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1、第二章第二章第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动自由振动概述自由振动概述 任任何何具具有有质质量量和和弹弹性性的的系系统统都都能能产产生生振振动动，若若不不外外加加激激励励的的作作用用，振振动动系系统统对对初初始始激激励的响应，通常称为励的响应，通常称为自由振动自由振动。保保守守系系统统在在自自由由振振动动过过程程中中，由由于于总总机机械械能能守守恒恒，动动能能和和势势能能相相互互转转换换而而维维持持等等幅幅振振动，称为动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。实实际际系系统统不不可可避避免免存存在在阻阻尼尼因因素素，由由于于机机械
2、械能能的的耗耗散散，使使自自由由振振动动不不能能维维持持等等幅幅而而趋趋于衰减，称为于衰减，称为有阻尼自由振动。有阻尼自由振动。2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动 最简单的最简单的单自由度单自由度振动系统振动系统就是一个弹簧就是一个弹簧连接一个质量的系统，连接一个质量的系统，如图如图2.1-1所示的所示的弹簧弹簧-质量系统质量系统。弹弹簧簧-质质量量系系统统有有一一个个共共同同的的特特点点：当当受受扰扰动动离离开开平平衡衡位位置置后后，在在恢恢复复力力作作用用下下系系统统趋趋于于回回到到平平衡衡位位置置，但但是是由由惯惯性性它它们们会会超超越越平平衡衡点点。超超越越后后，恢恢复复
3、力力再再次次作作用用使使系系统统回回到到平平衡衡位位置置。结结果系统就来回振动起来。果系统就来回振动起来。图 2.1-1 2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动(2.1-1)设设在在某某一一瞬瞬时时t，物物体体的的位位移移为为x，则则弹弹簧簧作作用于物体的力为用于物体的力为-kx，以以 和和 分分别别表表示示物物体体的的速速度度与与加加速速度度。由由牛牛顿顿定定律律，有，有弹簧质量系统受力分析弹簧质量系统受力分析2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动微分方程的求解微分方程的求解 根根据据常常微微分分方方程程理理论论，式式(2.1-3)的的解解具具有有下下面面的的一一般形式般
4、形式式中式中A1和和A2是取决于初始条件是取决于初始条件 t=0,的积分常数。的积分常数。(2.1-4)这里这里 为系统的为系统的固有频率固有频率。令令(2.1-2)(2.1-3)这是这是二阶常系数线性齐次常微分方程。二阶常系数线性齐次常微分方程。方程方程(2.1-1)改写改写为为2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动对解的进一步讨论对解的进一步讨论设设 或或 (2.1-5)(2.1-6)得得 或或 式式中中常常数数A和和(=/2-)分分别别称称为为振振幅幅和和相相角角。方方程程(2.1-7)说明该系统以说明该系统以固有频率固有频率n作作简谐振动简谐振动。解为解为(2.1-7)或或2
5、.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动的定义及矢量表示简谐振动的定义及矢量表示 凡是系统响应可以用时间的凡是系统响应可以用时间的正弦函数正弦函数(或余弦函数或余弦函数)表示的振动，就是表示的振动，就是简谐振动简谐振动。矢矢量量A与与垂垂直直轴轴x的的夹夹角角为为nt-，A在在x轴轴上上的的投投影影就就表表示示解解x(t)=Acos(nt-)。当当nt-角角随随时时间间增增大大时时，意意味味着着矢矢量量A以以角角速速度度n按按逆逆时时针针方方向向转转动动，其其投投影影成成谐谐波波变化变化。图图 2.1-22.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动振动周期振动周期 振动重复一
6、次所需要的时间间隔，称之为振动重复一次所需要的时间间隔，称之为振动周期振动周期。在在简简谐谐振振动动的的情情况况下下，每每经经过过一一个个周周期期，相位就增加相位就增加2，因此，因此n(t+T)+-(nt+)=2故有故有(2.1-9)实实际际上上T代代表表发发生生一一次次完完整整运运动动所所需需要要的的时时间，周期通常以秒间，周期通常以秒(s)计。计。2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动振动频率振动频率 在单位秒时间内振动重复的次数，称为在单位秒时间内振动重复的次数，称为振动振动频率频率，一般用，一般用f 表示。表示。(2.1-10)频率的单位为次频率的单位为次/秒，称为赫兹秒，称
7、为赫兹(Hz)。2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动用初始条件表示自由振动系统微分方程的积分常数用初始条件表示自由振动系统微分方程的积分常数 设设在在初初瞬瞬时时t=0，物物体体有有初初位位移移 与与初初速速度度 ，则则代代入入式式(2.1-4)及及其其一一阶阶导导数数，振振动动系系统统对对初初始始条条件件 的响应为的响应为(2.1-10)比较方程比较方程(2.1-4)和和(2.1-10)，并利用方程并利用方程(2.1-6)可以得到振幅可以得到振幅A和相角和相角的值。的值。(2.1-11)或或2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动弹簧悬挂的物
