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1、(认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定/能运用公理、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题)7.4 7.4 空间中的垂直关系空间中的垂直关系第一页，编辑于星期五：五点 十二分。1定定义义：如如果果一一条条直直线线和和一一个个平平面面内内的的任任意意一一条条直直线线都都垂垂直直，那那么么称称这这条条直直线线和和这个平面互相垂直，记作：这个平面互相垂直，记作：a.2直直线线与与平平面面垂垂直直的的判判定定定定理理：如如果果一一条条直直线线和和一一个个平平面面内内的的两两条条相相交交直直
2、线线都都垂垂直，那么这条直线垂直于这个平面直，那么这条直线垂直于这个平面3直线与平面垂直的性质定理：直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行第二页，编辑于星期五：五点 十二分。4二二面面角角的的概概念念：平平面面内内的的一一条条直直线线把把平平面面分分为为两两个个局局部部，其其中中的的每每一一局局部部叫叫做做半半平平面面；从从一一条条直直线线出出发发的的两两个个半半平平面面所所组组成成的的图图形形叫叫做做二二面面角角，这这条条直直线线叫叫做做二二面面角角的的棱棱，每每个个半半平平面面叫叫做做二二面面角角的的面面假假设设棱棱为为l，两两个个面面分分别
3、别为为，的二面角记为的二面角记为l；5二面角的平面角二面角的平面角一一个个平平面面垂垂直直于于二二面面角角l的的棱棱l，且且与与两两半半平平面面交交线线分分别别为为OA，OB，O为垂足，那么为垂足，那么AOB是是l的平面角的平面角 第三页，编辑于星期五：五点 十二分。两两个个相相交交成成直直二二面面角角的的两两个个平平面面互互相相垂垂直直；相相交交成成直直二二面面角角的的两两个个平平面面叫叫做做互互相垂直的平面相垂直的平面7两两平平面面垂垂直直的的判判定定定定理理：如如果果一一个个平平面面经经过过另另一一个个平平面面的的一一条条垂垂线线，那那么么这这两两个平面互相垂直个平面互相垂直8两两平平面
4、面垂垂直直的的性性质质定定理理：假假设设两两个个平平面面互互相相垂垂直直，那那么么在在一一个个平平面面内内垂垂直直于于它它们们的交的交线线的直的直线线垂直于另一个平面垂直于另一个平面第四页，编辑于星期五：五点 十二分。1对对于任意的直于任意的直线线l与平面与平面，在平面，在平面内必有直内必有直线线m，使，使m与与l()A平行平行 B相交相交 C垂直垂直 D互互为为异面直异面直线线解解析析：假假设设直直线线l，l，或或l，虽虽然然在在内内必必有有直直线线m，使使ml；假假设设l是是平面的斜平面的斜线线可找出其射影可找出其射影l，那么存在直，那么存在直线线ml，即，即ml.答案：答案：C第五页，编
5、辑于星期五：五点 十二分。2如如图图，平面，平面平面平面，A，B，AB与两平面与两平面、所成的角分所成的角分 别为别为 和和 .过过A、B分分别别作两平面交作两平面交线线的垂的垂线线，垂足，垂足为为A、B，假，假设设AB 12，那么，那么AB等于等于()A4 B6 C8 D9 解析：连结解析：连结AB可知可知ABA ，那么，那么ABABcos 6 ，连结连结AB可知可知BAB ，那么，那么BBABcos 6 ，在，在RtBBA中，中，AB 6.答案：答案：B第六页，编辑于星期五：五点 十二分。3平平面面，l，P是是空空间间一一点点，且且P到到平平面面、的的距距离离分分别别是是1、2，那那么么点
6、点P到到l的距离的距离为为_解析：如解析：如图图，PO平面平面PAB，lPO.PO就是就是P到直到直线线l的距离的距离，PAOB为为矩形，矩形，第七页，编辑于星期五：五点 十二分。4平行四平行四边边形的一个形的一个顶顶点点A在平面在平面内，其余内，其余顶顶点在点在的同的同侧侧，其中有两个，其中有两个顶顶点到点到的距离分的距离分别为别为1和和2，那么剩下的一个，那么剩下的一个顶顶点到平面点到平面的距离可能是：的距离可能是：1；2；3；4.以上以上结论结论正确的正确的为为_(写出所有正确写出所有正确结论结论的的编编号号)答案：答案：第八页，编辑于星期五：五点 十二分。证线证线面垂直的方法：面垂直的
