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1、一 杜哈姆积分的数值计算方法 当作用于体系上的荷载函数是已知的而且便于积分时，则可由杜哈姆积分直接求出。然而，当荷载函数较复杂，不便于直接积分，就需要借助数值积分方法求解。下面以无阻尼情况为例来讨论，有阻尼情况可参考。设初始条件为零，则引入符号：设初始条件为零，则引入符号：（1）则杜哈姆积分可简写为：（2）对（1）式可采用辛普生积分公式来计算。（参考数值计算方法）由此便可求得杜哈姆积分。2.7 单自由度体系振动计算的数值法二 加速度冲量外推法 有阻尼受迫振动的运动方程可写成：（a）采用递推公式来求解微分方程，步骤如下：1、将时间t划分成等间距的等分点：2、确定初始条件：3、推导：设在点 i-1
2、，i，i+1区间，位移用二次抛物线来代替真实的位移曲线，则在此区间内的位移方程y(t)可近似取为：（b）（c）于是由（c）式可得：（1）将（1）式代人（b）式得：（e）i点的加速度可由（a）使求得：（d）将（e）式代人（d）式整理得：（2）由（1）、（2）便可求出各个分点上的位移。4、注意，对于 由于 不存在，不能应用（1）式求得，对此可采用近似公式计算：此式的物理意义是把第一区间的运动视为等加速度运动。如不考虑阻尼，则（2）式可简化为三 线加速度法1、增量型动平衡方程：在任一瞬间，质量在任一瞬间，质量m上力的平衡方程：上力的平衡方程：经过经过D Dt时间后，成为：时间后，成为：运动方程的增量
3、形式：运动方程的增量形式：运动增量平衡方程的最终形式：运动增量平衡方程的最终形式：（1）线性加速度法：线性加速度法：假定在每个时间增假定在每个时间增量内加速度线性变量内加速度线性变化，而且体系的特化，而且体系的特性在这个间隔内保性在这个间隔内保持为常量。持为常量。代入：代入：代入代入 得到：得到：（3）（2）得到：得到：（5）（6）（7）（4）为了避免累计误差，利用总的平衡条件：为了避免累计误差，利用总的平衡条件：逐步积分法的步骤（略）。逐步积分法的步骤（略）。（8）（9）逐步积分法的步骤逐步积分法的步骤：1）确定任一区间的初始速度和初始位移；2）根据（8）式求出区间的初始加速度；3）根据（5
4、）（6）式计算等效刚度和等效增量荷载；4）根据（7）式计算位移增量；5）根据（3）式计算速度增量；6）由（9）式计算区间末端的位移和速度；7）重复2）-6）步骤，计算下一区间，直到体系的动力响应过程完全被确定。Wilson-q q法法Wilson-q q法：法：假定在每个时假定在每个时间段间段(t,t+qDqDt)内加速度线性内加速度线性变化，而且体系的特性在变化，而且体系的特性在(t,t+D Dt)内保持为常量。内保持为常量。Newmark-b b法法无条件稳定要求：无条件稳定要求：无人工阻尼要求：无人工阻尼要求：无条件稳定要求：无条件稳定要求：Newmark-b b法法（b b=1/4）N
5、ewmark-b b法法（b b=1/4）平衡方程：平衡方程：2.8 用用Rayleigh法进行振动分析法进行振动分析自由振动位移：自由振动位移：自由振动速度：自由振动速度：弹簧变形能：弹簧变形能：质量块动能：质量块动能：自振频率：自振频率：Rayleigh法的理论基础为法的理论基础为能量守恒定律能量守恒定律。即认为如果没有阻尼力消耗能量。即认为如果没有阻尼力消耗能量的话，在自由振动体系中，能量应该保持常量。的话，在自由振动体系中，能量应该保持常量。最大动能最大动能等于等于最大位能：最大位能：这个表达式和以前所述的一样，但现在它是从最大变形能应等于最大动能的这个表达式和以前所述的一样，但现在它
6、是从最大变形能应等于最大动能的Rayleigh法概念而得。法概念而得。例子：简支梁，认为是无限自由度例子：简支梁，认为是无限自由度2.8.1一般体系的近似分析一般体系的近似分析 体系变形能：体系变形能：最大值：最大值：体系动能：体系动能：由由Rayleigh法：法：最大值：最大值：k*m*例子：简支梁，认为是无限自由度例子：简支梁，认为是无限自由度2.8.2振动形状的选取振动形状的选取假定振型为抛物线：假定振型为抛物线：能量守恒：能量守恒：假定振型为正弦曲线：假定振型为正弦曲线：能量守恒：能量守恒：假定振型为抛物线：假定振型为抛物线：假定振型为正弦曲线：假定振型为正弦曲线：原则上，只要满足梁的
7、几何边界条件，形状函数可任意选取，亦即形状函数原则上，只要满足梁的几何边界条件，形状函数可任意选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。仅需和具体的支承条件一致。但是，对但是，对不是真实振型的不是真实振型的任意形状函数，为了保持平衡就必须有附加的外部任意形状函数，为了保持平衡就必须有附加的外部约束作用，这些附加约束将会使体系变得刚硬，从而使计算频率增大。约束作用，这些附加约束将会使体系变得刚硬，从而使计算频率增大。Rayleigh法计算的频率中，最低的一个，总是最好的近似值！法计算的频率中，最低的一个，总是最好的近似值！Question:如何确定合理的挠曲形状？如何确定合理的挠曲形状？Sol
8、ution:自由振动的位移是由自由振动的位移是由惯性力惯性力作用引起的；作用引起的；惯性力惯性力正比于正比于质量质量加速度加速度（质量分布及位移幅值）（质量分布及位移幅值）因此：正确的振动形式因此：正确的振动形式y yc(x)为正比于为正比于m(x)y yc(x)的荷载所引起的挠曲线。的荷载所引起的挠曲线。近似做法：采用荷载近似做法：采用荷载 作用时的挠曲线作为作用时的挠曲线作为y yc(x)具有很具有很高的精度。高的精度。最大动能：最大动能：最大变形能：最大变形能：能量守恒：能量守恒：注意：注意：再近似：再近似：假定惯性荷载为梁的重量，即假定惯性荷载为梁的重量，即频率计算将根据静止重量荷载所
