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1、 第 1 页（共 21 页）2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1（5 分）已知集合 A=x|x2，B=x|32x0，则（）AAB=x|x BAB=CAB=x|x DAUB=R 2（5 分）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田，这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别是 x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数 Bx1，x2，xn的标准差 Cx1，x2，xn的最大值 Dx1，x2，xn的中位数
2、 3（5 分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）Ai（1+i）2 Bi2（1i）C（1+i）2 Di（1+i）4（5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A B C D 5（5 分）已知 F 是双曲线 C：x2=1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x轴垂直，点 A 的坐标是（1，3）则APF 的面积为（）A B C D 6（5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 第 2 页（共 21 页）为所在棱的中点，则在这四个正
3、方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是（）A B C D 7（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为（）A0 B1 C2 D3 8（5 分）函数 y=的部分图象大致为（）A B C D 9（5 分）已知函数 f（x）=lnx+ln（2x），则（）Af（x）在（0，2）单调递增 Bf（x）在（0，2）单调递减 Cy=f（x）的图象关于直线 x=1 对称 Dy=f（x）的图象关于点（1，0）对称 10（5 分）如图程序框图是为了求出满足 3n2n1000 的最小偶数 n，那么在 第 3 页（共 21 页）和两个空白框中，可以分别填入（）AA1000 和 n=n+1 B
4、A1000 和 n=n+2 CA1000 和 n=n+1 DA1000 和 n=n+2 11（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA（sinCcosC）=0，a=2，c=，则 C=（）A B C D 12（5 分）设 A，B 是椭圆 C：+=1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB=120，则 m 的取值范围是（）A（0，1 9，+）B（0，9，+）C（0，1 4，+）D（0，4，+）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）已知向量=（1，2），=（m，1），若向量+与 垂直，则 m=14（5 分）曲
5、线 y=x2+在点（1，2）处的切线方程为 15（5 分）已知 （0，），tan=2，则 cos（）=16（5 分）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径，若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 第 4 页（共 21 页）的表面积为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程（一）必考题 17（12 分）记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和已知 S2=2，S3=6（1）求 an 的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2是否能成等差数列 18（12 分）如图，在
6、四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，且四棱锥 PABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积 19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9
7、.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得=xi=9.97，s=0.212，18.439，（xi）（i8.5）=2.78，其中 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1，2，16（1）求（xi，i）（i=1，2，16）的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|0.25，则可以 第 5 页（共 21 页）认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行
8、检查（）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（）在（3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到 0.01）附：样本（xi，yi）（i=1，2，n）的相关系数 r=，0.09 20（12 分）设 A，B 为曲线 C：y=上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求直线 AB 的方程 21（12 分）已知函数 f（x）=ex（exa）a2x（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）0，求 a 的取值范围
9、 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），直线 l 的参数方程为（t 为参数）（1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为，求 a 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1|第 6 页（共 21 页）（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含 1，1，求 a 的取值范围
10、2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1（5 分）（2017新课标）已知集合 A=x|x2，B=x|32x0，则（）AAB=x|x BAB=CAB=x|x DAUB=R【解答】解：集合 A=x|x2，B=x|32x0=x|x，AB=x|x，故 A 正确，B 错误；AB=x|x2，故 C，D 错误；故选：A 2（5 分）（2017新课标）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田，这 n 块地的亩产量（单位：kg）分别是 x1，x2，xn，下面
11、给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）Ax1，x2，xn的平均数 Bx1，x2，xn的标准差 Cx1，x2，xn的最大值 Dx1，x2，xn的中位数【解答】解：在 A 中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故 A 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在 B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故 B 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在 C 中，最大值是一组数据最大的量，故 C 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在 D 中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，第 7 页（共 21 页）故 D 不
