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1、20042004 年全国高中数学联合竞赛试题年全国高中数学联合竞赛试题(1(1 试试)第第一一试试时间：时间：1010 月月 1616 日日一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 3636 分，每小题分，每小题 6 6 分）分）1 1、设锐角使关于 x 的方程x24xcoscot 0有重根，则的弧度数为（）A.6B.12or512C.6or512D.122 2、已知M(x,y)|x22y23,N(x,y)|y mxb。若对所有mR,均有 M N ，则 b 的取值范围是（）66A.,2266B.2,22 3 2 32 3 2 3,C.(,D.33333 3、不等式log2x1log1x32 0
2、的解集为（）212A.2,3)B.(2,3C.2,4)D.(2,4 4 4、设 O 点在ABC内部，且有OA2OB3OC 0，则ABC的面积与AOC的面积的比为（）A.2B.32C.3D.535 5、设三位数n abc，若以 a，b，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 n 有（）A.45 个B.81 个C.165 个D.216 个6 6、顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB，垂足为 B，OH PB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA的中点，则当三棱锥 OHPC 的体积最大时，OB
3、的长是（）A.53B.2 53C.63D.2 63二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 5454 分，每小题分，每小题 9 9 分）分）7 7、在平面直角坐标系 xoy 中，函数f(x)asinaxcosax(a 0)在一个最小正周期2长的区间上的图像与函数g(x)a 1的图像所围成的封闭图形的面积是_。8 8、设函数f:R R,满足f(0)1，且对任意x,yR,都有f(xy 1)f(x)f(y)f(y)x2，则f(x)=_。D1D1C1C19 9、如图、正方体ABCD A1BC11D1中，A1A1B1B1F FE E二面角ABD1 A1的度数是_。A AD DC CB B1010、设 p
4、 是给定的奇质数，正整数 k 使得k2 pk也是一个正整数，则k=_。1111、已知数列a0,a1,a2,.,an,.,满足关系式(3an1)(6an)18,且a0 3，则ion1的值是ai_。1212、在平面直角坐标系 XOY 中，给定两点 M（1，2）和 N（1，4），点 P 在X 轴上移动，当MPN取最大值时，点 P 的横坐标为_。三、解答题（本题满分三、解答题（本题满分 6060 分，每小题分，每小题 2020 分）分）1313、一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。问：（）某人在这项游戏中最多能过几关？（）
5、他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）1414、在平面直角坐标系 xoy 中，给定三点A(0,),B(1,0),C(1,0)，点 P 到直线 BC的距离是该点到直线 AB，AC 距离的等比中项。（）求点 P 的轨迹方程；（）若直线 L 经过ABC的内心（设为 D），且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围。1515、已知,是方程4x24tx1 0(tR)的两个不等实根，函数f(x)域为,。（）求g(t)max f(x)min f(x)；（）证明：对于ui(0
6、,)(i 1,2,3)，若sinu1sinu2sinu31,22xt的定义x2143则11136。g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)4二四年全国高中数学联合竞赛试题二四年全国高中数学联合竞赛试题参参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 3
7、636 分，每小题分，每小题 6 6 分）分）1 1、解：因方程x24xcoscot 0有重根，故 16cos24cot 00 22,4cot(2sin 21)0得sin2126或 255，于是或。故选 B。612122 2、解：M N 相 当 于 点（0，b）在 椭 圆x22y23上 或 它 的 内 部2b266。1,b 322故选 A。331log2x1log2x 03 3、解：原不等式等价于222log2x1 0321t t 0设log2x1 t,则有22t 0解得0 t 1。故选 C。A A即0 log2x11,2 x 4。4 4、解：如图，设 D，E 分别是 AC，BC 边的中点，O
8、AOC 2OD(1)则 2(OB OC)4OE(2)D D由（1）（2）得，OA2OB3OC 2(OD2OE)0，即OD与OE共线，且|OD|2|OE|B BE EO OC CSAEC3S32,ABC 3，故选 C。SAOC2SAOC25 5、解：a，b，c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0。即a,b,c1,2,.,9（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数码1都相同，所以，n1C99。（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有 2 个不同数码。设为 a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有2C92
9、。但当大数为底时，设 ab，必须满足b a 2b。此时，不能构成三角形的数码是ab2，1共 20 种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有C32种情况。故n2C32(2C9220)6(C9210)156。综上，n n1n2165。6 6、解：AB OB,AB OP,AB PB,又OH PB面PAB 面POB,OH HC,OH PA。C 是 PA中点，OC PA94，384，32，173，2163，251，241，2321111当HO HC时SHOC最大，也即VOHPCVPHCO最大。此时，1HO 2,故HO=OP,HPO 3002，2 6OB OPtan3003故选 D。
10、二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 5454 分，每小题分，每小题 9 9 分）分）其中arctan，它的最小正周期为7 7、解：f(x)a2 1sin(ax),1a2，振幅为aa21。由f(x)的图像与g(x)的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为22、宽为a21的长方形，故它的面积是aaa21。8 8、解：对x,yR,有f(xy1)f(x)f(y)f(y)x2,有f(xy1)f(y)f(x)f(x)y2f(x)f(y)f(y)x2=f(y)f(x)f(x)y 2即f(x)y f(y)x,令y 0,得f(x)x1。9 9、解：连结DC1,作CE BD1，垂足为 E，延长 C
11、E 交A1B于 F，则FE BD1，连结AE，由对称性知AE BD1,FEA是二面角ABD1 A1的平面角。A1A1F FE ED DC CA AD1D1C1C1B1B1连结 AC，设 AB=1，则AC AD12,BD13.ABAD12，在RtABD1中，AE BD1322222B B4213在AEC中,cosAEC AE CE AC2AE AC 42AECE2AE223AEC 1200,而FEA是AEC的补角，FEA 600。pp24n21010、解：设k pk n,nN,则k pk n 0,k，从而p24n2是平22*22方数，设为m2,mN*,则(m2n)(m2n)p2p21m m2n
12、12p是质数，且p 3,解得22m2n pn p 14pm2p(p21)(p1)2k,故 k。（负值舍去）2441111、解：设bn111,n 0,1,2,.,则(3)(6)18,anbn1bn131313即3bn16bn1 0.bn1 2bn,bn1 2(bn)13故数列bn 是公比为 2 的等比数列，111111bn 2n(b0)2n()2n1bn(2n11)。33a0333nn1n211i11 2(2n11)b(21)(n1)i2132n3。a33ioii0i0n1212、解：经过M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3x 上，设圆心为S（a，3a），则圆 S 的方程为：
13、(xa)2(y3a)2 2(1a2)对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN取最大值时，经过 M，N，P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P，即圆 S 的方程中的 a 值必须满足2(1a2)(a3)2,解得a=1 或 a=7。即对应的切点分别为P(1,0)和P(7,0)，而过点M，N，p的圆的半径大于过点M，N，P 的圆的半径，所以MPN MPN，故点 P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为 1。三、解答题（本题满分三、解答题（本题满分 6060 分，每小题分，每小题 2020 分）分）1313、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是
14、相等的。（）因骰子出现的点数最大为 6，而64 24,65 25，因此，当n 5时，n 次出现的点数之和大于2n已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过 4 关。分（）设事件An为“第 n 关过关失败”，则对立事件An为“第 n 关过关成功”。第 n 关游戏中，基本事件总数为6n个。第 1 关：事件A1所含基本事件数为 2（即出现点数为 1 和 2 这两种情况），过此关的概率为：P(A1)1 P(A1)122。635第 2 关：事件A2所含基本事件数为方程x y a当 a 分别取 2，3，4 时的正整数11解组数之和。即有C11C2。C3123 6（个）过此关的概率为：
15、P(A2)1 P(A2)165。62610 分第 3 关：事件A3所含基本事件为方程x y z a当 a 分别取 3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有C22C32C42C52C62C7213610152156（个）。过此关的概率为：P(A3)1 P(A3)15620。15 分63272520100故连过前三关的概率为：P(A1)P(A2)P(A3)。20 分3627243（说明：第 2，3 关的基本事件数也可以列举出来）1414、解：（）直线 AB、AC、BC 的方程依次为y(x1),y (x1),y 0。点P(x,y)到 AB、AC、BC 的距离依次为d111|4x3y 4|,d
16、2|4x3y 4|,d3|y|。554343依设，d1d2 d32,得|16x2(3y4)2|25y2，即16x2(3y4)225y2 0,或16x2(3y4)225y2 0，化简得点 P 的轨迹方程为圆 S：2x22y23y2 0与双曲线T:8x217y212y8 0（）由前知，点 P 的轨迹包含两部分圆 S：2x22y23y2 0与双曲线 T：8x217y212y8 05 分因为 B（1，0）和 C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B 和点 C 在点 P的轨迹上，且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点。1ABC的内心 D 也是适合题设条件的点，由d1 d2 d3，
17、解得D(0,)，且知它在圆2S 上。直线L 经过 D，且与点P 的轨迹有 3 个公共点，所以，L 的斜率存在，设L 的方程为1y kx212（i）当 k=0 时，L 与圆 S 相切，有唯一的公共点 D；此时，直线y 平行于 x轴，表明 L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点，所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3个公共点。10 分（ii）当k 0时，L 与圆 S 有两个不同的交点。这时，L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有两种情况：125 45 4x (2y1)。代入方程得y(3y 4)0，解得E(,)或F(-,)。表明直线 BD 与3 33 3情况 1：直线 L 经过点 B 或点 C，
18、此时 L 的斜率k ，直线 L 的方程为曲线 T 有 2 个交点 B、E；直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当k 时，L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。分情况 2：直线 L 不经过点 B 和 C（即k ），因为 L 与 S 有两个不同的交点，1212158x217y212y8 0所以 L 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组有且只1y kx2有一组实数解，消去 y 并化简得(817k2)x25kx该方程有唯一实数解的充要条件是817k2 0或(5k)24(817k2)解方程得k 25 0425 042 342，解方程得k 。172122 342,。172综合得直线
19、 L 的斜率 k 的取值范围是有限集0,20 分21515、解：（）设 x1 x2,则4x124tx11 0,4x24tx21 0,24(x12 x2)4t(x1 x2)2 0,2x1x2t(x1 x2)1 02则f(x2)f(x1)2x2t2x1t(x2 x1)t(x1 x2)2x1x222222x21x11(x21)(x11)12又t(x1 x2)2x1x22 t(x1 x2)2x1x2 0 f(x2)f(x1)0故f(x)在区间,上是增函数。5 分1 t,4g(t)max f(x)min f(x)f()f()()t()22222215t21t22228 t 1(2t 5)22516t 25t21610 分（）证：8216(23)24cos uicosuicos uicosui2 162416 6g(tanui)(i 1,2,3)22216169cos u169cos u169cos uiii92cos ui311312(169cos ui)(163939)sin2ui)15 分16 6i116 6i1g(tanui)i133sinui1,且ui(0,),i 1,2,32i13sin ui(sinui)21，而均值不等式与柯西2i1i133不等式中，等号不能同时成立，111113(759)6g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)16 63420 分