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1、第五章微分法:积分法:互逆运算不定积分 二、二、不定积分不定积分三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义一、一、原函数原函数第一节不定积分的概念 第五五章 一、一、原函数原函数 引例引例:一个质量为 m 的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义定义 1.若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F(x)及及 f(x)满足满足在区间在区间 I 上的一个上的一个原函数原函数.则称则称 F(x)为为f(x)如引例中如引例中,的原函数的原函数已知已知求求所以所以,为为的原函数有的原函数有:类似例子参见类似例子参见P204:例例2
2、,3,4.又如又如问题问题:1.在什么条件下在什么条件下,一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在?2.若原函数存在若原函数存在,则则原函数不是唯一的原函数不是唯一的.那么那么,它们之间有什么联系呢它们之间有什么联系呢?定理定理1.存在原函数存在原函数.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数定理定理 2.证证:1)1).对于任意常数对于任意常数C,则则则则又知故即定义定义 2.在区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为上的不定积分上的不定积分,其中其中 积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被
3、积表达式.积分变量积分变量;(P205)若若则则(C 为任意常数为任意常数)C 称称为为积分常数积分常数不可丢不可丢!例如例如,记作记作二、不定积分二、不定积分 例例1 求求解解解解例例2 求求三、不定积分的几何意义三、不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线积分曲线.例例3.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为从不定积分定义可知:或或结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.第二节基本积分公式表 第五五
4、章 基本积分表基本积分表(P208)(k 为常数)或或例例1.求求解解:原式 =例例2.求解解:原式=恒等变形恒等变形第三节不定积分的性质 第五五章 不定积分的性质不定积分的性质2.证证:等式成立等式成立.推论推论:若若则则例例1.求解解:原式=分项积分法分项积分法例例2.求求解解:原式=例例3.求解解:原式=分项积分法分项积分法例例4.求求解解:原式=分项积分法分项积分法类似例子参见类似例子参见P209:例例1,3,4.例例5.解解:总成本总成本 y 是是某化工厂生产某种产品，每日生产的产品某化工厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本的总成本 y 的变化率（即边际成本）是日产量的变化率（即边
5、际成本）是日产量 x 的的函数：函数：已知固定成本为已知固定成本为1000元，求元，求总成本与日产量的函数关系。总成本与日产量的函数关系。的原函数，所以的原函数，所以故总成本与日产量的函数关系为：故总成本与日产量的函数关系为：二、第二类换元法二、第二类换元法第四节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法 第五五章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 设可导,则有一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式(也称配元法配元法即,凑微分法凑微分法)例例1.求解解:令则原式原式=注注:当时例例2.求解解:令则想到公式例例3.求想到解解:(直接凑微分)例例4
6、.求解解:类似直接凑微分例例5.求解解:原式原式=直接凑微分常用的几种凑微分形式常用的几种凑微分形式:万万能能凑凑幂幂法法例子参见例子参见P211:例例2,3.例例6.求解解:原式=例例7.求解解:原式=例例8.求解解:原式=例例9.求解法解法1解法解法2 两法结果一样例例10.求解法解法1 解法解法 2 同样可证或(P212 例6)例例11.求解解:降低幂次后直接凑微分例例12.求解解:原式=积化和差后直接凑微分思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?二次三项式二次三项式化去一次项化去一次项2.求提示提示:法法1法法2法法3二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求
7、易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,则有换元公式例例13.求求解解:为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式,取根指数取根指数 2,3 的的最小公倍数最小公倍数 6,则有则有原式原式令令例例14.求求解解:令令则则原式原式例例15.求解解:令则 原式例例16.求解解:令则 原式例例17.求解解:令则 原式令于是原式例例18.求解解:令则原式当 x 0 时,类似可得同样结果.倒变换倒变换小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令令2.常用基本积分公式的补充(P211)(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代
8、换倒代换 令解解:原式例例19.求二次三项式二次三项式化去一次项化去一次项第五节由导数公式得:分部积分公式分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.分部积分法 第五章 例例1.求解解:令则 原式思考思考:如何求提示提示:令则原式例例2 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）思考思考 求积分求积分总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函弦函数或幂函数和指数函数的乘积数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂就考虑设幂函数为函数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整假定幂指数是正整数数)例例3.求解解:令则 原式例例4.求解解:令则原式=总结总
9、结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .思考思考 求例例5.求求解解:令令,则则 原式原式再令再令,则则故故 原式原式=说明说明:也可设也可设为三角函数为三角函数,但两次所设类型但两次所设类型必须一致必须一致.思考思考.求求解解:令令则则解题技巧解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三反对幂指三”的顺序,前者为 后者为例例6.求解解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例例8.求解解:令则原式令例例9.求解解:令则得递推公式说明说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,说明说明:分部积分题目的类型分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分直接分部化简积分;2)分部产生循环式分部产生循环式,由此解出积分式由此解出积分式;(注意注意:两次分部选择的两次分部选择的 u,v 函数类型不变函数类型不变,解出积分后加解出积分后加 C)3)对含自然数对含自然数 n 的积分的积分,通过分部积分建立递通过分部积分建立递 推公式推公式.