7、方法：(1)利利用用线线面面垂垂直直定定义义：证证一一直直线线垂垂直直于于平平面面内内任任一一直直线线，那那么么这这条条直直线线垂垂直直于于该该平平面面(2)用用线线面垂直的判定定理：面垂直的判定定理：证证一直一直线线与平面内两相交直与平面内两相交直线线都垂直，都垂直，那么那么这这条直条直线线与平面垂直与平面垂直(3)用用线线面垂直的性面垂直的性质质：两平行：两平行线线之一垂直于之一垂直于这这个平面，个平面，那么另一条也必垂直于那么另一条也必垂直于这这个平面个平面(4)用面面垂直的性用面面垂直的性质质定理：定理：两平面垂直，在一个面内垂直于交两平面垂直，在一个面内垂直于交线线的直的直线线必垂直
8、于另一平面必垂直于另一平面(5)用面面平行的性用面面平行的性质质：一直：一直线线垂直于两平行平面之一，那么必垂直于另一平面垂直于两平行平面之一，那么必垂直于另一平面第九页，编辑于星期五：五点 十二分。【例【例1】如右图，在正方体如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，O为底面正方形为底面正方形 的中心的中心，M为棱为棱DD1的中点，试证的中点，试证：B1O 平面平面MAC.证明：证明：证证法一：如法一：如图图(1)，连结连结AB1、CB1，由由AB1CB1，又，又O为为AC的中点，的中点，B1O AC.连结连结OM、MB1、B1D1，可可证证 ，B1O OM.根据直根据直线线与平面垂直
9、的判定定理知：与平面垂直的判定定理知：B1O 平面平面MAC.第十页，编辑于星期五：五点 十二分。证证法二：如法二：如图图(2)建立直角坐建立直角坐标标系系Dxyz，设设DD11那么那么M、C、B1、O的坐的坐标标分分别为别为(0,0，)、(0,1,0)、(1,1,1)、(，0)(0,1，)，(，1)，0，因此，因此 .同理可同理可证证：，B1O平面平面MAC.第十一页，编辑于星期五：五点 十二分。变式变式1.在四面体在四面体ABCD中，中，ABCD，ACBD，试证：试证：ADBC.证明：证法一：如右图，过证明：证法一：如右图，过A点作点作AO平面平面BCD，垂足为垂足为O，连结，连结BO、C
10、O、DO.由由ABCD，ACBD，根据三垂线定理的逆定理知：根据三垂线定理的逆定理知：BOCD，COBD，那么那么O为为BCD的垂心，的垂心，DOBC.根据三垂线定理知根据三垂线定理知ADBC.第十二页，编辑于星期五：五点 十二分。证证法二：法二：设设 根据条件根据条件 得得a(bc)0，即，即ADBC.点点评评：证证法法一一非非常常典典型型地地表表达达了了三三垂垂线线定定理理和和逆逆定定理理的的应应用用；而而证证法法二二利利用用向向量量将将几几何何问问题题彻彻底底代代数数化化，此此种种方方法法也也可可证证明明三角形的三条高三角形的三条高线线交于一点交于一点.第十三页，编辑于星期五：五点 十二
11、分。1.平面与平面的垂直平面与平面的垂直问题问题可可转转化化为为直直线线与平面的垂直与平面的垂直问题问题解决解决2利利用用平平面面与与平平面面垂垂直直的的性性质质定定理理，可可以以有有所所选选择择地地作作出出一一个个平平面面的的垂垂线线，进进而而可可解解决决空空间间的的成成角角和和距距离离等等问问题题，因因此此作作平平面面的的垂垂线线也也是是立立体几何中最重要的体几何中最重要的辅辅助助线线之一之一第十四页，编辑于星期五：五点 十二分。【例【例2】如右如右图图，l，A，B，点，点 A在直在直线线l上的射影上的射影为为A1，点，点B在在l上的射影上的射影为为B1.已已 知知AB2，AA11，BB1
12、 ，求：，求：(1)直直线线AB分分别别与平面与平面、所成角的大小；所成角的大小；(2)二面角二面角A1ABB1的大小的大小第十五页，编辑于星期五：五点 十二分。解答：解答：如图如图，(1)连结连结A1B，AB1.，l，AA1 l，AA1.A1B为为AB在在内的射影内的射影，ABA1为为AB与与所成的角所成的角，在在Rt AA1B中中，AA11，AB2，ABA130.同理同理 BAB1为为AB与与所成的角，在所成的角，在Rt ABB1中中，BB1 ，AB2，BAB145.第十六页，编辑于星期五：五点 十二分。(2)由由知知BB1，那那么么平平面面平平面面ABB1，作作A1M平平面面ABB1垂垂
