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1、(认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定/能运用公理、定理能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题)7.3 7.3 空间中的平行关系空间中的平行关系第一页，编辑于星期五：五点 十二分。1直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内直线在平面内( (无数个公共点无数个公共点) )； (2)直线和平面直线和平面 ( (有且只有一个公共点有且只有一个公共点) )； (3) )直线和平面直线和平面 ( (没有公共点没有公共点) )2线面平行的判定定理：线面平行的判定定理：如果如果
2、一条直线和平面内的一条直线平行，一条直线和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行那么这条直线和这个平面平行相交相交 平行平行平面外的平面外的第二页，编辑于星期五：五点 十二分。3线面平行的性质定理：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平 面和这个平面相交，那么这条直线和交线面和这个平面相交，那么这条直线和交线 4平行平面的定义：平行平面的定义：如果两个平面没有如果两个平面没有 ，那么这两个平面互相平行，那么这两个平面互相平行5平行平面的判定定理：平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条如果一个平面内有两条 直线都
3、平行于另一直线都平行于另一 个平面，那么这两个平面互相平行个平面，那么这两个平面互相平行平行平行公共点公共点相交相交第三页，编辑于星期五：五点 十二分。6推论：推论：如果一个平面内有两条如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面内的两条直直线分别平行于另一个平面内的两条直 线，那么这两个平面互相平行线，那么这两个平面互相平行7平行平面的性质定理：平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面如果两个平行平面同时与第三个平面 ，那么它们，那么它们 的交线平行的交线平行8性质：性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 平行于另一个平面平行于另一个
4、平面相交相交相交相交直线直线第四页，编辑于星期五：五点 十二分。1假设假设P是平面是平面外一点，那么以下命题正确的选项是外一点，那么以下命题正确的选项是() A过过P只能作一条直线与平面只能作一条直线与平面相交相交 B过过P可作无数条直线与平面可作无数条直线与平面垂直垂直 C过过P只能作一条直线与平面只能作一条直线与平面平行平行 D过过P可作无数条直线与平面可作无数条直线与平面平行平行 答案：答案：D第五页，编辑于星期五：五点 十二分。2平面平面外不共线的三点外不共线的三点A，B，C到到的距离都相等，那么正确的结论是的距离都相等，那么正确的结论是() A平面平面ABC必不垂直于必不垂直于 B平
5、面平面ABC必平行于必平行于 C平面平面ABC必与必与相交相交 D存在存在ABC的一条中位线平行于的一条中位线平行于或在或在内内 答案：答案：D第六页，编辑于星期五：五点 十二分。3(2021江西江西)如图，在四面体如图，在四面体ABCD中，假设截面中，假设截面PQMN是正方形，是正方形，那么以下命题中错误的为那么以下命题中错误的为() AACBD BAC截面截面PQMN CACBD D异面直线异面直线PM与与BD所成角为所成角为45 答案：答案：C第七页，编辑于星期五：五点 十二分。4l、m是空间两条不同直线，是空间两条不同直线，、是空间两个不同平面，给出以下四个条件：是空间两个不同平面，给
6、出以下四个条件： 平面平面、都垂直于平面都垂直于平面； 平面平面内存在不共线的三点到平面内存在不共线的三点到平面的距离相等；的距离相等； l、m是平面是平面内两条直线，且内两条直线，且l，m； l、m是两条异面直线，且是两条异面直线，且l，m，l，m.其中可判断平面其中可判断平面与平面与平面平行的条件是平行的条件是_(写出所有正确条件的序号写出所有正确条件的序号)第八页，编辑于星期五：五点 十二分。解析：解析：当当、如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直，如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直，不正确；不正确；当当、相交，相交，内两条平行于交线且关于交线对称的直线上所有点到面内两条平行于交
