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1、20142014 年普通高等学校招生全国统一考试山东年普通高等学校招生全国统一考试山东 文科数学卷卷第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知a,bR,i是虚数单位.若ai2bi，则(abi)2(A)34i(B)3 4i(C)43i(D)43i(2)设集合Ax|x22x 0,B x|1 x 4，则A(A)(0,2(B)(1,2)(C)1,2)B(D)(1,4)(3)函数f(x)1的定义域为log2x1(B)(0,2(C)(2,)3(A)(0,2)(D)2,)(4)用反证法证明命题：“设a,b为实
2、数，则方程x ax b 0至少有一个实根”时，要做的假设是(A)方程x ax b 0没有实根33(B)方程x ax b 0至多有一个实根33(C)方程x ax b 0至多有两个实根(D)方程x ax b 0恰好有两个实根(5)已知实数x,y满足ax ay(0 a 1)，则下列关系式恒成立的是(A)x3 y3(B)sin x sin y(D)(C)ln(x21)ln(y21)1122x 1y 1(6)已知函数y loga(xc)(a,c为常数，其中a 0,a 1)的图象如右图，则下列结论成立的是(A)a 0,c 1(B)a 1,0 c 1y y(C)0 a 1,c 1(D)0 a 1,0 c 1
3、1 10 0 x x(7)已知向量a (1,3),b (3,m).若向量a,b的夹角为(A)2 3(B)，则实数m63(C)0(D)3(8)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为()频率/组距0.360.240.160.0812(9)对于函数f(x)，若存在常数a 0，使得x取定义域内
4、的每一个值，都有1314151617舒张压/kPa(A)6(B)8(C)12(D)18f(x)f(2a x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是()(A)f(x)x(B)f(x)x3(D)f(x)cos(x1)(C)f(x)tan x(10)已知x,y满足约束条件x y1 0,当目标函数z ax by(a 0,b 0)在该约2x y3 0,22束条件下取到最小值2 5时，a b的最小值为()(A)5(B)4(C)5(D)2第 II卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.(11)执行右面的程序框图，若输入的x的值为 1，则输出的n的值为.(
5、12)函数y 开始输入 xn 03sin2xcos2x的最小正周期为.2(13)一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。(14)圆心在直线x2y 0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2 3，则圆C的标准方程为。3x 4x30是x x1n n1否输入 x结束x2y2(15)已知双曲线221(a 0,b 0)的焦距为2c，右顶点为 A，抛ab物线x2 2py(p 0)的焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为。三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.(16)（本小题满分 12
6、 分）海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.地区数量A50B150C100（）求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量；（II）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这2 件商品来自相同地区的概率.(17)（本小题满分 12 分）ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a,b,c.已知a 3,cos A（）求b的值；（II）求ABC的面积.(18)（本小题满分 12 分）6,B A.32如图，四棱锥P ABCD中，A
7、P 平面PCD,AD/BC,AB BC 为线段AD,PC的中点。（）求证：AP/平面BEF（）求证：BE 平面PAC1AD,E,F分别2P PD DC CA AB BE E(19)（本小题满分 12 分）在等差数列an中，已知公差a1 2，a2是a1与a4的等比中项.（）求数列an的通项公式；（II）设bn an(n1)，记Tn b1b2b3b4(1)nbn，求Tn.2(20)（本小题满分 13 分）设函数f(x)f(x)=alnxalnx+x x 1 1，其中a a为常数.x x+1 1（）若a a 0 0，求曲线y y f f(x x)在点(1,(1,f f(1)(1)处的切线方程；（II