13、足足为为M，作作MNAB，垂足，垂足为为N，连结连结A1N(如如图图)，由三垂由三垂线线定理知，定理知，A1NAB，那么，那么A1NM为为二面角二面角A1ABB1的平面角，的平面角，在在RtAA1B1中，中，A1M ，在在RtAA1B中，中，A1N ，在在RtA1NM中，中，sinA1NM ，A1NMarcsin ，所求二面角所求二面角A1ABB1的大小的大小为为arcsin .第十七页，编辑于星期五：五点 十二分。变变式式2.如如以以下下图图，直直二二面面角角DABE中中，四四边边形形ABCD是是边边长长为为2的的正正方方形形，AEEB，F为为CE上的点，且上的点，且BF平面平面ACE.(1
14、)求证求证AE平面平面BCE；(2)求二面角求二面角BACE的大小；的大小；(3)求点求点D到平面到平面ACE的距离的距离 解答：解答：(1)证明：在直二面角证明：在直二面角DABE中，由中，由ABCD是正方形，那么是正方形，那么CB平平 面面AEB，AEBC，又，又BF平面平面ACE，那么，那么AEBF，AE平面平面BCE.第十八页，编辑于星期五：五点 十二分。(2)由由(1)知知平平面面AEC平平面面BCE，又又BF平平面面ACE，那那么么BFEC，连连结结BD与与AC交交于于O点点，连连结结OF(如如图图)，由由三三垂垂线线定定理理的的逆逆定定理理知知FOAC，又又ACBD，那那么么BO
15、F为为二二面面角角BACE的的平平面面角角，在在RtAEB中中，BE ，在在RtEBC中中，BC2，BF ，在，在RtBFO中，中，sinBOF ，BOFarcsin .(3)由由DOBO知知D点到平面点到平面ACE的距离的距离为为BF .第十九页，编辑于星期五：五点 十二分。解决二面角解决二面角问题问题的主要的主要过过程是作程是作图图、论证论证与与计计算，首先要找出二面角的平面算，首先要找出二面角的平面 角，作二面角的平面角方法主要有根据定角，作二面角的平面角方法主要有根据定义义，利用三垂，利用三垂线线定理和逆定理等定理和逆定理等【例【例3】如右如右图图所示，在三棱所示，在三棱锥锥SABC中
16、，中，SA 底面底面ABC，AB BC，DE垂直垂直 平分平分SC且分且分别别交交AC、SC于于D、E，又，又SAAB，SBBC.(1)求求证证：BD 平面平面SAC；(2)求二面角求二面角EBDC的大小的大小解答：解答：(1)证明证明：DE SC且且E为为SC的中点，又的中点，又SBBC，BE SC，根据直根据直线线与平面垂直的判定定理知：与平面垂直的判定定理知：SC 平面平面BDE，SC BD，又，又SA 平面平面ABC，SA BD，因此，因此BD 平面平面SAC.第二十页，编辑于星期五：五点 十二分。(2)由由(1)知知EDC为为二二面面角角EBDC的的平平面面角角，又又SACDEC，E
17、DCASC，在，在RtSAB中，中，A90，设设SAAB1，那么，那么SB .由由SABC，ABBC，BC平平面面SAB，BCSB，在在RtSBC中中，SBBC ，SBC90，那那么么SC2，在在RtSAC中中，A90，SA1，SC2，ASC60，即二面角，即二面角EBDC的大小的大小为为60.第二十一页，编辑于星期五：五点 十二分。变式变式3.如以下图，在四面体如以下图，在四面体PABC中，中，PABC6，PCAB10，AC8，PB2 .F是线段是线段PB上一点，上一点，CF ，点，点E在线段在线段AB 上，且上，且EFPB.(1)证明：证明：BP平面平面CEF；(2)求二面角求二面角BCE