12、可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 故选：B 3（5 分）（2017新课标）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）Ai（1+i）2 Bi2（1i）C（1+i）2 Di（1+i）【解答】解：Ai（1+i）2=i2i=2，是实数 Bi2（1i）=1+i，不是纯虚数 C（1+i）2=2i 为纯虚数 Di（1+i）=i1 不是纯虚数 故选：C 4（5 分）（2017新课标）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A B C D【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半
13、，设圆的半径为 1，则正方形的边长为 2，则黑色部分的面积 S=，则对应概率 P=，故选：B 5（5 分）（2017新课标）已知 F 是双曲线 C：x2=1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是（1，3）则APF 的面积为（）第 8 页（共 21 页）A B C D【解答】解：由双曲线 C：x2=1 的右焦点 F（2，0），PF 与 x 轴垂直，设（2，y），y0，则 y=3，则 P（2，3），APPF，则丨 AP 丨=1，丨 PF 丨=3，APF 的面积 S=丨 AP 丨丨 PF 丨=，故选 D 6（5 分）（2017新课标）如图，在下列四个正方体中，A，
14、B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ不平行的是（）A B C D【解答】解：对于选项 B，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知 B 不满足题意；第 9 页（共 21 页）对于选项 C，由于 ABMQ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意；对于选项 D，由于 ABNQ，结合线面平行判定定理可知 D 不满足题意；所以选项 A 满足题意，故选：A 7（5 分）（2017 新课标）设 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为（）A0 B1 C2 D3【解答】解：x，y 满足约束条件的可行域如图：，则 z=x+y 经过可行域的
15、A 时，目标函数取得最大值，由解得 A（3，0），所以 z=x+y 的最大值为：3 故选：D 8（5 分）（2017 新课标）函数 y=的部分图象大致为（）A B 第 10 页（共 21 页）C D【解答】解：函数 y=，可知函数是奇函数，排除选项 B，当 x=时，f（）=，排除 A，x=时，f（）=0，排除 D 故选：C 9（5 分）（2017新课标）已知函数 f（x）=lnx+ln（2x），则（）Af（x）在（0，2）单调递增 Bf（x）在（0，2）单调递减 Cy=f（x）的图象关于直线 x=1 对称 Dy=f（x）的图象关于点（1，0）对称【解答】解：函数 f（x）=lnx+ln（2x）
16、，f（2x）=ln（2x）+lnx，即 f（x）=f（2x），即 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称，故选：C 10（5 分）（2017新课标）如图程序框图是为了求出满足 3n2n1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）第 11 页（共 21 页）AA1000 和 n=n+1 BA1000 和 n=n+2 CA1000 和 n=n+1 DA1000 和 n=n+2【解答】解：因为要求 A1000 时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A 1000”，又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0，所以“”中 n 依次加 2 可保证其为偶数，所以 D 选项
17、满足要求，故选：D 11（5 分）（2017新课标）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA（sinCcosC）=0，a=2，c=，则 C=（）A B C D【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinB+sinA（sinCcosC）=0，sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0，cosAsinC+sinAsinC=0，sinC0，cosA=sinA，tanA=1，0A，A=，由正弦定理可得=，sinC=，第 12 页（共 21 页）a=2，c=，sinC=，ac，C=，故选：B 12（
18、5 分）（2017新课标）设 A，B 是椭圆 C：+=1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足AMB=120，则 m 的取值范围是（）A（0，1 9，+）B（0，9，+）C（0，1 4，+）D（0，4，+）【解答】解：假设椭圆的焦点在 x 轴上，则 0m3 时，假设 M 位于短轴的端点时，AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足AMB=120，AMB120，AMO60，tanAMO=tan60=，解得：0m1；当椭圆的焦点在 y 轴上时，m3，假设 M 位于短轴的端点时，AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足AMB=120，AMB120，AMO60，tanAMO=t
19、an60=，解得：m9，m 的取值范围是（0，1 9，+）故选 A 第 13 页（共 21 页）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）（2017 新课标）已知向量=（1，2），=（m，1），若向量+与 垂直，则 m=7 【解答】解：向量=（1，2），=（m，1），=（1+m，3），向量+与 垂直，（）=（1+m）（1）+32=0，解得 m=7 故答案为：7 14（5 分）（2017 新课标）曲线 y=x2+在点（1，2）处的切线方程为 xy+1=0 【解答】解：曲线 y=x2+，可得 y=2x，切线的斜率为：k=21=1 切线方程为：y2=x1，即：xy+1
20、=0 故答案为：xy+1=0 15（5 分）（2017 新课标）已知 （0，），tan=2，则 cos（）=第 14 页（共 21 页）【解答】解：（0，），tan=2，sin=2cos，sin2+cos2=1，解得 sin=，cos=，cos（）=coscos+sinsin=+=，故答案为：16（5 分）（2017 新课标）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径，若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 36 【解答】解：三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直
21、径，若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，可知三角形 SBC 与三角形 SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为 r，可得，解得 r=3球 O 的表面积为：4r2=36 故答案为：36 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程（一）必考题 17（12 分）（2017 新课标）记 Sn为等比数列 an 的前 n 项和已知 S2=2，S3=6（1）求 an 的通项公式；（2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2是否能成等差数列【解答】解：（1）设等比数列 an 首项为 a1，公比为 q，则 a3=S3S2=62=8，则 a1
22、=，a2=，由 a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=2，则 a1=2，an=（2）（2）n1=（2）n，第 15 页（共 21 页）an 的通项公式 an=（2）n；（2）由（1）可知：Sn=（2+（2）n+1），则 Sn+1=（2+（2）n+2），Sn+2=（2+（2）n+3），由 Sn+1+Sn+2=（2+（2）n+2）（2+（2）n+3）=4+（2）（2）n+1+（2）2+（2）n+1 =4+2（2）n+1=2 （2+（2）n+1）=2Sn，即 Sn+1+Sn+2=2Sn，Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列 18（12 分）（2017新课标）如图，在四棱锥 PA
