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1、 1 第 2 章有理数考点归纳 知识梳理 重难点分类解析 考点 1 相反意义的量【考点解读】中考中对于相反意义的量的考查主要涉及用正负数表示相反意义的量，解此类题的关键是要深刻理解正数、负数的意义.例 1 一个物体做左右方向的运动，规定向右运动4m 记作+4m，那么向左运动4m 记作()A.4m B.4m C.8m D.8m 分析:若向右运动 4 m 记作+4 m，则向左运动 4 m 记作4 m.答案:A【规律技法】解题时要抓住以下几点:记住区分相反意义的量;记住相反意义的量的表示方法.【反馈练习】1.某财务科为保密起见采取新的记账方式，以 5 万元为 1 个记数单位，并记 100 万元为 0
2、，少于 100 万元记为负，多于 100 万元记为正.例如:95 万元记为1,105 万元记为 1.依此类 推，75 万元应记为()1 A.3 B.4 C.5 D.6 点拨:每多 5 万元记为+1，每少 5 万元记为1.2.(2017苏州期末)一个物体做左右方向的运动，规定向右运动 5m 记作+5m，那么向左运 动 5m 记作()A.5m B.5m C.10m D.10 m 点拨:若向右为正，则向左为负.考点 2 数轴【考点解读】中考中对于数轴的考查主要涉及数轴的认识以及数形结合的思想.用数轴上的点来表示有理数，这是运用了数形结合的思想.利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识间的联系.
3、例 2 如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为,M P N Q，若点,M N表示的有理数互 为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是()A.点M B.点N C.点N D.点Q 分析:因为点,M N表示的有理数互为相反数，所以原点的位置在线段MN的中点，所以表示绝对值最小的数的点是点P.答案:C【规律技法】解答与数轴有关的问题时要抓住以下几点:记住数轴上的点与有理数的对应关系;相反数、点与点之间的距离在数轴上的表示方法;数轴常常与相反数、距离、绝对值结合考查.【反馈练习】3.有理数,a b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是()A.0ab B.0ab C.0ab D.0ab 点拨:先判断,
4、a b的正负和大小关系.4.(2017苏州期末)有理数,a b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是()A.0ab B.ba C.0ba D.0ab 1 点拨:先判断,a b的正负和大小关系.考点 3 绝对值、相反数、倒数【考点解读】中考中对于绝对值、相反数、倒数的考查主要涉及概念的理解，因此掌握基本概念是解题关键.例 3(1)(2017盐城)2 的绝对值是()A.2 B.2 C.12 D.12 (2)3 的相反数是 ，3 的绝对值是 .(3)23的倒数是 .分析:根据相反数、绝对值、倒数的定义解答.符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，0的相反数是 0;正数的绝对值是它本身，负数的绝对
5、值是它的相反数，0 的绝对值是 0;乘积为1 的两个数互为倒数.答案:(1)A (2)3 3 (3)32【规律技法】(1)正确理解相反数的概念是关健;(2)数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定:当a是正数时，a的绝对值是它本身;当a是负数时，a的绝对值是它的相反数a;当a是零时，a的绝对值是零;(3)应熟练掌握倒数的定义，需要注意的是负数的倒数还是负数，正数的倒数还是正数，0 没有倒数.【反馈练习】5.23的相反数是()A.23 B.23 C.32 D.32 点拨:符号相反、绝对值相同的两个数互为相反数.6.若a与 1 互为相反数，则1a 等于()A.1 B.0 C.1 D.2 点拨:互为相