7、线且关于交线对称的直线上所有点到面的距离相等，的距离相等，不正确；不正确；当当、的交线与的交线与m、l都平行时，满足都平行时，满足l，m，不正确；不正确；l、m为两异面直线，那么可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面为两异面直线，那么可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面，l，m，可以得，可以得，同理可得，同理可得.，得到得到，故，故正确正确答案：答案：第九页，编辑于星期五：五点 十二分。1. 直线与平面平行的判定定理是由线线平行推出线面平行；而直线与平面平行的直线与平面平行的判定定理是由线线平行推出线面平行；而直线与平面平行的性质定理那么是由线面平行推出线线平行，要注意直线与平面平行性质
8、定理性质定理那么是由线面平行推出线线平行，要注意直线与平面平行性质定理和判定定理的交替使用和判定定理的交替使用 2由直线与平面平行，可在该平面内找到直线的平行线，可通过作辅助平面完由直线与平面平行，可在该平面内找到直线的平行线，可通过作辅助平面完成，而直线与平面平行的性质定理那么是作辅助平面的重要理论依据成，而直线与平面平行的性质定理那么是作辅助平面的重要理论依据3证明直线与平面平行可利用空间向量完成，例如可证直线的方向向量与平面证明直线与平面平行可利用空间向量完成，例如可证直线的方向向量与平面的法向量垂直等的法向量垂直等第十页，编辑于星期五：五点 十二分。【例【例1】如右图如右图所示，在空间
9、四边形所示，在空间四边形ABCD中，截面中，截面EFGH为平行四边形，为平行四边形，试证：试证：BD平面平面EFGH，AC平面平面EFGH. 证明：证明：证法一：证法一：截面截面EFGH为平行四边形，为平行四边形，EHFG，根据直线，根据直线 与平面平行的判定定理知：与平面平行的判定定理知：EH平面平面BCD，又，又EH平面平面ABD，平，平 面面ABD平面平面CBDBD，根据直线与平面平行的性质定理知根据直线与平面平行的性质定理知BDEH，因此，因此，BD平面平面EFGH，同理：，同理：AC平面平面EFGH.第十一页，编辑于星期五：五点 十二分。证法二：证法二：如右图如右图，设，设 由由EF
10、GH为平行四边形知：为平行四边形知：mab，且，且mybzc， 即即mb.mb，即，即BDEH，因此，因此BD平面平面EFGH.同理同理AC平面平面EFGH.第十二页，编辑于星期五：五点 十二分。变式变式1.(1)如右图，平面如右图，平面、，l，直线，直线m，m，试用向试用向 量法证明：量法证明：ml； (2)假设假设a、b为异面直线，为异面直线，求证：有且只有一个平面经过求证：有且只有一个平面经过a且与且与b平行平行 证明：证明：(1)如题图，取基向量如题图，取基向量a、b、c作为基底，在直线作为基底，在直线m上取向量上取向量m0，由由m知，知，mac，由，由m知，知，mxbyc，由空间向量
11、根本定理知由空间向量根本定理知0，x0，y，mc，即，即mc，因此，因此ml.第十三页，编辑于星期五：五点 十二分。(2)如图，在直线如图，在直线a上取一点上取一点O，过，过O作作bb，那么那么a与与b确定一个平面，设此平面为确定一个平面，设此平面为，bb，b ，b，b；假设存在假设存在、平面，两平面都经过平面，两平面都经过a，且与，且与b平行，那么平行，那么a，由变式由变式(1)知知ab，此与，此与a、b异面矛盾异面矛盾.第十四页，编辑于星期五：五点 十二分。 平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相交平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出
12、两条相交直线平行于另一平面这是判定两平面平行的主要方法还可以通过一些垂直关直线平行于另一平面这是判定两平面平行的主要方法还可以通过一些垂直关系来判定系来判定第十五页，编辑于星期五：五点 十二分。【例【例2】 正方形正方形ABCD和正方形和正方形ABEF所在平面互相垂直，所在平面互相垂直，M、N分别是对角线分别是对角线 AC和和BF上的点，且上的点，且AMFN. (1)求证：求证：MN平面平面BEC； (2)设正方形的边长为设正方形的边长为a，AMFNb，求，求MN的长；的长； (3)假设假设和和分别表示直线分别表示直线MN和和AC及及MN和和BF所成的锐角，当线段所成的锐角，当线段MN的长度的
13、长度最短时，计算最短时，计算和和的度数的度数第十六页，编辑于星期五：五点 十二分。解答：解答：(1)证法一：如右图证法一：如右图，过点，过点M作作MHAB于于H，那么那么MHBC，且不难知，且不难知RtAMHRtABC. .连结连结HN，又，又AMFN，且，且ACBF， .HNAF，即，即HNBE，平面平面MHN平面平面BEC.MN平面平面BEC.第十七页，编辑于星期五：五点 十二分。证法二：如右图证法二：如右图连结连结AN，并延长与，并延长与BE相交于相交于G，连结，连结CG.AFBG，ANFGNB， .FNAM，ACBF， . ，那么那么MNCG.由于由于MN是平面是平面BGC外的一条直线
14、，外的一条直线，MN平面平面BGC，即，即MN平面平面BEC.第十八页，编辑于星期五：五点 十二分。 (2)如图如图平面平面ABCD平面平面ABEF，MHAB，MH平面平面ABEF.而而HN平面平面ABEF， MHHN.从从(1)可知可知HNAB，又由，又由AC为正方形的对角线，可知为正方形的对角线，可知MHAH，RtANH RtHNM，MNAN.在在ANF中，中，AN2AF2FN22AFNFcosAFNa2b22abcos 45，AN ， MN . (3)由由(2)可知：可知：MN ，当当b a时，时，MN的长度最短此时可求出的长度最短此时可求出60.第十九页，编辑于星期五：五点 十二分。【