8、）讨论函数f f(x x)的单调性.(21)（本小题满分 14 分）x x2 2y y2 23 3在平面直角坐标系xOyxOy中，椭圆C C:2 2 2 2 1(1(a a b b 0)0)的离心率为，直线y y x x被a ab b2 2椭圆C C截得的线段长为4 4 1010.5 5（）求椭圆C的方程；（II）过原点的直线与椭圆C C交于A A，B B两点（A A，B B不是椭圆C C的顶点）.点D D在椭圆C C上，且ADAD ABAB，直线BDBD与x x轴、y y轴分别交于MM，N N两点.（i）设直线BDBD，AMAM的斜率分别为k k1 1,k k2 2，证明存在常数 使得k k
9、1 1 k k2 2，并求出 的值；（ii）求 OMNOMN面积的最大值.参考答案一、选择题15、ACDAA610、DBCDB二、填空题11、312、13、1214、(x2)2(y1)2 415、y x2（1）已知a,bR,i是虚数单位，若ai 2bi，则（a bi）（A）34i（B）3 4i（C）43i（D）43i2【解析】由ai 2bi得，a 2，b 1，（a bi）(2i)2 44ii234i故答案选 A（2）设集合A x x22x 0,B x1 x 4,则A B（A）(0,2（B）(1,2)（C）1,2)（D）(1,4)【解析】A(0，2)，B 1,4，数轴上表示出来得到A B 1,2
10、)故答案为 C（3）函数f(x)1的定义域为log2x1（B）(0,2（C）(2,)（D）2，)（A）(0，2)【解析】log2x1 0故x 2。选 D2（4）用反证法证明命题“设a,bR,则方程x ax b 0至少有一个实根”时要做的假设是22（A）方程x ax b 0没有实根（B）方程x ax b 0至多有一个实根22（C）方程x ax b 0至多有两个实根（D）方程x ax b 0恰好有两个实根【解析】答案选 A，解析略。（5）已知实数x,y满足a a(0 a 1)，则下列关系式恒成龙的是（A）x y233xy2（B）sin x sin y（D）（C）ln(x 1)ln(y 1)1122
11、x 1y 12【解析】由a a(0 a 1)得，x y，但是不可以确定x与y的大小关系，故 C、Dxy2排除，而y sin x本身是一个周期函数，故 B也不对，x3 y3正确。选 A，（6）已知函数y loga(xc)(a,c为常数。其中a 0,a 1)的图像如右图，则下列结论成立的是（A）a 1,c 1（B）a 1,0 c 1（D）0 a 1,0 c 10 0y y（C）0 a 1,c 1【解析】1 1x x由图象单调递减的性质可得0 a 1，向左平移小于 1 个单位，故0 c 1答案选 D（7）已知向量a (1,3),b (3,m)已知向量a (1,3),b (3,m).若向量a,b的夹角
12、为，则实数m6(A)2 3(B)3(C)0(D)3【解析】：r rab 33mr rr rr r3ab a b cos a,b 2 9m22 33m 3 9m2m 3答案：B（8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12,13）,13,14）,14,15）,15,16.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（A）6（B）8（C）12（D）18频率/组距【解析】：第一组与第二组频率之和为
13、0.24+0.16=0.40.36200.4 500.240.16500.36 18186 12答案：C0.08121314151617舒张压/kPa（9）对于函数f(x)，若存在常数a 0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2a-x)，则称f(x)为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是（A）f(x)x（B）f(x)x2（C）f(x)tan x（D）f(x)cos(x1)【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。答案：D（10）已知x,y满足的约束条件1 0,x-y-当目标函数z ax by(a 0,b 0)在该约束2x-y-3 0,条件下取得最小值2 5时，a2b2的最小值
14、为（A）5（B）4（C）5（D）2x y1 0【解析】：求得交点为2,1，则2ab 2 5，即圆心0,0到直线2x y3 02 52的距离的平方 2 4。2ab 2 5 05答案：B11执行右面的程序框图，若输入的x的值为 1，则输出的n的值为。2【解析】：根据判断条件x 4x3 0，得1 x 3，2输入x 1第一次判断后循环，x x1 2,n n11第二次判断后循环，x x1 3,n n1 2第三次判断后循环，x x1 4,n n1 3第四次判断不满足条件，退出循环，输出n 3答案：3开输 入n0 x34x30是x x1nn1否输 入结12函数y 3sin2xcos2x的最小正周期为。2【解
