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1、基本本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享不等式讲课人：邢启强2 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。风车，代表中国人民热情好客。新课引入新课引入讲课人：邢启强3思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？探究探究1 1新课引入新
2、课引入正方形和直角三角形讲课人：邢启强4ab1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S=、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？探究：探究：SS问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？新课引入新课引入讲课人：邢启强5ADBCEFGHba重要不等式：重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab学习新知学习新知讲课人：邢启强6思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？证明：（作差法）证明：（作差法）学
3、习新知学习新知讲课人：邢启强7结论：一般地，对于任意实数结论：一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立文字叙述为文字叙述为:两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍.适用范围：适用范围：a,b R学习新知学习新知讲课人：邢启强8替换后得到：替换后得到：即：即：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？学习新知学习新知讲课人：邢启强9证明：要证证明：要证 只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中
4、的等号成立.分分析析法法证明不等式：证明不等式：学习新知学习新知讲课人：邢启强10特别地，若特别地，若a0，b0，则，则通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围：a0,b0学习新知学习新知讲课人：邢启强11a=ba=b两个
5、正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,b Ra0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式学习新知学习新知讲课人：邢启强12均值不等式的运用均值不等式的运用例已知例已知x0，求，求 的最小值和此时的最小值和此时x的取值的取值典型例题典型例题变式1：把 改为 成立吗？变式2：把 改为 成立吗？不成立不成立讲课人：邢启强13均值不等式的运用均值不等式的运用典型例题典型例题例例2.已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P
6、 x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).14讲课人：邢启强14各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).14归纳总结归纳总结讲课
7、人：邢启强15 1.已知已知x0,y0,xy=24,求求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值当当x=6,y=4时时,最小值为最小值为482.已知已知x0.=(x+1)+-11x+1 x+1x+1=1,2 (x+1)-11x+1 当且仅当当且仅当 取取“=”号号.当当 x=0 时时,取最小值是取最小值是 1.x+1=,即即 x=0 时时,1x+1 讲课人：邢启强16提高练习提高练习2 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值3.已知已知x,y为正数为正数,且且2x+8yxy，则，则x+y 的最小值是的最小值是_.181.若若 0 x ,求求 x(1-
8、2x)的最大值的最大值.12解解:0 x0.12 x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当当且仅当 时时,取取“=”号号.2x=(1-2x),即即 x=14当当 x=时时,函数函数 x(1-2x)的最大值是的最大值是 .1418讲课人：邢启强17求最值时注意把握求最值时注意把握“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x,y 都是正数都是正数,P,S 是常数是常数.(1)xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).(2)x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时,取取“=”号号).143.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1.重要不等式重要不等式课堂小结课堂小结2.基本不等式基本不等式