6、反数的两个数的和为 0.考点 4 有理数大小的比较【考点解读】比较有理数大小的基本方法:绝对值法:两个正数，绝对值大的正数大;两个负数，绝对值大的负数小;数轴法:在数轴上表示的两个有理数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.例 4 (1)(2017扬州)下列各数中，比2 小的数是()A.3 B.1 C.0 D.1 (2)下列各式中，计算结果最大的是()A.25 X 132152 B.16 X 172182 C.9 X 212132 D.4X312122 分析:(1)比2 小的数是负数，且绝对值大于 2，故只有选项 A 符合.(2)25X132152=(5X13)2152=4 000;16X
7、172182=(4X17)2182=4 300;9X212132=(3X21)2132=3 800;4X312122=(2X31)2122=3700.因为4300400038003700,所以计算结果最大的式子是16X172182.答案:(1)A (2)B【规律技法】解答有关有理数大小的比较问题时要抓住以下几点:比较有理数的大小时，正数大于 0，负数小于 0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小;比较两个有理数的大小 1 有以下五种情况:正数与正数、正数与负数、0 与正数、0 与负数、负数与负数的比较.【反馈练习】7.(2017扬州期末)在2,0,1,4 这四个数中，最小的数是()A.4 B.0
8、 C.1 D.2 点拨:负数小于 0，正数大于 0;两个负数，绝对值大的负数小.8.(2017泰州期中)在数轴上把下列各数表示出来，并用“”号连接各数:2112.5,1,(2),(1),222 .点拨:先把需要化简计算的式子计算出结果，再来画数轴.考点 5 有理数的混合运算【考点解读】解答有关有理数运算的问题时要抓住以下几点:(1)符号的判断;(2)运算顺序的选择;(3)运算律的使用.有理数的运算在中考中一般不单独命题，常常与以后学习的实数结合命题考查.例 5 (1)计算:42201721(3)2(1);(2)计算:1133()33 ;(3)若2aba ba，则(4 2)(1)=.分析:(1)
9、先算乘方，再算乘除，最后算加减;(2)先将除法运算转化为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算;(3)根据新定义计算.42 24 224,22(1)(4 2)(1)2(1)02 .解答:(1)42201721(3)2(1)1682220 .(2)111111()3 3()3()333339 .(3)0【规律技法】有理数混合运算:先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先算括号内的.【反馈练习】9.(2017徐州期末)计算:2018142(3).点拨:注意运算顺序和符号.10.计算:517()(24)8612.点拨:运用乘法分配律计算.1 考点 6 科学记
10、数法【考点解读】解答有关科学记数法的问题时要抓住以下几点:对于大于 10 的数，在科学记数法的表示形式10na中，110a,n为正整数;小数点移动的位数与指数的关系;理解近似数的意义.例 6 据报道，2015 年全国普通高考报考人数约为 9 420 000 人，数据 9 420 000 用科学记数法表示为 9.42 X 10n，则n的值是()A.4 B.5 C.6 D.7 分析:对于大于 10 的数，科学记数法的表示形式为10na，其中110a,n为正整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.确定10na(110a,n为整数)中n的值时，由于
11、 9 420 000 是七位数，所以可以确定n=7-1=6.答案:C【规律 技法】用科学记数法表示大于 10 的数时，确定a与n的值是关健.其中110a,n等于原数的整数位数减 1.【反馈练习】11.(2017庐州)“五一”期间，某市共接待海内外游客约 567 000 人次，将 567 000 用科学 记数法表示为()A.567 X 103 B.56.7 X 104 C.5.67 X 105 D.0.567 X 106 点拨:110a.12.(2017宁波)2017 年 2 月 13 日，宁波舟山港 45 万吨原油码头首次挂靠全球最大油轮 “泰欧”轮，其中 45 万吨用科学记数法表示为()A.