9、引起的挠曲线频率计算将根据静止重量荷载所引起的挠曲线vd(t)进行。进行。此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。例例E9-2假定变形曲线假定变形曲线最大位能最大位能最大动能最大动能Finish?计算频率计算频率:R00法法2.8.3改进的改进的Rayleigh法法假设分布惯性力假设分布惯性力荷载作用下挠度荷载作用下挠度R01法法优点优点?考虑新的动能表达式，用考虑新的动能表达式，用v(1)代替代替v(0)：R11法法由于由于例例E9-3假定一个变形曲线假定一个变形曲线,设设:计算动能和势能计算动能和势能:R00法法令令Tmax=Vmax计算频率
10、计算频率:按照与初始挠度有关的惯性力做改进的计算按照与初始挠度有关的惯性力做改进的计算.R00法法计算最大位能计算最大位能.R00法法按照改进的形状计算动能按照改进的形状计算动能比较精确解比较精确解:w w=14.5rad/s.如果给定更合理的初始形状如果给定更合理的初始形状,将得到好得多的结果将得到好得多的结果.2.9 几点结论与讨论几点结论与讨论 单自由度的固有频率平方等于单自由度的固有频率平方等于单自由度的固有频率平方等于单自由度的固有频率平方等于k/mk/m。阻尼比可由实验。阻尼比可由实验。阻尼比可由实验。阻尼比可由实验测得，一般结构阻尼比为测得，一般结构阻尼比为测得，一般结构阻尼比为
11、测得，一般结构阻尼比为0.050.05。由于阻尼的存在，自由。由于阻尼的存在，自由。由于阻尼的存在，自由。由于阻尼的存在，自由振动振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从振动振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从振动振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从振动振动若干周后将恢复静平衡状态，受迫振动将从瞬态转为稳态。瞬态转为稳态。瞬态转为稳态。瞬态转为稳态。使阻尼器能消耗尽可能多的能量（也即增加阻尼）使阻尼器能消耗尽可能多的能量（也即增加阻尼）使阻尼器能消耗尽可能多的能量（也即增加阻尼）使阻尼器能消耗尽可能多的能量（也即增加阻尼）是减少振动的有效措施。是减少振动的有效措施。是减少振动的有
12、效措施。是减少振动的有效措施。对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振对受迫振动，在共振区内阻尼影响显著，在非共振区可忽略阻尼影响。区可忽略阻尼影响。区可忽略阻尼影响。区可忽略阻尼影响。不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，不管什麽结构如果经合理抽象化为单自由度体系，且具有相同的动力特征（且具有相同的动力特征（且具有相同的动力特征（且具有相同的动力特征（mm、k k、），在相同初始条件），在相同初始条件），在相
13、同初始条件），在相同初始条件和荷载下，结构具有相同的动力反应。和荷载下，结构具有相同的动力反应。和荷载下，结构具有相同的动力反应。和荷载下，结构具有相同的动力反应。动力系数取决于动力系数取决于动力系数取决于动力系数取决于 、频率比、频率比、频率比、频率比 ，当荷载作用在质量上，当荷载作用在质量上，当荷载作用在质量上，当荷载作用在质量上时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。时，位移和内力的动力系数相同。否则，两者不同。对于线性体系，利用叠加原理可用对于线性体系，利用叠加原理可用对于线性体系，利用叠
14、加原理可用对于线性体系，利用叠加原理可用DuhamelDuhamel积分来积分来积分来积分来求任意荷载下的反应，这种基于脉响函数的分析方法求任意荷载下的反应，这种基于脉响函数的分析方法求任意荷载下的反应，这种基于脉响函数的分析方法求任意荷载下的反应，这种基于脉响函数的分析方法称为时域分析法。称为时域分析法。称为时域分析法。称为时域分析法。突加荷载的最大位移反应接近或等于突加荷载的最大位移反应接近或等于突加荷载的最大位移反应接近或等于突加荷载的最大位移反应接近或等于2 2倍静位移。倍静位移。倍静位移。倍静位移。周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应综周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应
15、综周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应综周期荷载的反应可由一系列简谐反应和静力反应综合得到。合得到。合得到。合得到。非线性问题叠加原理不适用，非线性问题叠加原理不适用，非线性问题叠加原理不适用，非线性问题叠加原理不适用，DuhamelDuhamel积分不能用，积分不能用，积分不能用，积分不能用，要进行时程分析来求数值解。要进行时程分析来求数值解。要进行时程分析来求数值解。要进行时程分析来求数值解。利用三角函数和指数函数的关系，将荷载利用三角函数和指数函数的关系，将荷载利用三角函数和指数函数的关系，将荷载利用三角函数和指数函数的关系，将荷载FourierFourier级级级级数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，数化为指数形式（复数形式），设解答也是指数形式，则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响则运动方程的解答和时域分析法相对应，可由频率响应函数叠加得到。这种方法称频域法。第六章将介绍。应函数叠加得到。这种方法称频域法。第六章将介绍。应函数叠加得到。这种方法称频域法。第六章将介绍。应函数叠加得到。这种方法称频域法。第六章将介绍。2.9 几点结论与讨论几点结论与讨论