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1、第 1 次作业1、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。 工作申请规则如下： 每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作； 如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2W2d0，试计算此博弈的贝叶斯均衡。博弈论第 1 次作业答案精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 1、a写出以上博弈的战略式描述 b求
2、出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）存在两个纯战略纳什均衡：分别为（企业1，企业 2） ，收益为)2, 1(WW。 （企业 2，企业 1） ，收益为) 1,2(WW。存在一个混合策略均衡：令学生A选择企业 1 的概率为p，选择企业 2 的概率为p1; 学生 B选择企业 1 的概率为q，选择企业2 的概率为q1。当学生 A 以)1 ,(pp的概率选择时，学生B选择企业 1 的期望收益应该与选择企业2 的期望收益相等，即：221).1(2.1)1(121.WpWpWpWp解得：21212WWWWp,211221WWWWp同理求出：221).1 (2.1)1(121.WqWqWqWq解得：2
3、1212WWWWq,211221WWWWq所以，混合策略纳什均衡为： 学生 A、 B均以)21122,21212(WWWWWWWW学生 B 企业 1 企业 2 学生 A 企业 1 )221, 121(WW)2, 1(WW企业 2 )1,2(WW)121, 221(WW精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 的概率选择企业 1，企业 2。 2 、 该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？各厂商的利润函数为：inkki
4、iiiiiqqcaqcQaqcqQaCqPu).().(.).(.1求解：inkkqiqqqcauii).(maxmax1对其求导，令导数为0，解得反应函数为：.211121niiiqqqqqcaq纳什均衡),.,(*2*1nqqq, 必是 n 条反应函数的交点).(21*3*2*1nqqqcaq).(21*3*1*2nqqqcaq . ).(21*1*1*2*1*niiiqqqqqcaq . ).(21*1*2*1*nnqqqcaq得到：1.*2*1ncaqqqn，且为唯一的纳什均衡。当趋向于无穷大时博弈分析无效。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢
5、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 01limlim*ncaqnin，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无效。 3 、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？设：边际成本不变，为1c，2c。计算得市场出清价格为：)(100100)(21qqQQPP两个厂商的利润函数为：1211111111).(100).(.qqqcqcPqcqPu2212222222).(100).(.qqqcqcPqcqPu求解：12111).(100maxmax11qqqcuqq22122).(100maxmax22qqqcuq
6、q对其求导，令导数为0，解得反应函数为：)100(21)(21211qcqRq)100(21)(12122qcqRq纳什均衡),(*2*1qq, 即（20,30）为两条反应函数的交点)30100(21201c)20100(21302c得到：301c，202c。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 此时：4001u，9002u。4、 若所有居民同时决定养鸭的数量， 问该博弈的纳什均衡是什么？设居民i选择的养鸭数目为in)5 , 4, 3
7、,2, 1(i，则总数为51iinN。假设：NN居民的得益函数为：iiiiiiinnncVncnVu).48().(.51计算：iiiuiunnuii).48(maxmax51得到反应函数：).(212451121nnnnnRniiii5、反应函数的交点),(*5*4*3*2*1nnnnn是博弈的纳什均衡。将),(*5*4*3*2*1nnnnn带入反应函数，得：8*5*4*3*2*1nnnnn。此时：64iu。此时，40N然后讨论下N若40N，则NN，上述博弈成立。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -
8、 -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 若40N，则5NN5、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？矩阵 1：妻子丈夫活着死了活着1，1 -1 ，0 死了0，-1 0，0 矩阵 2：妻子丈夫活着死了活着0，0 1，0 死了0，1 0，0 矩阵 3：妻子丈夫活着死了活着-1，-1 1，0 死了0，1 0，0 用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：矩阵 1：（活着，活着）（死了，死了）可以看出这对夫妻间感情十分深厚。这对夫妻同生共死， 一个死了，则另一个也选择死去。如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。矩阵 2：（活着，活着）（活着
9、，死了）（死了，活着）可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收益， 一个死了，对于另一个来说反而更好。矩阵 3：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - - （活着，死了）（死了，活着）可以看出这对夫妻间感情很槽糕。 这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。一个死了，对于另一个来说反而更好。 6 、 （1）如果121 2(,)3f e eee，2( )(1,2)iic eei，试求此博弈的 Nash均衡（即两个个体选择的最优努力程度）
10、。（2）如果1212(,)4f e eee，( )(1,2)iic ee i，试求此博弈的 Nash均衡。（1）收益为：2121121123)(),(21eeeeceefu2221221223)(),(21eeeeceefu得出反应函数为：221143)(eeRe112243)(eeRe纳什均衡),(*2*1ee为两条反应函数的交点，代入得出：0, 0*2*1ee两个人都不会努力的（2）收益为：12112112)(),(21eeeeceefu精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 2
11、0 页 - - - - - - - - - - 22122122)(),(21eeeeceefu分别求偏导：12211eeu12122eeu此时，两个人的努力程度都与对方的努力程度有关)21,0ie时，博弈一方越努力， 另一方就选择努力程度为0，此时纳什均衡为（ 0,0）21ie时，双方收益均达到最大值，此时纳什均衡为)21,21( 1 ,21(ie时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为1，此时纳什均衡为（ 1,1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - -
12、- - - - - - 第 2 次作业答案1， （1）用扩展型表示这一博弈。（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？运用逆向法， 由乙先来选择， 在两个子博弈中， 乙选择红色所示的路径。再由甲选择，在（高档，低档） ， （低档，低档）之间选择。甲选择绿色所示路径。最终的子博弈完美纳什均衡是（高档，低档），双方的收益为（ 1000,700）2、 （1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；同时决策时，两个企业都为了各自利润最大化分别对各自利润求导，并令导数为0 0)(21caqpp精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -
13、 - - - -第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 0)(22bqq解得：bqcaqp，cabb21此时， 两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1,2 的价格为),(bcaq（2）企业 1 先决策的子博弈完美纳什均衡；企业 1 先决策，则企业 2 会在知道企业 1 的决策后，寻求自身利润最大化所以：0)(22bqqbq将bq带入bcabpqcaqp221)（0)(21cabppcabp此时，cabb21，跟同时决策时的纳什均衡相同。企业 1 先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2 的价格为),(bcab（3）企业 2 先决策的子博弈完美纳什均衡；企业 2 先决
14、策，则企业 1 会在知道企业 2 的决策后，寻求自身利润最大化所以：0)(22bqqcaqp将caqp带入caqbqpbq222)（0)(22bqqbaq2此时，cabap22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - cababa4,2221企业 2 先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2 的价格为)4,2(2cababa（4）是否存在参数cba,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时，
15、会希望先决策企业 1 希望先决策：042cabcaba，abca,0企业 2 希望先决策：02bab，2,0aba结论：2, 0aba，abc 3 、 （1）企业 1 没有引入新技术12111)12()qqqqcp（22122)12()qqqqcp（求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0 02122111qqq02121222qqq得到：41q，42q16,1621（2）企业 1 引入新技术fqqqfqcp12111)13()（22122)12()qqqqcp（求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0 02132111qqq02121222qqq精品资料
16、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 得到：3141q，3112q此时，317p引入新技术使得企业1 的利润不少于没有引入新技术前的利润，所以16)(111fqcp得到952f时，企业 1 会选择引进新技术。 4 、 （1）企业 1 的产量1q，企业 2 以产量2q进入市场2113qqp1211)12(qqq4)12(2212qqq企业 2 后进入市场， 则企业 2 会在知道企业 1 的决产量后， 寻求自身利润最大化所以：02122122qq
17、q12216qq将12216qq带入1211)12(qqq，得0)21612(11111qqqq此时，61q，32q5,1821（2）企业 1 的产量1q，企业 2 以产量2q进入市场时利润为0，觉得不进入市场2113qqp1211)12(qqq4)12(2212qqq企业 2 后进入市场， 则企业 2 会在知道企业 1 的决产量后， 寻求自身利润最大化所以：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 02122122qqq12216qq
18、将12216qq带入04)12(2212qqq，得（舍去）或1681q321，此时，企业 2 不进入市场。 5 、三个企业的利润函数为：)3 ,2, 1( ,)()(321iqcqqqaqcpiii企业 2 和企业 3 观察到企业 1 的产量后同时选择产量23212)(qcqqqa33213)(qcqqqa企业 2 和 3 均为了各自利润最大化选择产量，求解出各个的反应函数：0232122cqqqaq0232133cqqqaq311312cqaqqqq，将反应函数带入企业1 的利润函数，得1113211)(31)(qcqaqcqqqa对其求偏导，求解出企业1 利润最大时的产量0)2(31111
19、cqaq得到:21caq, 632caqq, 此时：65)662(cacacacaap精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 第三次作业答案1、两个人的得益矩阵如下：B A 努力偷懒努力)49,49()25,23(偷懒)23,25()2,2(一次博弈纳什均衡为（偷懒，偷懒） ，无法实现帕累托最优（努力，努力） 。无限次博弈时，对于A，第一阶段选择努力，（1）若前 t-1 时刻选择均为努力， t 时刻也选择努力)1(49).1(49li
20、m2ttA（2）t 时刻选择偷懒，则前面的行为均为偷懒425).(2lim252ttA达到（努力，努力）这个均衡，使AA，即21，采取触发策略。、均衡为（努力，努力） ，合作产生。 2 、假设：厂商 2 在23/ 4t时，产量为2q，利润为2；厂商 2 在24/5t时，产量为2q，利润为2对于厂商 2 来说，分别具有 50%的概率得到以下的利润)43(2122qqq)54(2122qqq对于厂商 1 来说，利润为)1(21)1(212112111qqqqqqE求解上面三个式子的一阶导数，并令其为零，得到精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归
21、纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 024321qq025421qq0212121221qqq得到：24047,24041,24098221qqq该博弈的纯战略贝叶斯均衡为， 厂商 1 的产量为240981q， 厂商 2 在23/ 4t时，产量为240412q；在24/ 5t时，产量为240472q。 3、考虑到 c在23,21上呈均匀分布，1. )()(, 1)(2321dcccfcEcf对于厂商 1，121111)3(qqqcpq对于厂商 2，221222)(4(qcEqqcpq2212)3(qqq对于厂商 1,2
22、的利润函数求一阶导数，并令其为零得到121qq该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1,2 的产量均为 1 4 、假设：此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2 的成本为),(*2*1企业 1,2 的收益矩阵如下图：2 1 进入不进入进入),(21dd)0,(1m不进入),0(2m)0,0(对于企业 1 来说当*11，企业 1 选择进入；当*11，企业 1 选择进入精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 企业 1 进入的概率为)()(11011Fdf
23、不进入的概率为)(11F企业 2 进入的期望收益为).(1().(21212mdFFu不进入的期望收益为02u企业 1 进入的条件为21uu所以mmdF).(1*2因为该博弈是对称的所以mmdF).(2*1此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2 的以概率)(),(21FF进入均衡的成本为mmdF).(1*2，mmdF).(2*1（)(),(21FF中为*2*1,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -