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1、观观察下列不等式：察下列不等式：(1)x20；(2)x22x0；(3)x25x60.问题问题1：上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次：上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少？数是多少？提示：提示：各有一个未知数各有一个未知数x，并且未知数的最高次数是，并且未知数的最高次数是2.问题问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？提示：提示：形如形如ax2bxc0(或或0)，其中，其中a，b，c为为常数，常数，且且a0.1.定定义义只含有只含有 未知数，并且未知数的未知数，并且未知数的 的的不等式，称不等式，称为为一元二次不等式一元
2、二次不等式 2.一般表达式一般表达式 一元二次不等式的一般表达形式是一元二次不等式的一般表达形式是ax2bxc0(或或ax2bxc0或或ax2bxc0或或ax2bxc0)(a0)，其中，其中a、b、c为为常数常数 一个一个最高次数是最高次数是2 3.解与解集解与解集使一元二次不等式成立的使一元二次不等式成立的 叫做一元二次不等叫做一元二次不等式的式的 ，所有的解所，所有的解所组组成的成的 叫做一叫做一元二次不等式元二次不等式的的 .x的的值值解解集合集合解集解集 已知一元二次不等式已知一元二次不等式x22x0，一元二次函数，一元二次函数yx22x，一元二次方程，一元二次方程x22x0.问题问题
3、1：二次函数与：二次函数与x轴轴交点坐交点坐标标是多少？是多少？提示：提示：(0,0)、(2,0)问题问题2：一元二次方程根是什么？：一元二次方程根是什么？提示：提示：x10，x22.问题问题3：问题问题1中的坐中的坐标标与与问题问题2中的根有何内在中的根有何内在联联系？系？提示：提示：交点的横坐交点的横坐标为标为方程的根方程的根问题问题4：x满满足是什么条件，函数足是什么条件，函数图图象在象在x轴轴上方？上方？提示：提示：x2或或x0.问题问题5：能否利用：能否利用问题问题4得出不等式得出不等式x22x0的解集？的解集？提示：提示：能不等式的解集能不等式的解集为为x|x2或或x0问题问题6：
4、不等式：不等式x22x0的解集呢？的解集呢？提示：提示：x|0 x2 解一元二次不等式可以根据函数的零点与相解一元二次不等式可以根据函数的零点与相应应一元一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数数图图象与象与x轴轴的相关位置确定一元二次不等式的解集如的相关位置确定一元二次不等式的解集如下表：下表：判判别别式式b24ac000)的根的根有两相异有两相异实实根根x1，x2(x10)的的图图象象判判别别式式b24ac000(a0)的解集的解集 ax2bxc0)的解集的解集 x|xx2x|xx1x|x1x0；(2)x27x6.(3)(2
5、x)(x3)x(4x)思路点思路点拨拨首先将不等式等价首先将不等式等价转转化化为为不等式的右不等式的右边边是是0，左，左边为边为ax2bxc(a0)的形式，再求出的形式，再求出对应对应方程的方程的根，然后根，然后结结合二次函数的合二次函数的图图象写出解集象写出解集精解精解详详析析(1)方程方程x25x60的两根的两根为为x11，x26.结结合二次函数合二次函数yx25x6的的图图象知，原不等式的解集象知，原不等式的解集为为x|x6(2)原不等式可化原不等式可化为为x27x60.解方程解方程x27x60得，得，x11，x26.结结合二次函数合二次函数yx27x6的的图图象知，原不等式的解集象知，
6、原不等式的解集为为x|1x0.方程方程(x2)(x3)0两根两根为为2和和3.结结合二次函数合二次函数y(x2)(x3)的的图图象知，原不等式的象知，原不等式的解集解集为为x|x2 一点通一点通(1)解一元二次不等式一般按照解一元二次不等式一般按照“三步曲三步曲”进进行：行：第一步，化二次第一步，化二次项项的系数的系数为为正数；第二步是求解相正数；第二步是求解相应应的一的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况元二次方程的根；第三步，根据根的情况结结合合图图象写出一元二象写出一元二次不等式的解集次不等式的解集 (2)当把二次当把二次项项的系数化的系数化为为正数，并求得相正数，并求得相应应方程的根