15、析】：y T 33111sin2xcos2x sin2xcos2xsin2x2222622.2答案：T 13一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。【解析】：设六棱锥的高为h，斜高为h，则由体积V 1 122sin60 6h 2 3得：h 1，h3232h2 21侧面积为2h6 12.2答案：1214圆心在直线x2y 0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长2 3，则圆C的标准方程为。a【解析】设圆心a,a 0，半径为a.由勾股定理2 2 a 3 a2得：a 22222圆心为2,1，半径为 2，圆C的标准方程为x 2y 1 4答
16、案：x 2y 1 422x2y215已 知 双 曲 线221a 0,b 0的 焦 距 为2c，右 顶 点 为A，抛 物 线abx2 2pyp 0的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FA c，则双曲线的渐近线方程为。【解析】由题意知Pc2a2 b，2抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为c,P，2bc2c2c2b21 1即c,b代入双曲线方程为221，得2 2，aabaa2渐近线方程为y x，.答案：y x16、（）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：A:B:C 50:150:100 1:3:2地区数量所以各地区抽取商品数为：A:6A50B150C10013
17、21，B:6 3，C:6 2；666（）设各地区商品分别为：A,B1,B2,B3,C1,C2基本时间空间为：A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3B1,C1,B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2，共 15 个.样本时间空间为：B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2所以这两件商品来自同一地区的概率为：PA17、（）由题意知：sin A 1cos2A 4.153，3sinB sinA6，sin AcoscosAsin cosA2223abasin B b 3 2sin Asin Bsin A由正弦定理得：（）由
18、余弦定理得：b2c2a26cos A c24 3c9 0 c13,c2 3 3,2bc3又因为B A2为钝角，所以b c，即c 3，所以SABC13 2acsin B.2218、（）连接 AC 交 BE 于点 O，连接 OF，不妨设 AB=BC=1,则 AD=2 AB BC,AD/BC,四边形 ABCE 为菱形P PD DC CO,F分别为AC,PC中点，OF/APAP/平面BEF又OF 平面BEF，（）AP 平面PCD，CD 平面PCD,AP CDA AB BE EBC/ED,BC ED,BCDE为平行四边形，BE/CD,BE PA又 ABCE为菱形，BE AC又PA AC A,PA、AC
19、平面PAC,BE 平面PAC19、（）由题意知：an为等差数列，设an a1n1d，a2为a1与a4的等比中项22a2 a1a4且a1 0，即a1d a1a13d，d 2解得：a1 2an 2(n1)2 2n（）由（）知：an 2n，bn an(n1)n(n1)2当 n 为偶数时：Tn 122334nn1 213435nn1n1 224262n2 2246n2nnn22n2 222当 n 为奇数时：Tn 122334nn1 213435n1n2nnn1 224262n12nn1 2246n1nn12n1n1n22n12 2nn1 22n22n1，n为奇数2T 2综上：nn 2n,n为偶数220
20、、(1)当a 0时f(x)x12,f(x)x1(x1)2f(1)21(11)22又 y f(1)0直线过点(1,0)11x22(2)(2)f(x)a2(x 0)2x(x1)2恒大于0.f(x)在定义域上单调递增.2(x1)当a 0时，f(x)a2a(x1)22x当a 0时，f(x)=0.f(x)在定义域上单调递增.x(x1)2x(x1)21当a 0时，(2a2)24a2 8a 4 0,即a .2开口向下，f(x)在定义域上单调递减。当1(2a2)8a4a12a1 a 0时，0.x1,222aa2a 21 1 0.且x1x21 02aa对称轴方程为x f(x)在(0,a12a1a12a1 a12a1)单调递减，(,)单调递增，aaaa1+2a1(，+)单调递减。a11a12a1时，f(x)在定义域上单调递减；a 0 时，f(x)在(0,)单调递减，22a综上所述，a 0 时，f(x)在定义域上单调递增；a 0时，f(x)在定义域上单调递增a (a12a1 a12a1a1+2a1,)单调递增，(，+)单调递减。aaa3c3c23 a2b232221、(1)e 即2=,a 4b22a2a4a4设直线与椭圆交于p,q两点。不妨设p点为直线和椭圆在第一象限的交点。又弦长为4 102 5 2 5，p(,)5554452521ab联立解得a2 4,b21x2椭圆方程为 y21.4