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第1次作业
1、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2>0，试计算此博弈的贝叶斯均衡。
博弈论第1次作业答案
1、a．写出以上博弈的战略式描述
学生B
企业1
企业2
学生A
企业1
企业2
b．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）
存在两个纯战略纳什均衡：分别为（企业1，企业2），收益为。（企业2，企业1），收益为。
存在一个混合策略均衡：令学生A选择企业1的概率为，选择企业2的概率为;学生B选择企业1的概率为，选择企业2的概率为。
当学生A以的概率选择时，学生B选择企业1的期望收益应该与选择企业2的期望收益相等，即：
解得：
,
同理求出：
解得：
,
所以，混合策略纳什均衡为：学生A、B均以的概率选择企业1，企业2。
2、该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？
各厂商的利润函数为：
求解：
对其求导，令导数为0，解得反应函数为：
纳什均衡,必是n条反应函数的交点
.....
......
得到：
，且为唯一的纳什均衡。
当趋向于无穷大时博弈分析无效。
，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无效。
3、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？
设：边际成本不变，为，。
计算得市场出清价格为：
两个厂商的利润函数为：
求解：
对其求导，令导数为0，解得反应函数为：
纳什均衡,即（20,30）为两条反应函数的交点
得到：
，。
此时：
，。
4、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？
设居民选择的养鸭数目为，则总数为。
假设：
居民的得益函数为：
计算：
得到反应函数：
5、 反应函数的交点是博弈的纳什均衡。
将带入反应函数，得：
。
此时：
。
此时，
然后讨论下
若，则，上述博弈成立。
若，则
5、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？
矩阵1：
妻子
丈夫
活着
死了
活着
1，1
-1，0
死了
0，-1
0，0
矩阵2：
妻子
丈夫
活着
死了
活着
0，0
1，0
死了
0，1
0，0
矩阵3：
妻子
丈夫
活着
死了
活着
-1，-1
1，0
死了
0，1
0，0
用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：
矩阵1：
（活着，活着） （死了，死了）
可以看出这对夫妻间感情十分深厚。这对夫妻同生共死，一个死了，则另一个也选择死去。如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。
矩阵2：
（活着，活着） （活着，死了） （死了，活着）
可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收益，一个死了，对于另一个来说反而更好。
矩阵3：
（活着，死了） （死了，活着）
可以看出这对夫妻间感情很槽糕。这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。一个死了，对于另一个来说反而更好。
6、（1）如果，，试求此博弈的Nash均衡（即两个个体选择的最优努力程度）。
（2）如果，，试求此博弈的Nash均衡。
（1）收益为：
得出反应函数为：
纳什均衡为两条反应函数的交点，代入得出：
两个人都不会努力的
（2）收益为：
分别求偏导：
此时，两个人的努力程度都与对方的努力程度有关
时，博弈一方越努力，另一方就选择努力程度为0，
此时纳什均衡为（0,0）
时，双方收益均达到最大值，此时纳什均衡为
时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为1，
此时纳什均衡为（1,1）
第2次作业答案
1， （1）用扩展型表示这一博弈。
（2） 这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？
运用逆向法，由乙先来选择，在两个子博弈中，乙选择红色所示的路径。
再由甲选择，在（高档，低档），（低档，低档）之间选择。甲选择绿色所示路径。最终的子博弈完美纳什均衡是（高档，低档），双方的收益为（1000,700）
2、（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；
同时决策时，两个企业都为了各自利润最大化
分别对各自利润求导，并令导数为0
解得：
，
此时，两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1,2的价格为
（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；
企业1先决策，则企业2会在知道企业1的决策后，寻求自身利润最大化
所以：
将带入
此时，
，跟同时决策时的纳什均衡相同。
企业1先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为
（3） 企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；
企业2先决策，则企业1会在知道企业2的决策后，寻求自身利润最大化
所以：
将带入
此时，
企业2先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为
（4）是否存在参数的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？
企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时，会希望先决策
企业1希望先决策：
，
企业2希望先决策：
，
结论：，
3、（1）企业1没有引入新技术
求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0
得到： ，
（2）企业1引入新技术
求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0
得到：，
此时，
引入新技术使得企业1的利润不少于没有引入新技术前的利润，所以
得到
时，企业1会选择引进新技术。
4、（1）企业1的产量，企业2以产量进入市场
企业2后进入市场，则企业2会在知道企业1的决产量后，寻求自身利润最大化
所以：
将带入，得
此时， ，
（2）企业1的产量，企业2以产量进入市场时利润为0，觉得不进入市场
企业2后进入市场，则企业2会在知道企业1的决产量后，寻求自身利润最大化
所以：
将带入，得
，此时，企业2不进入市场。
5、三个企业的利润函数为：
企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量
企业2和3均为了各自利润最大化选择产量，求解出各个的反应函数：
，将反应函数带入企业1的利润函数，得
对其求偏导，求解出企业1利润最大时的产量
得到:, ,
此时：
第三次作业答案
1、两个人的得益矩阵如下：
B
A
努力
偷懒
努力
偷懒
一次博弈纳什均衡为（偷懒，偷懒），无法实现帕累托最优（努力，努力）。无限次博弈时，对于A，第一阶段选择努力，
（1） 若前t-1时刻选择均为努力，t时刻也选择努力
（2） t时刻选择偷懒，则前面的行为均为偷懒
达到（努力，努力）这个均衡，使，即，采取触发策略。、
均衡为（努力，努力），合作产生。
2、假设：厂商2在时，产量为，利润为；
厂商2在时，产量为，利润为
对于厂商2来说，分别具有50%的概率得到以下的利润
对于厂商1来说，利润为
求解上面三个式子的一阶导数，并令其为零，得到
得到：
该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1的产量为，厂商2在时，产量为；在时，产量为。
3、考虑到在上呈均匀分布，
对于厂商1，
对于厂商2，
对于厂商1,2的利润函数求一阶导数，并令其为零
得到
该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1,2的产量均为1
4、假设：此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的成本为
企业1,2的收益矩阵如下图：
2
1
进入
不进入
进入
不进入
对于企业1来说
当，企业1选择进入；当，企业1选择进入
企业1进入的概率为
不进入的概率为
企业2进入的期望收益为
不进入的期望收益为
企业1进入的条件为
所以
因为该博弈是对称的
所以
此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的以概率进入
均衡的成本为
，（中为
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