18、F的大小的大小解答：解答：(1)证明：证明：PA2AC2PC2，PA2AB2PB2，PC2CB2PB2，AC2CB2AB2.PACPABPCBACB90，又，又 ，PCBPFC.那么那么PFC90，又，又EFPB，因此，因此PB平面平面CEF.第二十二页，编辑于星期五：五点 十二分。(2)由由(1)PA平面平面ABC，那么，那么PAEC，又，又PB平面平面CEF，CEPB 那那么么CE平平面面PAB，因因此此CEEF，CEEB，那那么么FEB为为二二面面角角BCEF的的平平面面角角，在在ABP中中，tanFEBtanAPB ，FEBarctan .即二面角即二面角BCEF的大小的大小为为arc
19、tan .第二十三页，编辑于星期五：五点 十二分。【方法规律】【方法规律】1(1)在在解解决决直直线线与与平平面面垂垂直直的的问问题题过过程程中中，要要注注意意直直线线与与平平面面垂垂直直定定义义，判判定定定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化(2)利用向量的内积证明线线垂直是非常有效的利用向量的内积证明线线垂直是非常有效的2(1)对对于于二二面面角角问问题题多多数数情情况况下下要要作作出出二二面面角角的的平平面面角角并并加加以以论论证证和和计计算算，同同时时要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个
20、面都是互相垂直的要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的第二十四页，编辑于星期五：五点 十二分。(2)二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二面二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可首角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角的平面角，对于这种方法应引起足够的重视的平面角，对于这种方法
21、应引起足够的重视(3)对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依据的作图理论依据.第二十五页，编辑于星期五：五点 十二分。(此此题题总总分分值值5分分)平平面面与与所所成成的的二二面面角角为为80，P为为、外外一一定定点点，过过点点P的的一一条条直线与直线与、所成的角都是所成的角都是30，那么这样的直线有且仅有，那么这样的直线有且仅有()A1条条 B2
22、条条 C3条条 D4条条第二十六页，编辑于星期五：五点 十二分。解析：如图，过解析：如图，过P分别作分别作、的垂线的垂线PC、PD，其确定的平，其确定的平面与棱面与棱l交于交于Q，假设二面角为，假设二面角为80，AB与平面与平面、成成30角，角，那么那么CPD100，AB与与PD、PC成成60角，因此问题转化角，因此问题转化为过为过P点与直线点与直线PD、PC所成的角为所成的角为60的直线有几条的直线有几条 60，60，这样的直线有这样的直线有4条条答案：答案：D 【答题模板】【答题模板】第二十七页，编辑于星期五：五点 十二分。面面面面垂垂直直的的性性质质定定理理是是立立体体几几何何中中作作辅
23、辅助助线线(平平面面的的垂垂线线)最最重重要要的的理理论论依依据据之之一一对对二二面面角角及及平平面面与与平平面面垂垂直直的的考考查查是是高高考考的的重重点点和和热热点点求求直直线线与与平平面面所所成成的的角角以及二面角的大小，可用几何法，也可利用向量法以及二面角的大小，可用几何法，也可利用向量法(比方利用平面的法向量比方利用平面的法向量)此此题题考考查查直直线线与与平平面面成成角角问问题题，可可利利用用平平面面的的法法线线，将将线线面面位位置置关关系系问问题题转转化化为为线线线线位位置置关关系系实实质质上上是是直直线线a，b相相交交于于点点O，两两相相交交直直线线的的夹夹角角为为100(或或80)，过过O点点作作与与a、b夹夹角角为为60的的直直线线有有几几条条？转转化化思思想想是是解解决决数数学学问问题题非非常常重重要要的的思思想方法，否那么直接求解，难度更大想方法，否那么直接求解，难度更大.【分析点评】【分析点评】点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第二十八页，编辑于星期五：五点 十二分。