12、0.45 X 106吨 B.4.5 X 105吨 C.45 X 104吨 D.4.5 X 1 04吨 点拨:单位要统一，万吨化为吨.易错题辨析 例 1 给出下列各数:0.363 663 666 3(每两个 3 之间依次多一个 6);2.121 121 112;355113;3.其中为无理数的是 .(填序号)错误解答:错因分析:把355113化成小数后，误以为是无限不循环小数，其实是循环小数.正确解答:易错辨析:识别无理数时，要抓住其“无限不循环”的定义.本题若忽视无理数是无限小数，就会误认为有限小数 2.121 121 112 是无理数;若在把分数355113化成小数时，除了几位后，没有继续除
13、下去，会错误的判断它不是循环小数，错误地认为它是无理数.实质上，所有的分数都是有理数，不是无理数.易错点 2 忽视分类讨论 1 例 2 在数轴上，点A表示的数是3，那么与点A相距 5 个单位长度的点表示的数是多少?它与132相比较，大小关系如何?错误解答:与点A相距 5 个单位长度的点表不的数是3+52，它与132的大小关系为1322.错因分析:考虑问题不全面.正确解答:如图，在数轴上，与点A相距 5 个单位长度的点有,B C两个.由点,B C在数轴上的位置可知它们所表示的数分别为8,2.在数轴上找到表示132的点，观察点,B C与表示132的点在数轴上的位置，容易发现它们与132之间的大小关
14、系为13132,822 .易错辨析:一般地，在数轴上与某点相距一定单位长度的点有两个，分别位于该点的左、右两侧，不要遗漏.易错点 3 乘法的分配律对除法不适用 例 3 计算：11(15)()53 错误解答:原式11(15)(15)75453053 .错因分析:除法没有分配律.正确解答:原式215225(15)()(15)()1522 .易错辨析:有的同学会错误地认为除法也有分配律，其实除法没有分配律.易错点 4 幂的底数识别不清 例 4 计算:(1)4(2)=,42=;(2)32()3=,323=.错误解答:(1)16 16 (2)827 827 错因分析:负数的偶次幂的运算结果是正数，计算分
15、数的幂时，注意分子、分母应分别乘方.在323中，注意是 2 的 3 次方，而不是23的 3 次方.(1)4(2)表示 4 个2 相乘，即它是底数为2，指数为 4 的幂，所以4(2)=16;42表示42的相反数，即2 不是底数，所以42 1 =16.(2)因为32()3表示 3 个23相乘，即它是底数为23，指数为 3 的幂，所以322228()333327.因为323表示 3 个 2 相乘的积与 3 的商，所以23不是底数，所以322 2 28333.正确解答:(1)16 16 (2)827 83 易错辨析:在进行幂的运算时，首先要区分底数和指数，然后根据幂的意义计算，得出正确结果.易错点 5
16、 混合运算顺序不清 例 5 计算:23272(2)()83.错误解答:原式=2784()4(1)4827 .错因分析:易知328()327，勿将“278”与“827”结合运算，导致出错.实际上，本题中只有乘、除运算，故应从左往右按步计算.正确解答:原式278882564()4()8272727729 .易错辨析:乘、除是同级运算，应遵循从左往右的计算顺序.【反馈练习】1.(2016宜昌)给出下列各数:1.414,1.732 050 8，13，0，其中为无理数的是()A.1.414 B.1.732 050 8 C.13 D.0 点拨:无理数即为无限不循环小数.2.已知数轴上有,A B两点，点A与
17、原点的距离为 2,A B两点间的距离为 1，则满足条件的 点B所表示的数为 .点拨:注意分类讨论.3.计算:(1)23(2)(1)4;(2)22439;(3)2225(3)()(6)439 ;(4)2017231(1)2(1)(3)6 ;1 点拨:注意有理数混合运算的顺序.4.阅读下面的材料，并完成下列问题.计算:12112()()3031065.解法一:原式=12111112()()()()3033010306305 =1111203512 =16.解法二:原式=12112()()()3036105 =151()()3062 =1330 110.解法三:原式的倒数=21121()()3106
18、530 =2112()(30)31065 =203 5 12 =10.综上所述，原式110(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，解法 是错误的;(2)在正确的解法中，解法 最简便;(3)利用最简便的解法计算:11322()()4261437.点拨:可以转化为先求原式的倒数.探究与应用 探究 1 复杂的有理数混合运算 例 1 计算:(1)8647(18.75 1)20.461525;(2)32017201723(0.2)(50)(1)()35 .点拨:按照有理数的运算法则进行计算即可.解答:(1)原式=3155610047(181)482546=75155610047()48254
