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1、2 0 2 2年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)考试时间：2 0 1 1年1 0月16日8：0 0 9：2 0一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共6 4分.把答案填在横线上.1.设 集 合A =3，%,%,4 ，若4中 所 有 三 元 子 集 的 三 个 元 素 之 和 组 成 的 集 合 为8=-1,3,5,8 ,则集合 A =.解显然，在.4的所有三元子集中，每个元素均出现了 3次，所以3(%+a2+a3+a4)=(-1)+3 +5+8=1 5,故a,+%+%+牝=5,于是集合4的四个元素分别为5 (1)=6,5 3 =2,5 5=0,5-8=-3,因此，集合/=-3,0,2,6
2、.2.函 数/*)=近 至 的 值 域 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.X 1解=且6工工，贝I J2 2 41人 幻=上 近=!一=1.ta n 1 9 -1 si n 8-c o s 6 V si n(-)设=拒皿8-2)，则-且工0,4所以/(X)=-e (-3 0,-U(l,+o ).u 23.设a”为正实数，-+-)2=4 ah-(a-h)2=4 ah+4(ah)3 4-2 ylah(ab)3=8(Q6产，B P ab 2 6 ab.于是 a+b=2 yiab,再由不等式中等号成立的条件，得ab=l.与 联 立 解 得 一 或h=y/2+l,a=y
3、l+1,6=V 2-1,故 loga h=-.4.如 果 c o s，O-si n，7(si n3 -c o s3 0),0Gf 0,2 )，那么 8的取值范围是解 不等式 cos*-s 0 c o s3 +y c o s5 0,又 f(x)=x3+；/是(-8,+8)上的增函数，所以si n。c o s8,故 2 k7 T+0 5!=3 60 0种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共 有;（CC；）-5!-C 5!=1 1 4 0 0种方案；所以满足题设要求的方案数为3 60 0 +1 1 4 0 0 =1 50 0 0 .6 .在四面体 AB C O中，已知 Z 4 B=Z B D C=
4、N C A=6（r,AD=BD=3,8=2,则四面体 A B C。的外接球的半径为.解 设四面体H 8 CD的外接球球心为。，则。在过 4 8。的外心N且垂直于平面的垂线上.由题设知，月8。是正三角形，则点N为,4 8。的中心.设尸,M分别为z 1 5,C D的中点，则N在。P上，且O N _ L D P,O M CD.因为N C D 4 =N C D 9 =N/O 8 =60。，设CD与 平 面 所 成 角 为8,可求得c o se =-,si n e =W .73 73在 D W N 中，D M =-C D =l,DN=-DP=2.也.3 =62 3 3 2由余弦定理得M N2=2+(/3
5、)2-2-1-y/3-V3故 M N =&.四边形D M O N的外接圆的直径OD=M N _血si n。6=V3 .耳故球。的半径2?=后.7.直线x-2 y-l=0与抛物线V=4 x交于A,B两点，C为抛物线上的一点，ZACB=9CP,则点C的坐标为.解 设 再，乂),8(%,/)(2),由，72：T=0，尸=4x,得 y2-S y-4 =0,贝 1 乂+%=8,y,-y2=-4 .又9=2乂+1,j=2%+1，所以.+覆=2(乂 +y J +2=18,x,x2=4yt-y2+2(yl+y2)+l=l.因为4 c 8=90。，所以BW =0,即有(广-X)(厂-x?)+(2r-%)(2r-
6、乃)=，即t4一(X 1 +x2)t-+x,x,+4t2-2(y,+y2)t+y,-y2=0,即-14产-16f-3=0,即(广+4f+3)(J-4/-l)=0.显然广-4-1K0,否则d-2 2-1 =0,则点C在直线x-2 y-l=0上，从而点C与点.4或点B重合.所以f+4 f+3=0,解得乙=-1,右=-3.故所求点C的坐标为(1,-2)或(9,-6).8.已知凡=C以咐。”七)(”=1,2,9 5),则数列 “中整数项的个数为200n 400-5解 氏=(2嬴 3丁2十要使凡(144 9 5)为整数，必 有 些2,竺上自均为整数，从而6|+4.3 6当 “=2,8,14,20,26,