8、体沿铅锤方向的振动 当振动系统为静平衡时弹簧当振动系统为静平衡时弹簧在重力在重力mg的作用下将有静伸长的作用下将有静伸长(2.1-12)在重力与弹簧力的作用下，在重力与弹簧力的作用下，物体的运动微分方程为物体的运动微分方程为(2.1-13)因为因为mg=ks，上式仍可简化为上式仍可简化为图 2.1-32.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动 从弹簧的静变形可以方便的计算出振动系统从弹簧的静变形可以方便的计算出振动系统的固有频率。的固有频率。(2.1-14)静变形法测系统的固有频率静变形法测系统的固有频率2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动 例例2.1-1 均匀悬臂梁长为均匀
9、悬臂梁长为l，弯曲刚度为，弯曲刚度为EJ，重量不，重量不计，自由端附有重为计，自由端附有重为P=mg的物体，的物体，如图如图2.1-4所示。试所示。试写出物体的振动微分方程，并求出频率。写出物体的振动微分方程，并求出频率。解：解：由材料力学知，由材料力学知，在物体重力作用下，梁在物体重力作用下，梁的自由端将有静挠度的自由端将有静挠度则频率为则频率为图 2.1-4例题：静变形法求系统的固有频率例题：静变形法求系统的固有频率（例（例2.1-1）2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动例题：用振动微分方程求系统的固有频率例题：用振动微分方程求系统的固有频率（例（例2.1-1）这里，悬臂梁起着
10、弹簧的作用，自由端产生单位静这里，悬臂梁起着弹簧的作用，自由端产生单位静变形所需要的力就是梁的弹簧系数变形所需要的力就是梁的弹簧系数 物体梁端的振动微分方程为物体梁端的振动微分方程为即即则频率为则频率为2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动例题：列写振动微分方程求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-2）例例2.1-2 可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤(直杆的重量和锤的体积都可以不计直杆的重量和锤的体积都可以不计)，组成单摆，亦称，组成单摆，亦称数学摆。杆长为数学摆。杆长为l，锤重为锤重为P=mg，试求摆的运动微分方试求摆
11、的运动微分方程及周期。程及周期。假定角假定角不大，可令不大，可令sin，则上式简化为则上式简化为 解：解：取偏角取偏角为坐标。从平衡为坐标。从平衡位置出发，以逆时针方向为正，锤位置出发，以逆时针方向为正，锤的切向加速度为的切向加速度为 ，故有运动微分，故有运动微分方程为方程为图 2.1-52.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动例题：列写振动微分方程求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-2）故故则振动周期为则振动周期为2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动例题：列写振动微分方程求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-3）例例2.1
12、-3 可绕水平轴摆动的物体，称为复摆可绕水平轴摆动的物体，称为复摆(亦成为亦成为物理摆物理摆)。设物体的质量为。设物体的质量为m，对轴对轴O的转动惯量为的转动惯量为I，重重心心G至轴至轴O的距离为的距离为s，如图如图2.1-6所示，求复摆微幅振动所示，求复摆微幅振动的微分方程及振动周期。的微分方程及振动周期。解：解：取偏角取偏角为坐标，以逆时针方为坐标，以逆时针方向为正，复摆绕定轴转动的微分方程向为正，复摆绕定轴转动的微分方程可列为可列为 假定角假定角不大不大，可令，可令sin，则上式则上式简化为简化为这就是振动微分方程。这就是振动微分方程。图 2.1-62.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振
13、动简谐振动例题：列写振动微分方程求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-3）故固有频率为故固有频率为则振动周期为则振动周期为2.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动例题：列写振动微分方程求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-4）解：解：设设 为圆盘相对于静为圆盘相对于静平衡位置的角坐标。微分方程平衡位置的角坐标。微分方程为为 例2.1-4 铅垂圆轴，上端固定，下端装有水平圆盘，铅垂圆轴，上端固定，下端装有水平圆盘，组成扭摆，如图组成扭摆，如图2.1-7所示。设有力矩圆盘及圆轴下端绕所示。设有力矩圆盘及圆轴下端绕有转过某一角度有转过某一角度后
14、突然释放，则圆盘将在水平面内进后突然释放，则圆盘将在水平面内进行扭转振动。已知圆轴的扭转弹簧系数行扭转振动。已知圆轴的扭转弹簧系数(使轴的下端产使轴的下端产生单位所需的扭矩生单位所需的扭矩)为为k(Nm/rad)，质量不计，圆盘对转，质量不计，圆盘对转轴的转动惯量为轴的转动惯量为I，求扭摆的振动微分求扭摆的振动微分方程及周期与频率。方程及周期与频率。图 2.1-72.1 2.1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动例题：列写振动微分方程求系统的周期例题：列写振动微分方程求系统的周期（例（例2.1-4）可见扭摆的自由振动也是简谐振动，其周期与频率可见扭摆的自由振动也是简谐振动，其周期与频率为为故故或或