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1、 博弈论作业及答案-浙江财经大学-张老师作业答案 第 1 次作业 1、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为 1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2W2d0，试计算此博弈的贝叶斯均衡。博弈论第 1 次作业答案 1、a写出以上博弈的战略式描述 b求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）存在两个纯战略纳什均衡：分别为（企业 1，企业 2），收益为)2,1(WW。（企业 2，企业 1），收益为
2、)1,2(WW。存在一个混合策略均衡：令学生 A 选择企业 1 的概率为p，选择企业 2 的概率为p1;学生 B 选择企业 1 的概率为q，选择企业2 的概率为q1。当学生 A 以)1,(pp 的概率选择时，学生 B 选择企业 1 的期望收益应该与选择企业 2 的期望收益相等，即：221).1(2.1)1(121.WpWpWpWp 解得：21212WWWWp,211221WWWWp 同理求出：221).1(2.1)1(121.WqWqWqWq 解得：21212WWWWq,211221WWWWq 学生 B 企业 1 企业 2 学生 A 企业 1)221,121(WW)2,1(WW 企业 2)1,
3、2(WW)121,221(WW 所以，混合策略纳什均衡为：学生 A、B 均以)21122,21212(WWWWWWWW的概率选择企业 1，企业 2。2、该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？各厂商的利润函数为：inkkiiiiiiqqcaqcQaqcqQaCqPu).().(.).(.1 求解：inkkqiqqqcauii).(maxmax1 对其求导，令导数为 0，解得反应函数为：.211121niiiqqqqqcaq 纳什均衡),.,(*2*1nqqq,必是 n 条反应函数的交点).(21*3*2*1nqqqcaq).(21*3*1*2nqqqcaq .).(21*
4、1*1*2*1*niiiqqqqqcaq .).(21*1*2*1*nnqqqcaq 得到：1.*2*1ncaqqqn，且为唯一的纳什均衡。当趋向于无穷大时博弈分析无效。01limlim*ncaqnin，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无效。3、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？设：边际成本不变，为1c，2c。计算得市场出清价格为：)(100100)(21qqQQPP 两个厂商的利润函数为：1211111111).(100).(.qqqcqcPqcqPu 2212222222).(100).(.qqqcqcPqcqPu 求解：12111).(100maxmax11qqqcuqq
5、 22122).(100maxmax22qqqcuqq 对其求导，令导数为 0，解得反应函数为：)100(21)(21211qcqRq)100(21)(12122qcqRq 纳什均衡),(*2*1qq,即（20,30）为两条反应函数的交点 )30100(21201c )20100(21302c 得到：301c，202c。此时：4001u，9002u。4、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？设居民i选择的养鸭数目为in)5,4,3,2,1(i，则总数为51iinN。假设：NN 居民的得益函数为：iiiiiiinnncVncnVu).48().(.51 计算：iiiuiunnu
6、ii).48(maxmax51 得到反应函数：).(212451121nnnnnRniiii 5、反应函数的交点),(*5*4*3*2*1nnnnn是博弈的纳什均衡。将),(*5*4*3*2*1nnnnn带入反应函数，得：8*5*4*3*2*1nnnnn。此时：64iu。此时，40N 然后讨论下N 若40N，则NN，上述博弈成立。若40N，则5NN 5、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？矩阵 1：妻子 丈夫 活着 死了 活着 1，1-1，0 死了 0，-1 0，0 矩阵 2：妻子 丈夫 活着 死了 活着 0，0 1，0 死了 0，1 0，0 矩阵 3：妻子 丈夫
7、 活着 死了 活着-1，-1 1，0 死了 0，1 0，0 用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：矩阵 1：（活着，活着）（死了，死了）可以看出这对夫妻间感情十分深厚。这对夫妻同生共死，一个死了，则另一个也选择死去。如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。矩阵 2：（活着，活着）（活着，死了）（死了，活着）可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收益，一个死了，对于另一个来说反而更好。矩阵 3：（活着，死了）（死了，活着）可以看出这对夫妻间感情很槽糕。这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。一个死了，对于另一个来说反而更好。6、（1）如果121 2(,)3f e eee，2()(1
8、,2)iic eei，试求此博弈的 Nash 均衡（即两个个体选择的最优努力程度）。（2）如果121 2(,)4f e eee，()(1,2)iic ee i，试求此博弈的 Nash 均衡。（1）收益为：2121121123)(),(21eeeeceefu 2221221223)(),(21eeeeceefu 得出反应函数为：221143)(eeRe 112243)(eeRe 纳什均衡),(*2*1ee为两条反应函数的交点，代入得出：0,0*2*1ee 两个人都不会努力的 （2）收益为：12112112)(),(21eeeeceefu 22122122)(),(21eeeeceefu 分别求偏
9、导：12211eeu 12122eeu 此时，两个人的努力程度都与对方的努力程度有关)21,0ie时，博弈一方越努力，另一方就选择努力程度为 0，此时纳什均衡为（0,0）21ie时，双方收益均达到最大值，此时纳什均衡为)21,21(1,21(ie时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为 1，此时纳什均衡为（1,1）第 2 次作业答案 1，（1）用扩展型表示这一博弈。（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？运用逆向法，由乙先来选择，在两个子博弈中，乙选择红色所示的路径。再由甲选择，在（高档，低档），（低档，低档）之间选择。甲选择绿色所示路径。最终的子博弈完美纳什均衡是（高档，低档），双方的收益