7、32,38,44,50,56,62,68,74,80 时，丑口.和竺上3 1 均为非负整数，所3 6以明为整数，共有14个.当月=86时，怎0=(2箫3叫2-，在=i叽 中，86-00 200 86!-114!200!中因数2的个数为20022 0 0 12001-200-2 0 0 12001 200一+j-+=19722 2 2?2 2同理可计算得86!中因数2的个数为82,114!中因数2的个数为110,所以C M中因数2的个数为197-82-110=5,故/是整数.当=9 2时，在 中，同样可求得92!中因数2的个数为88,108!中因数2的个数为105,故C器中因数2的个数为197-
8、8 8-105=4,故心 不是整数.因此，整数项的个数为14+1 =15.二、解答题：本大题共3小题，共5 6分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本 小 题 满 分1 6分)设 函 数/(x)=|lg(x+l)|,实数a,伏a与满足/()=/(-妇 ),b+2/(10a+劭+21)=4 1 g 2,求a,b 的值.解/()=/(-4)I ig(a+1)H ig(-4+1)|=|lg(TT)M,gC6+2)I b+2 b+2 h+2：.a+l=b+2 或(a+I)(6+2)=l,又：a +2)=1.4 分又由/(a)=|lg(a+1)有意义知 0 a+1,从而 0 a+b+b+2,
9、于是0 a+1.8 分b+2从而/(10a+6/+21)=|lg6(/j+2)+|=lg6(/+2)+.A+2 b+2又/(10a+66+21)=41g2，所以 lg6(b+2)+=41g2，b+2故 6(/,+2)+-=16.12 分b+2解得力=-;或 人=-1 (舍去).1 ,2把 6=代入(a+1)(6+2)=1 解得 a.3 5所以 Q=-2,b=一 二.16分5 310.(本 小 题 满 分(2严 i-3)%+2(r-l)rn-l=-20 分)已 知 数 列an满 足：a.=2r-3(re R 且/w l),5WN*).(1)求数列%的通项公式；(2)若/0,试比较初与。的大小.解
10、 由原式变形得 2(产 1)&+)_,1 a+2一12(4+1)则 巴+壮1 =.2(4+D_=/_ r+-i*+2-1%+1 .一1 -记分=，贝北7=冷，a=W=W=2t-1 b+2 r-1 t-5分1 1-=a 21 1 1-=-F -b li b n2从而有（-武故 守=2,于是有*=江二5-1.10分/-1 n nG 2-1)2(-1)+1 n=+)-(+1)(1+1 +尸)(+1)二 2 D 1n._(1+/+L)=2(1)_ )+_ )+.+(产)n(n+1)n(n+1)=2(r-l)r,+”+.+)+M-2+-3+.+D+.+/-,显然在r 0(f H 1)时恒有 a“+1-a
11、”0,故a,+a.20 分1 1.（本小题满分2 0分）作斜率为:的直线/与椭圆C：交于A B两 点（如图所示），且尸（3后，后）在直线/的左上方.（1）证明：a P A B的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若 ZAPB=6 0 ,求P4B 的面积.解(1)设直线/：y=；x+i,A(x,yi),B(x2,y2).1r 2将好乂+?代入土+匕=1中，化简整理得3 36 42x2+6zx+9J-36=0.于是有 X,+x2=-3m,xtx2=9,；3 6乂 一 拒._ y.,-yfiUil,_ 乂 _五 力一拒 _ (乂 -扬(-3扬 +(凡一扬(西-3扬从 P S-WT K7T(再-3 7)
12、3-3)_ tik i中,子=(-X|+m y2)x2 3v)+(-x,+m 3V)=y .r,X j +(?-2 V 2)(x1+x2)-6-7 2 (/M-42)=?2 3 6 +(L2A/)(-3W)-Jl)=3/M:-1 2-3 w:+6 7 2/-6A/2OT+1 2 =0 ,从而，kp*+kPB=0 .又P在直线/的左上方，因此，4P8的角平分线是平行于y轴的直线，所以 P 4 8的内切圆的圆心在直线x =3收上.1 0分(2)若N/P 6 =6 0。时，结 合(1)的 结 论 可 知=括,心a =4.2 2直线R 4的方程为：y-V 2 =/3(.v-35/2),代 入 二+匕=
13、1中，消去y得36 414/+9后(1-3扬x +I8(13-3扬=0.它的两根分别是七和3五，所以.中3船=/(1 3-3、),即 写=3、(1 3-3扬.14 14所以|P川=/1 +(g)2.|儿-3拉|=3拒(3产+1).15分同理可求得1PB|=3拒(3,-1).后N 0 1 3。-z n o 1 3技3石+1)37 2(37 3-1)6 117百 一 A所以 SSPAB=-PA-PB-&in60=-=-2 02 02 2年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2 011年 10月 16 日9：4 012：10一、（本题满分4 0分）如图，P,。分别是圆内接四边形4 8 C
