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1、二一年全国高中数学联合竞赛试题 题号 一 二 三 合计 加试 总 成绩 13 14 15 得分 评 卷人 复 核人 考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分 2、用圆珠笔或钢笔作答 3、解题书写不要超出装订线 4、不能使用计算器 一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的请将正确答案的代表字母填在题后的括号内每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分 1已知 a 为给定的实数，那么集合 M=x|x2-3x-a2+2=0，xR的子集的个数为（A）
2、1 （B）2 （C）4 （D）不确定【答】（）2 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点;命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 【答】（）3 在四个函数 y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是 （A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|【答】（）4如果满足ABC=60，AC=12，BC=k 的ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是（A）k=
3、（B）0k12 （C）k12 （D）0k12或 k=【答】（）5若的展开式为，则的值为（A）（B）（C）（D）【答】（）6已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同 （D）不确定【答】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上 7椭圆的短轴长等于 8若复数 z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1-2z2=，则 z1z2=9 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线 A1C1与 BD1的
4、距离是 10.不等式的解集为 11函数的值域为 12在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13 设an为等差数列，bn为等比数列，且 b1=a12，b2=a22，b3=a32（a1a2），又试求an的首项与公差 14设曲线 C1：（a 为正常数）与 C2：y2=2（x+m）在 x 轴上方仅有一个公共点 P 求实数 m 的取值范围（用 a 表示）；O 为原点，若 C1与 x 轴的负半轴交于点 A，当0aa2a3a4a5a6)的电阻组装成一个如图的组件，在
5、组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论 二一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月14日上午10：00 12：00）题号 一 二 三 合计 一试 总成绩 得分 评卷人 复核人 考生注意：(1)本试卷共三大题，全卷满分150分(2)卷面的第1页、第3页、第5页印有试题，第2页、第4页、第6页 是空白页，留作答题用(3)用圆珠笔或钢笔作答(4)解题书写不要超出装订线 一（本题满分50分）如图，ABC 中，O 为外心，三条高 AD、BE、CF 交于点 H，直线 ED 和 AB 交于点M，FD 和 AC 交于点 N 求证：(1)OBDF，OCDE；(2)OHMN 二（本题满分50
6、分）设（i=1，2，n）且，求的最大值与最小值 三（本题满分50分）将边长为正整数 m，n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形每个正方形的边均平行于矩形的相应边试求这些正方形边长之和的最小值 2001年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 一 选择题：1C 2B 3D 4D 5C 6A 二填空题：7 8 9 10 11 12 732 三解答题：13设所求公差为 d，a1a2，d0由此得 化简得：解得：5分 而，故 a10 若，则 若，则 10分 但存在，故|q|1，于是不可能 从而 所以 20分 14解：(1)由 消去 y 得：设，问题(1)化为方程在 x(a，a)上有唯一解或等根
7、 只需讨论以下三种情况：10得：，此时 xpa2，当且仅当aa2a，即0a1时适合；2f(a)f(a)0，当且仅当ama；3f(a)0得 ma，此时 xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即0a1时适合 f(a)0得 ma，此时 xpa2a2，由于a2a2a，从而 ma 综上可知，当0a1时，或ama；当 a1时，ama 10分(2)OAP 的面积 0a，故ama 时，0a，由唯一性得 显然当 ma 时，xp 取值最小 由于 xp0，从而 yp取值最大，此时，当时，xpa2，yp，此时 下面比较与的大小：令，得 故当0a时，此时 当时，此时 20分 15解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为
8、RFG，当 R ia i，i3，4，5，6，R1、R2是 a1、a2的任意排列时，RFG 最小 5分 证明如下：1设当两个电阻 R1、R2并联时，所得组件阻值为 R，则故交换二电阻的位置，不改变 R 值，且当 R1或 R2变小时，R 也减小，因此不妨取 R1R2 2设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为 RAB 显然 R1R2越大，RAB 越小，所以为使 RAB 最小必须取 R3为所取三个电阻中阻值最小的个 3设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为 RCD 若记 ，则 S1、S2为定值，于是 只有当 R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD 最小，故应取 R4R3，R3R2，R3Rl，即得总电阻的
9、阻值最小 15分 4对于图3把由 R1、R2、R3组成的组件用等效电阻 RAB 代替 要使 RFG 最小，由3必需使 R6R5；且由1应使 RCE 最小由2知要使 RCE 最小，必需使 R5R4，且应使 RCD 最小 而由3，要使 RCD 最小，应使 R4R3R2且 R4R3R1，这就说明，要证结论成立20分 2001年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准 一证明：(1)A、C、D、F 四点共圆 BDFBAC 又OBC(180BOC)90BAC OBDF(2)CFMA MC 2MH 2AC 2AH 2 BENA NB 2NH 2AB 2AH 2 DABC BD 2CD 2BA 2AC
10、2 OBDF BN 2BD 2ON 2OD 2 OCDE CM 2CD 2OM 2OD 2 30分 ，得 NH 2MH 2ON 2OM 2 MO 2MH 2NO 2NH 2 OHMN 50分 另证：以 BC 所在直线为 x 轴，D 为原点建立直角坐标系，设 A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则 直线 AC 的方程为，直线 BE 的方程为 由 得 E 点坐标为 E()同理可得 F()直线 AC 的垂直平分线方程为 直线 BC 的垂直平分线方程为 由 得 O()OBDF 同理可证 OCDE 在直线 BE 的方程中令 x0得 H(0，)直线 DF 的方程为 由 得 N()同理可得 M()kO
11、H kMN 1，OHMN 二解：先求最小值，因为1 等号成立当且仅当存在 i 使得 xi1，xj0，ji 最小值为1 10分 再求最大值，令 设，令 则?30分 令0，则 由柯西不等式得：等号成立?(k=1，2，n)由于 a1a2an，从而，即 xk0 所求最大值为 50分 三解：记所求最小值为 f(m，n)，可义证明 f(m，n)rnn(m，n)(*)其中(m，n)表示 m 和 n 的最大公约数 10分 事实上，不妨没 mn (1)关于 m 归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rnn(m，n)当用 m1时，命题显然成立 假设当，mk 时，结论成立(k1)当 mk1时
12、，若 nk1，则命题显然成立 若 nk1，从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形 A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为 mnn(mn，n)m(m，n)，于是原矩形ABCD 有一种分法使得所得正方形边长之和为 rnn(m，n)20分 (2)关于 m 归纳可以证明(*)成立 当 m1时，由于 n1，显然 f(m，n)rnn(m，n)假设当 mk 时，对任意1nm 有 f(m，n)rnn(m，n)若 mk1，当 nk1时显然 f(m，n)k1rnn(m，n)当1nk 时，设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形，其边长分别为 al，a2，ap 不妨 a1a2ap 显然 a1n 或 a1n 若 a1n，则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)于是 a1a2ap 不小于 AB 与 CD 之和 所以 a1a2ap2mrnn(m，n)若 a1n，则一个边长分别为 mn 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，ap 的正方形，由归纳假设 a2apmnn(mn，n)rn(m，n)从而 a1a2aprnn(m，n)于是当 rnk1时，f(m，n)rnn(m，n)再由(1)可知 f(m，n)rnn(m，n)50分