10、为（1000,700）2、（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；同时决策时，两个企业都为了各自利润最大化 分别对各自利润求导，并令导数为 0 0)(21caqpp 0)(22bqq 解得：bqcaqp ，cabb21 此时，两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1,2的价格为),(bcaq （2）企业 1 先决策的子博弈完美纳什均衡；企业 1 先决策，则企业 2 会在知道企业 1 的决策后，寻求自身利润最大化 所以：0)(22bqq bq 将bq 带入bcabpqcaqp221)（0)(21cabpp cabp 此时，cabb21，跟同时决策时的纳什均衡相同。企业 1 先决策的子博弈完美纳什
11、均衡为企业 1,2 的价格为),(bcab （3）企业 2 先决策的子博弈完美纳什均衡；企业 2 先决策，则企业 1 会在知道企业 2 的决策后，寻求自身利润最大化 所以：0)(22bqq caqp 将caqp带入caqbqpbq222)（0)(22bqq baq2 此时，cabap22 cababa4,2221 企业 2 先决策的子博弈完美纳什均衡为企业 1,2 的价格为)4,2(2cababa（4）是否存在参数cba,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时，会希望先决策 企业 1 希望先决策：042cabcaba，abca,0 企业 2 希
12、望先决策：02bab，2,0aba 结论：2,0aba，abc 3、（1）企业 1 没有引入新技术 12111)12()qqqqcp（22122)12()qqqqcp（求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为 0 02122111qqq 02121222qqq 得到：41q，42q 16,1621 （2）企业 1 引入新技术 fqqqfqcp12111)13()（22122)12()qqqqcp（求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为 0 02132111qqq 02121222qqq 得到：3141q，3112q 此时，317p 引入新技术使得企业 1 的利
13、润不少于没有引入新技术前的利润，所以 16)(111fqcp 得到 952f时，企业 1 会选择引进新技术。4、（1）企业 1 的产量1q，企业 2 以产量2q进入市场 2113qqp 1211)12(qqq 4)12(2212qqq 企业 2 后进入市场，则企业 2 会在知道企业 1 的决产量后，寻求自身利润最大化 所以：02122122qqq 12216qq 将12216qq带入1211)12(qqq，得 0)21612(11111qqqq 此时，61q，32q 5,1821 （2）企业 1 的产量1q，企业 2 以产量2q进入市场时利润为 0，觉得不进入市场 2113qqp 1211)1
14、2(qqq 4)12(2212qqq 企业 2 后进入市场，则企业 2 会在知道企业 1 的决产量后，寻求自身利润最大化 所以：02122122qqq 12216qq 将12216qq带入04)12(2212qqq，得 （舍去）或1681q 321，此时，企业 2 不进入市场。5、三个企业的利润函数为：)3,2,1(,)()(321iqcqqqaqcpiii 企业 2 和企业 3 观察到企业 1 的产量后同时选择产量 23212)(qcqqqa 33213)(qcqqqa 企业 2 和 3 均为了各自利润最大化选择产量，求解出各个的反应函数：0232122cqqqaq 0232133cqqqa
15、q 311312cqaqqqq，将反应函数带入企业 1 的利润函数，得 1113211)(31)(qcqaqcqqqa 对其求偏导，求解出企业 1 利润最大时的产量 0)2(31111cqaq 得到:21caq,632caqq,此时：65)662(cacacacaap 第三次作业答案 1、两个人的得益矩阵如下：B A 努力 偷懒 努力)49,49()25,23(偷懒)23,25()2,2(一次博弈纳什均衡为（偷懒，偷懒），无法实现帕累托最优（努力，努力）。无限次博弈时，对于 A，第一阶段选择努力，（1）若前 t-1 时刻选择均为努力，t 时刻也选择努力)1(49).1(49lim2ttA（2）
16、t 时刻选择偷懒，则前面的行为均为偷懒 425).(2lim252ttA 达到（努力，努力）这个均衡，使AA，即21，采取触发策略。、均衡为（努力，努力），合作产生。2、假设：厂商 2 在23/4t 时，产量为2q，利润为2；厂商 2 在24/5t 时，产量为2q，利润为2 对于厂商 2 来说，分别具有 50%的概率得到以下的利润 )43(2122qqq )54(2122qqq 对于厂商 1 来说，利润为)1(21)1(212112111qqqqqqE 求解上面三个式子的一阶导数，并令其为零，得到 024321qq 025421qq 0212121221qqq 得到：24047,24041,2
17、4098221qqq 该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商 1 的产量为240981q，厂商 2 在23/4t 时，产量为240412q；在24/5t 时，产量为240472q。3、考虑到c在23,21上呈均匀分布，1.)()(,1)(2321dcccfcEcf 对于厂商 1，121111)3(qqqcpq 对于厂商 2，221222)(4(qcEqqcpq 2212)3(qqq 对于厂商 1,2 的利润函数求一阶导数，并令其为零 得到121 qq 该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商 1,2 的产量均为 1 4、假设：此博弈的贝叶斯均衡为企业 1,2 的成本为),(*2*1 企业 1,2 的收益矩阵如下图：2 1 进入 不进入 进入),(21dd)0,(1m 不进入),0(2m)0,0(对于企业 1 来说 当*11，企业 1 选择进入；当*11，企业 1 选择进入 企业 1 进入的概率为)()(11011Fdf 不进入的概率为)(11F 企业 2 进入的期望收益为).(1().(21212mdFFu 不进入的期望收益为02u 企业 1 进入的条件为21uu 所以mmdF).(1*2 因为该博弈是对称的 所以mmdF).(2*1 此博弈的贝叶斯均衡为企业 1,2 的以概率)(),(21FF进入 均衡的成本为 mmdF).(1*2，mmdF).(2*1（)(),(21FF中为*2*1,