19、6 1 =13556100(47)82546=4610020546 (2)原式=20172017153()(50)()()12535 =2017253()()535 =27155.规律提示 在有理数的混合运算过程中，要善于观察与思考，在正常运算较繁琐时，要根据算式的特点，灵活选择正确而简洁的解法(如运算律的运用等).对于复杂运算，更要保持不急不躁的态度，切不可跳步，欲速则不达.【举一反三】1.计算:(1)222353()34()8()3532 ;(2)321116(0.5)2(3)0.52338 .探究 2 错位相减法巧算 例 2 求23201712222S 的值.点拨:观察和式，不难发现:后
20、面一个数是它前面一个数的 2 倍.为此，在和式两边同乘一个常数 2 后，再与原和式两边分别相减(这里的相减是错位相减)，可使计算简便.解答:因为23201712222S ,所以2342018222222S,所以，得201821S.规律提示:当一和式乘一个恰当的常数后，得到的新和式与原和式中绝大部分数相同时，应用错位相减法可以简化计算.【举一反三】2.求2320161 3333 的值.例 3 求232017111112222S 的值.点拨:观察和式，不难发现:后面一个数是它前面一个数的12.那么类似例 2，在和式两边同乘 1 一个常数12后，再与原和式两边分别相减(这里的相减是错位相减)，可使计
21、算简便.解答:因为232017111112222S ,所以2342018111111222222S.，得201811122S ,所以2017122S.规律提示 应用错位相减法时，一定要选择一个合适的常数.【举一反三】3.计算:11112481024.探究 3 拆项分解法巧算 例 4 计算:111112123123100.点拨:因为(1)1 232n nn,所以 11222(1)123(1)12n nnn nnn，所以 111112123123100 可转化为 22222212334100100 1.进一步通过加法的结合律计算，得2212100 1，至此问题解决.解答:原式22222229912
22、12334100100 1101101.规律提示 (1)12342nnn.这是初中数学计算中的一条重要公式.再进一步拆分，得11111 11,()(1)1()n nnnn nmm nnm.也可以类推三个及三个以上的数的积的拆项.【举一反三】4.求11111 33 55 72015 2017的值.1 探究 4 整体换元法巧算 例 5 计算:7737121738(172711)(1385)271739172739.点拨:73472437761716,2726,1110272717173939，通过观察可以发现，这 3 个数分别是第 2 个括号内 3 个数的 2 倍.解答:令121738138517
23、2739A.因为77373424761727111626102271739271739A,所以原式=22AA.规律提示 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法.换元法是常用的解题方法，它能化复杂为简单，明确题目的结构特征，丰富解题思路.【举一反三】5.已知33331231514400，求333324630的值.探究 5 配对、分组巧算 例 6 计算:11212312341235859()()()()23344455556060606060.点拨:观察每个括号内式子的特点，依特征求解;也可用一个符号表示所求的式子，将式子进行整体变形，寻找内在关系，简化
24、运算.解答:解法一:原式=(0.529.5)590.5 1 1.5229.58852.解法二:原式=0.5 1 1.5229.5 =(0.5 1 1.5229.5)(1229)(0.529.5)30(129)2988522 解法三:设原式之和为S，对每个括号内的各项都交换位置再相加，显然其和不变，即121321432159585721()()()()23344455556060606060S.将原序和倒序相加，其相应两项之和为 1，则有(1 59)59212345930 592S ,所以15 59885S.规律提示 计算时需要观察规律，本例三种解法分别从三个角度着眼:解法一是配成 59 个“对
25、子”;1 解法二是分组计算;解法三是倒序与正序的综合运用.上述三种解法在计算中的运用都十分广泛.【举一反三】6.计算:(1234)(5678)(9 10 11 12)(2013201420152016).参考答 知识梳理 负数 分数 不循环 正方向 单位长度 距离 本身 相反数 0 绝对值 1 异号 相反数 正 负 不等于 0 倒数 相同 幂 正整数 重难点分类解析【反馈练习】1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.21122.5(1)1(2)22 9.原式=3 10.原式=5 11.C 12.B 易错题辨析 1.B 2.3 或 1 或1 或3 3.(1)原式=1;(2)原式=38;(3)原式=20;(4)原式=356;4.(1)一 (2)三 (3)原式114 探究与应用【举一反三】1.(1)原式7279;(2)原式3.895.2.2320161 3333=201713-12（）.3.11112481024=10231024 1 4.11111 33 55 72015 2017=10082017.5.333324630=115200.6.原式=2016