14、3的对角线4 C,8。的中点.若 NBPA=NDPA,证明：ZAQB=NCQB.证明延长线段O P 与圆交地另一点E ,则N C P E =N DP 4 =N 8 P 4 ,又P是线段,4 C 的中点，iAB=CE,从而 NCDP=NBDA.10 分又4ABD=4PCD,所以AABD sAPC D ,于 是 任=上，即BD CDAB CD=PC BD.2 0 分从而有 AB CD=AC BD=AC（BD）=AC BQ,即丝=也.AC CD又&B Q=Z A C D,所以4BQS 4 C D,所以 8 =Z D/C .30 分延长线段力0 与圆交于另一点广，贝 I N C 4 8 =N D4 尸
15、，故B C =。尸.又因为。为8。的中点，所以NCQB=NDQF.又 4 Q B =NDQF,所以乙I08=N C 08.4 0分二、(本题满分4 0分)证明：对任意整数，吐4,存在一个”次多项式/(x)=x+%xT+%x+a()具有如下性质：(1)均为正整数；(2)对任意正整数机，及任意k(A2)个互不相同的正整数不公，”)均有证 明 令/(x)=(x +l)(x +2)(x +)+2 ,.10分将的右边展开即知/(x)是一个首项系数为1的正整数系数的八次多项式.下面证明/(X)满足性质(2).对任意整数f,由于 24,故连续的个整数r +l,r +2,f +中必有一个为4的倍数,从而由知/
16、三2(m o d 4).2 0分因此，对任意k伏2 2)个正整数小，有/g)/()/()三 2 三 0(m o d 4).但对任意正整数加，有/(/)三2(m o d 4),故f(m)f(r)/(r2)f(rk)(m o d 4),从而 f(m)丰/(?,)/(r2)f(rk).所以/(x)符合题设要求.4 0分三、(本题满分5 0分)设“2,5*4)是给定的正实数，a2 .对任意正实数 r,满 足 义 士 =r(1 4 i/%4 )的三元数组(/,j,k)的个数记为/(r).%一%2证明：/*)?证 明对给定的_/，满足1 4 i/”，且上”ak-aj的 三 元 数 组 幻 的 个 数 记
17、为 gy(r).10分注意到，若i,/固定，则显然至多有一个女使得成立.因i J,即，有J-1 种选法，故 gj(r),即%有种选法，故gj(r)n-j.从而gy(r)m inj-l,n-7.30 分因此，当”为偶数时，设=2,，则有n-m 1 2 m-1，=Z gj =Z gj(r)+Z gj(r)j-2 j-2/-m+1 2 2=m2-m m2=.40 分4当为奇数时，设，=2加+1,则有-1 m 2 m/=Z gj&)=Z g/(r)+Z g/(打m 2 m江 C/-l)+Z(2?+l-/)j=2 j=m+l50分4四、(本题满分5 0分)设A是一个3x 9的方格表，在每一个小方格内各填
18、一个正整数.称A中的一个?X (14机4 3,14 4 9)方格表 为 好矩形，若它的所有数的和为1 0的 倍 数.称A中的一个1x 1的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”.求A中“坏格”个数的最大值.解首先证明A中“坏格”不多于2 5个.用反证法.假设结论不成立，则方格表4中至多有1个小方格不是“坏格”.由表格的对称性，不妨假设此时第1行 都 是“坏格”.设 方 格 表/第i列 从 上 到 下 填 的 数 依 次 为i=1,2,9.记k kS*=Za”7；=Z(，+q),%=0,I,2,-一,9，这里5 0=7 0=0 .1 0 分i-1/=1我们证明:三组数S,S”,Sg；几
19、式,7 9及So+T o,Si+几,S9+T 9都 是 模10的完全剩余系.事实上，假如存在?,，,使S,三S.(mo d 1 0),则Z a,.=Sn-Sm=0(mo d 1 0)，即 第1行的第7 +1至第列组成一个“好矩形”，与 第1行 都 是“坏格”矛 盾.2 0分又 假 如 存 在0 4 m 4 9,使7m 三 (mo d 1 0),则Z(4+6)=Tn-Tm=0(mo d 1 0)，即第2行至第3行、第m +1列至第列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾.类似地，也不存在,使 S“,+7mm s,+T”(mo d lO).3 0 分因此上述断言得证.故9 9 9Z s-z 乙三Z +乙)三 0 +1 +2 +9 三 5(mo d 1 0),A=0 k=O k=O999所以 Z(S*+/)三 Zs*+Z三 5 +5 三 O(mo d lO),=0 氏=0 i=O矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于2 5 个.4 0 分另一方面，构造如下一个3 x9的方格表，可验证每个不填1 0 的小方格都是“坏格”，此时有2 5 个“坏格”.111211111 01111111111111 011112综上所述，“坏格”个数的最大值是2 5.5 0 分