和解析几何等数学分支中都有开创性的贡献。由于他概率论和解析几何等数学分支中都有开创性的贡献。由于他不是职业数学家，数学探讨只是他的业余爱好，故他被称为不是职业数学家，数学探讨只是他的业余爱好，故他被称为“业余数学家之王业余数学家之王”。6.3费马的工作费马的工作 CH6解析几何解析几何费马其人费马其人费马 CH6解析几何解析几何费马其人费
39、马其人生平生平费马（费马（Pierre de Fermat,1601-Pierre de Fermat,1601-16651665）,1601,1601年年8 8月月2020日诞生于法国南部日诞生于法国南部图卢兹旁边的博蒙图卢兹旁边的博蒙-德洛马涅一个皮革商人德洛马涅一个皮革商人家庭。家庭。高校法律系毕业后在地方法院当律师，高校法律系毕业后在地方法院当律师，业余时间探讨数学，业余时间探讨数学，30 30岁以后，对数学痴岁以后，对数学痴迷，几乎把全部业余时间投入数学探讨。迷，几乎把全部业余时间投入数学探讨。CH6解析几何解析几何德、行、实力德、行、实力费马为人谦逊，淡泊名利，勤于思，慎于费马为人
40、谦逊，淡泊名利，勤于思，慎于言，潜心钻研，厚积薄发。言，潜心钻研，厚积薄发。他精通法语、意大利语、西班牙语、拉丁他精通法语、意大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语等，为他博览众书奠定了良好语、希腊语等，为他博览众书奠定了良好的基础。的基础。费马曾经深化地探讨过韦达、阿基米德、费马曾经深化地探讨过韦达、阿基米德、丢番图等人的著作。丢番图等人的著作。CH6解析几何解析几何成就成就费马在解析几何、微积分、概率论和数论费马在解析几何、微积分、概率论和数论等方面，都做出了开创性的贡献，是解析几何、等方面，都做出了开创性的贡献，是解析几何、微积分与概率论的先驱，并被誉为近代数论之微积分与概率论的先驱，并被誉为
41、近代数论之父，成为父，成为1717世纪欧洲最著名的数学家之一。世纪欧洲最著名的数学家之一。CH6解析几何解析几何1.他是牛顿、莱布尼兹大体完成微积分之前为微积分的创他是牛顿、莱布尼兹大体完成微积分之前为微积分的创立作出贡献最多的一个；立作出贡献最多的一个；2.他和荷兰的惠更斯、法国的帕斯卡一起被誉为概率论的他和荷兰的惠更斯、法国的帕斯卡一起被誉为概率论的创始人；创始人；3.17世纪的数论几乎是费马的世界，费马大定理直到世纪的数论几乎是费马的世界，费马大定理直到350多多年后的年后的1995年才由怀尔斯解决；年才由怀尔斯解决；4.费马与笛卡儿共享创建解析几何的美誉。费马与笛卡儿共享创建解析几何的
42、美誉。CH6解析几何解析几何p费马在世时，没有一部完整的著作问世，费马在世时，没有一部完整的著作问世，他的大部分探讨成果都是批注在阅读过的他的大部分探讨成果都是批注在阅读过的书籍上，或者记录于与友人的通信中。书籍上，或者记录于与友人的通信中。p费马去世后，在众多数学家的帮助下，费费马去世后，在众多数学家的帮助下，费马的儿子将其笔记、批注以及书信加以整马的儿子将其笔记、批注以及书信加以整理，汇编成两卷数学论文集分别于理，汇编成两卷数学论文集分别于1670年和年和1679年在图卢兹出版，费马的成年在图卢兹出版，费马的成果才得以广泛流传。果才得以广泛流传。CH6解析几何解析几何 1629 1629年
43、，费马平面和立体轨迹引论年，费马平面和立体轨迹引论150150年后才出版。年后才出版。生前费马没有公开出版过书籍，直到去世后的生前费马没有公开出版过书籍，直到去世后的1414年，他的儿年，他的儿子将其手稿汇合以数学论集为名出版，在这本著作中，子将其手稿汇合以数学论集为名出版，在这本著作中，费马提出了解析几何中的两个概念：坐标概念及通过坐标把费马提出了解析几何中的两个概念：坐标概念及通过坐标把代数方程与曲线相联系的概念。代数方程与曲线相联系的概念。虽然笛卡儿和费马之间发生过谁先发觉解析几何的争论，虽然笛卡儿和费马之间发生过谁先发觉解析几何的争论，但历史公正的评价是：他们分别用不同的方法各自独立地
44、差但历史公正的评价是：他们分别用不同的方法各自独立地差不多同时创立了解析几何。他们应共享创建解析几何的美誉。不多同时创立了解析几何。他们应共享创建解析几何的美誉。CH6解析几何解析几何 1.数学的探讨方向发生了一次重大转折：使古代以几何学为主导的数学数学的探讨方向发生了一次重大转折：使古代以几何学为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学。转变为以代数和分析为主导的数学。2.以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，使得人们借助于以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，使得人们借助于数学对运动变更的规律进行定量的分析成为可能，从而为微积分的诞生奠数学对运动变更的规律进行定量的分析成为可能
45、，从而为微积分的诞生奠定了基础。常量数学像解剖学，探讨死的躯体；而变量数学像生理学，探定了基础。常量数学像解剖学，探讨死的躯体；而变量数学像生理学，探讨活的身体。前者只涉及固定和有限，而后者却包含运动、变更和无限。讨活的身体。前者只涉及固定和有限，而后者却包含运动、变更和无限。3.使代数和几何融为一体，实现了几何图形的数字化。使代数和几何融为一体，实现了几何图形的数字化。4.代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚，帮助人们代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚，帮助人们从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高维的空间。如由从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高维的
46、空间。如由考虑考虑 ，进而，进而 。由类比，从三维空间进入到高维空间。由类比，从三维空间进入到高维空间。6.4解析几何的宏大意义解析几何的宏大意义 CH6解析几何解析几何 19 19世纪后，解析几何发展得已相当完备，现代数学中的世纪后，解析几何发展得已相当完备，现代数学中的泛函分析和代数几何是解析几何的干脆持续。原来，解析几泛函分析和代数几何是解析几何的干脆持续。原来，解析几何应称为代数几何，但何应称为代数几何，但1919世纪的代数与解析同义。解析专指世纪的代数与解析同义。解析专指代数方法，所以代数方法，所以1919世纪给这一学科命名时，解析几何便作为世纪给这一学科命名时，解析几何便作为一种标
47、准名称沿用至今。一种标准名称沿用至今。CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何 CH6解析几何解析几何1、近近代代数数学学本本质质上上可可以以说说是是 变变量量 数数学学，第第一一个个里里程程碑碑是是 解解析析几几何何 的的独创，主要归功于法国的两位数学家独创，主要归功于法国的两位数学家 笛卡儿笛卡儿 和和 费马费马。2、笛笛卡卡儿儿的的“通通用用数数学学思思路路”是是任任何何问问题题转转化化为为数数学学问问题题转转化化为为代代数数问问题转化为方程求解。题转化为方程求解。3、简述笛卡儿对解析几何的贡献。、简述笛卡儿对解析几何的贡献。(P138)