7、后，方程的根后，也可以直接按下列技巧写解集，即也可以直接按下列技巧写解集，即“大于大于0取两取两边边，小于，小于0取中取中间间”，意指，意指“取根的两取根的两边边”、“夹夹根的中根的中间间”如如(x1)(x2)0 x2；(x1)(x2)01xx2的解集是的解集是 ()Ax|x1 Bx|x0Cx|0 xx2x(x1)00 x1.答案：答案：C2不等式不等式x26x105 Dx|x2解析：解析：364040的解集是的解集是x|x3，则则b_，c_.答案：答案：565若关于若关于x的不等式的不等式ax26xa20的解集的解集为为x|1x0.思路点思路点拨拨先将不等式的左先将不等式的左边边分解因式，就
8、此得方分解因式，就此得方程程x2(aa2)xa30的两根，然后就的两根，然后就a的取的取值值范范围围比比较较两两根的大小，从而写出不等式的解集根的大小，从而写出不等式的解集精解精解详详析析原不等式可化原不等式可化为为(xa)(xa2)0.则则方程方程x2(aa2)xa30的两根的两根为为x1a，x2a2(2分分)由由a2aa(a1)可知，可知，(1)当当a1时时，a2a.原不等式的解原不等式的解为为xa2或或xa；(5分分)(2)当当0a1时时，a2a或或x0，x0；(9分分)(4)当当a1时时，原不等式，原不等式为为(x1)20，x1.(10分分)综综上可知：上可知：当当a1时时，原不等式的
9、解集，原不等式的解集为为x|xa2；当当0a1时时，原不等式的解集，原不等式的解集为为x|xa；当当a0时时，原不等式的解集，原不等式的解集为为x|x0；当当a1时时，原不等式的解集，原不等式的解集为为x|x1.(12分分)一点通一点通含参数的不等式的解含参数的不等式的解题题步步骤为骤为 (1)将二次将二次项项系数系数转转化化为为正数；正数；(2)判断相判断相应应方程是否有根方程是否有根(如果可以直接分解因式，可如果可以直接分解因式，可省去此步省去此步)；(3)根据根的情况写出相根据根的情况写出相应应的解集的解集(若方程有相异根，若方程有相异根，为为了写出解集了写出解集还还要分析根的大小要分析
10、根的大小)另外，当二次另外，当二次项项含有参数含有参数时时，应应先先讨论讨论二次二次项项系数是系数是否否为为0，这这决定不等式是否决定不等式是否为为二次不等式二次不等式7当当a1时时，关于，关于x的不等式的不等式x2(a1)xa0的解集的解集是是_解析：解析：原不等式可化原不等式可化为为(xa)(x1)0方程方程(xa)(x1)0.的两根的两根为为a,1.a1.a1的不等式的解集的不等式的解集为为x|x1答案：答案：x|x18解关于解关于x的不等式的不等式x2ax2a20(aR).解：解：原不等式原不等式转转化化为为(x2a)(xa)0.对应对应的一元二次方程的根的一元二次方程的根为为x12a
11、，x2a.(1)当当a0时时，x1x2，不等式的解集不等式的解集为为x|ax2a；(2)当当a0时时，原不等式化，原不等式化为为x20，无解；，无解；(3)当当a0时时，x1x2，不等式的解集不等式的解集为为x|2axa综综上所述，原不等式的解集上所述，原不等式的解集为为a0时时，x|ax2a；a0时时，x；a0时时，x|2axa 1.解一元二次不等式的一般步解一元二次不等式的一般步骤骤是：是：化化为标为标准形准形式；式；确定判确定判别别式式b24ac的符号；的符号；若若0，则则求求出出该该不等式不等式对应对应的二次方程的根；若的二次方程的根；若0，则对应则对应的二的二次方程无根；次方程无根；
12、联联系二次函数的系二次函数的图图象得出不等式的解集象得出不等式的解集特特别别地，若一元二次不等式的左地，若一元二次不等式的左边边的二次三的二次三项项式能分式能分解因式，解因式，则则可立即写出不等式的解集可立即写出不等式的解集(在两根之内或两在两根之内或两根之外根之外)2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论类讨论思想的运用思想的运用 3.解一元二次不等式，解一元二次不等式，应应首先首先尝试尝试因式分解法若因式分解法若能能够进够进行因式分解，那么在解含参数的不等式行因式分解，那么在解含参数的不等式时时，就可，就可以避免了以避免了0的的讨论讨论点击下图进入