23、BCD 中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，且四棱锥 PABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积 【解答】证明：（1）在四棱锥 PABCD 中，BAP=CDP=90，ABPA，CDPD，又 ABCD，ABPD，PAPD=P，AB平面 PAD，AB 平面 PAB，平面 PAB平面 PAD 解：（2）设 PA=PD=AB=DC=a，取 AD 中点 O，连结 PO，PA=PD=AB=DC，APD=90，平面 PAB平面 PAD，PO底面 ABCD，且 AD=，PO=，四棱锥 PABCD 的体积为，第 16 页（共 2
24、1 页）VPABCD=8，解得 a=2，PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，PB=PC=2，该四棱锥的侧面积：S侧=SPAD+SPAB+SPDC+SPBC=+=6+2 19（12 分）（2017 新课标）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10
25、.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得=xi=9.97，s=0.212，18.439，（xi）（i8.5）=2.78，其中 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1，2，16（1）求（xi，i）（i=1，2，16）的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）第 17 页（共 21 页）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生
26、产过程进行检查（）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（）在（3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到 0.01）附：样本（xi，yi）（i=1，2，n）的相关系数 r=，0.09【解答】解：（1）r=0.18|r|0.25，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（2）（i）=9.97，s=0.212，合格零件尺寸范围是（9.334，10，606），显然第 13 号零件尺寸不在此范围之内，需要对当天的生产过程进行检查（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为=10.02，=160.2122
27、+169.972=1591.134，剔除离群值后样本方差为（1591.1349.2221510.022）=0.008，剔除离群值后样本标准差为0.09 20（12 分）（2017 新课标）设 A，B 为曲线 C：y=上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AMBM，求 第 18 页（共 21 页）直线 AB 的方程【解答】解：（1）设 A（x1，），B（x2，）为曲线 C：y=上两点，则直线 AB 的斜率为 k=（x1+x2）=4=1；（2）设直线 AB 的方程为 y=x+t，代入曲线 C：
28、y=，可得 x24x4t=0，即有 x1+x2=4，x1x2=4t，再由 y=的导数为 y=x，设 M（m，），可得 M 处切线的斜率为m，由 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，可得m=1，解得 m=2，即 M（2，1），由 AMBM 可得，kAMkBM=1，即为=1，化为 x1x2+2（x1+x2）+20=0，即为4t+8+20=0，解得 t=7 则直线 AB 的方程为 y=x+7 21（12 分）（2017 新课标）已知函数 f（x）=ex（exa）a2x（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）0，求 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x）=ex（exa）a2x，f（x）=
29、2e2xaexa2=（2ex+a）（exa），当 a=0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在 R 上单调递增，当 a0 时，2ex+a0，令 f（x）=0，解得 x=lna，当 xlna 时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，当 xlna 时，f（x）0，函数 f（x）单调递增，第 19 页（共 21 页）当 a0 时，exa0，令 f（x）=0，解得 x=ln（），当 xln（）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，当 xln（）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增，综上所述，当 a=0 时，f（x）在 R 上单调递增，当 a0 时，f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上
30、单调递增，当 a0 时，f（x）在（，ln（）上单调递减，在（ln（），+）上单调递增，（2）当 a=0 时，f（x）=e2x0 恒成立，当 a0 时，由（1）可得 f（x）min=f（lna）=a2lna0，lna0，0a1，当 a0 时，由（1）可得 f（x）min=f（ln（）=a2ln（）0，ln（），2a0，综上所述 a 的取值范围为 2，1 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22（10 分）（2017新课标）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），直线 l 的
31、参数方程为（t 为参数）（1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为，求 a【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为（为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=1 时，直线 l 的参数方程化为一般方程是：x+4y3=0；联立方程，解得或，第 20 页（共 21 页）所以椭圆 C 和直线 l 的交点为（3，0）和（，）（2）l 的参数方程（t 为参数）化为一般方程是：x+4ya4=0，椭圆 C 上的任一点 P 可以表示成 P（3cos，sin），0，2），所以点 P 到直线 l 的距离 d 为：d=，满足 tan=，又 d 的最大值 dmax=，所以|
32、5sin（+）a4|的最大值为 17，得：5a4=17 或5a4=17，即 a=16 或 a=8 选修 4-5：不等式选讲 23（2017 新课标）已知函数 f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含 1，1，求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=x2+x+4，是开口向下，对称轴为 x=的二次函数，g（x）=|x+1|+|x1|=，当 x（1，+）时，令x2+x+4=2x，解得 x=，g（x）在（1，+）上单调递增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时 f（x）g（x）的解集为（1，；当 x 1，1 时，g（x）=2，f（x）f（1）=2 当 x（，1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且 g（1）=f（1）=2 综上所述，f（x）g（x）的解集为 1，；（2）依题意得：x2+ax+42 在 1，1 恒成立，即 x2ax20 在 1，1恒成立，则只需，解得1a1，第 21 页（共 21 页）故 a 的取值范围是 1，1