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1、十九基本不等式(20分钟35分)1.设0a12【解析】选C.因为0a1b,所以logab0,logba0,-logba0,所以(-logab)+(-logba)=(-logab)+2,当且仅当ab=1时,等号成立,所以logab+logba-2.【补偿训练】(2020宁波高一检测)下列不等式a2+12a;x2+1;2;sin2x+4,其中恒成立的不等式的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为a2+1-2a=(a-1)20,所以a2+12a,故不恒成立;因为x2+=x2+1+-12-1=1,当x2+1=1时等号成立,所以x2+1正确;若a0,b0,则0,故不恒成立;令t=sin2x
2、(0,1,y=t+5,+),故原不等式sin2x+4恒成立,所以恒成立的有2个.2.已知等比数列an中各项均为正数,公比q1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是()A.PQC.P=Q D.无法确定【解析】选B.由等比数列的性质得Q=P,又a2a9,故等号不成立,则PQ.3.已知m0,n0,=m+,=n+,m,n的等差中项为1,则+的最小值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由已知得m+n=2,所以+=m+n+=(m+n)+=2+.因为m0,n0,所以mn=1,所以+2+=4,当且仅当m=n=1时等号成立.所以+的最小值为4.4.设正数a,使a2+a-20成立,若t0,则logatlog
3、a(填“”“”“”或“0,所以a1,又a0,所以a1,因为t0,所以,所以logaloga=logat.答案:5.若a1,则a+与-1的大小关系是.【解析】因为a1,即a-10,所以-(a-1+)=(1-a)+2=2.即a+-1.答案:a+-16.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ac;(2)+1.【证明】(1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得a2+b2+c2ab+bc+ac.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.所以3(ab+bc+ac)1,即ab+bc+ac.(2)因为+b2a,+c2b,+a2
4、c,故+(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c.所以+1. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020宣城高一检测)下列不等式一定成立的是()A.lg x(x0)【解析】选C.对于A:因为x20,所以1,故A不成立;对于B:当x0时,x+2=2,当且仅当x=1时取等号;当x0,x+=-2=-2,当且仅当-x=1时取等号;故B错误;对于C:因为(|x|-1)20,所以x2+12|x|,故C正确.对于D:lglg x(x0)等价于x2+x,即0,故得x,而题设x0,当x=时不成立.故D错误.2.若0,则下列不等式:a+b|b|;a2中,正确的不等式是()A.B.C.
5、D.【解析】选A.由于0,所以ba0,由此可知a+b0|a|,所以错误.错误.由于ba1,有基本不等式得+2=2,所以正确.综上所述,正确不等式的序号是.3.已知a0,b0,给出下列三个不等式:;+a+b.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.依题意,因为a0,b0,所以,当且仅当a=b时等号成立,所以正确,因为+=a+b,当且仅当a=b时等号成立,所以正确.4.(2020滨州高一检测)小王从甲地到乙地前后半程的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()A.av B.v=C.v0,b0,所以a+b2当且仅当a=b时,取等号,又ba,所以a+b2,所以v=1,所以
6、v=a故av=0,y0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是()A. B.+C.2 D.1【解析】选B.对于选项A,因为0x+y4,所以,故A不恒成立;对于选项B,因为+=,又因为4x+y2,所以02,所以,所以+1,故B成立;对于选项C,因为4x+y2,所以2,故C不恒成立;对于选项D,由4x+y2,所以2,即0y0时,有.其中正确的结论的序号是.【解题指南】利用基本不等式对式子逐一验证,要注意等号成立的条件是否满足.【解析】当a0时,a20,0,所以a2+2=2,当且仅当a=1时取等号,故正确;对任意x,yR,2x0,2y0,所以2x+2y2=2,当且仅当x=y时取等号,故正确;当xy0时
7、,应有,故错误.答案:【补偿训练】设a0,b0,给出下列不等式:a2+1a;4;a2+96a.其中恒成立的是.(填序号)【解析】由于a2+1-a=(a-)2+0,故恒成立;由于a+2,b+2,所以4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故恒成立;当a=3时,a2+9=6a,故不恒成立.综上,恒成立的是.答案:7.(2020张家界高一检测)设a,b为正数,A为a,b的等差中项,G为a,b的等比中项,则A与G的大小关系为AG.(用“”“0时,a+2,等号成立的条件是a=1,当a0,|0,所以|+|2=2,等号成立的条件是当且仅当|=|,即a2=b2,故正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9
8、.已知a,b,c0,求证:a+b+c+.【证明】因为a0,b0,c0,所以a+b2,b+c2,a+c2,所以2(a+b+c)2(+),即a+b+c+,当且仅当a=b=c时等号成立.10.(2020张家港高一检测)已知ab,ab=1,求证:a2+b22(a-b).【证明】因为ab,所以a-b0,又ab=1,所以=a-b+2=2即2,即a2+b22,当且仅当a-b=,即a-b=时取等号.1.ABC三边a,b,c满足a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2,则ABC的形状是.【解析】由a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42a2c2,三式相加可得:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,当且仅当a=b=c时等号成立,即ABC是等边三角形.答案:等边三角形2.是否存在常数c,使得不等式+c+对任意正实数x,y恒成立?证明你的结论.【解析】当x=y时,由已知不等式得c=.下面分两部分给出证明:(1)先证+,此不等式3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2x+y)(x+2y)2xyx2+y2,此式显然成立.(2)再证+,此不等式3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+2y)(2x+y)x2+y22xy,此式显然成立.综上可知,存在常数c=,对任意的实数x,y使题中的不等式成立.