15、例例3】 如右图，正三棱柱如右图，正三棱柱ABCA1B1C1中，中，D是是BC的中点的中点，ABa.(1)求证求证：A1DB1C1；(2)求点求点D到平面到平面ACC1的距离的距离； (3)判断判断A1B与平面与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论的位置关系，并证明你的结论 面面平行需要由线面平行判定面面平行需要由线面平行判定，而直线与平面平行问题可以转化为面面平行问题，而直线与平面平行问题可以转化为面面平行问题第二十页，编辑于星期五：五点 十二分。 解答：解答：(1)证法一证法一：点点D是正是正ABC中中BC边上的中点，边上的中点，ADBC.又又AA1底面底面ABC，AA1BC， BC平面
16、平面A1AD. A1DBC，BCB1C1，A1DB1C1. 证法二：如右图所示，证法二：如右图所示，三棱柱三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，为正三棱柱，A1CA1B.点点D是等腰是等腰A1CB的底边的底边BC的中点，的中点，A1DBC.BCB1C1， A1DB1C1.第二十一页，编辑于星期五：五点 十二分。(2)解法一：如解法一：如右图右图，作，作DEAC于于E，平面平面ACC1平面平面ABC，DE平面平面ACC1于于E，即即DE的长为点的长为点D到平面到平面ACC1的距离，在的距离，在RtADC中，中，AC2CDa，AD a，所求距离所求距离DE a.解法二：解法二：设点设点D到平面到平面
17、ACC1的距离为的距离为x， ， a2CC1 aCC1x，解得解得x a，即点，即点D到平面到平面ACC1的距离是的距离是 a.第二十二页，编辑于星期五：五点 十二分。 (3)直线直线A1B平面平面ADC1.以下给出证明：以下给出证明： 证法一：如右图，设证法一：如右图，设A1C交交AC1于于F，那么，那么F为为A1C的中的中点点D是是BC的中点，的中点，DFA1B.又又DF平面平面ADC1，A1B 平面平面ADC1，A1B平面平面ADC1.证法二：如右图，取证法二：如右图，取C1B1的中点的中点D1，那么，那么ADA1D1，C1DD1B，AD平面平面A1D1B，且，且C1D平面平面A1D1B
18、，平面平面ADC1平面平面A1D1B.A1B平面平面A1D1B，A1B平面平面ADC1.第二十三页，编辑于星期五：五点 十二分。变式变式3.如图如图ABCA1B1C1是各棱长均为是各棱长均为a的正三棱的正三棱 柱，柱，D是是 侧棱侧棱CC1的中点的中点(1)求证：平面求证：平面AB1D平面平面ABB1A1； (2)假设假设O为为ABC的中心，的中心，P为为BB1上一点，当上一点，当OP 平面平面AB1D时，试确定点时，试确定点P的位置的位置第二十四页，编辑于星期五：五点 十二分。解答：解答：(1)证明：如图，取证明：如图，取AB1、AB中点分别为中点分别为E、F，连接连接DE，EF，CF，那么
19、那么EF綊綊 BB1，又，又CD綊綊 BB1，那么，那么EF綊綊CD，因此四边形因此四边形CDEF为平行四边形，又面为平行四边形，又面ABC面面AA1BB1，那么那么CF面面AA1B1B，DE面面ABB1A1，又，又DE平面平面AB1D，平面平面AB1D平面平面ABB1A1；(2)由由OP平面平面AB1D，FO平面平面AB1D，知平面，知平面PFO平面平面AB1D，因此因此PFAB1，又，又F为为AB的中点，所以的中点，所以P为为BB1的中点的中点.第二十五页，编辑于星期五：五点 十二分。【方法规律】【方法规律】 1在解决直线与平面、平面与平面平行问题的过程中，要特别注意判定定理和性质定在解决
20、直线与平面、平面与平面平行问题的过程中，要特别注意判定定理和性质定理的联合交替使用理的联合交替使用2可利用共面向量定理证明直线与平面平行和四点共面等问题可利用共面向量定理证明直线与平面平行和四点共面等问题3利用直线和平面平行可进行点到平面距离的转化利用直线和平面平行可进行点到平面距离的转化4直线与平面平行的判定定理及平面与平面平行的性质定理都是极为重要的作图的理直线与平面平行的判定定理及平面与平面平行的性质定理都是极为重要的作图的理论和依据论和依据. 第二十六页，编辑于星期五：五点 十二分。(此题总分值此题总分值12分分)如右图，在长方体如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、P分
21、别是分别是BC、A1D1的中点，的中点，M、N分别是分别是AE、CD1的中点，的中点，ADAA1a，AB2a.(1)求证：求证：MN面面ADD1A1；(2)求二面角求二面角PAED的大小的大小第二十七页，编辑于星期五：五点 十二分。解答：解答：(1)证明证明：如图，取：如图，取CD的中点的中点K，连结，连结MK、NK.M、N、K分别为分别为AE、CD1、CD的中点，的中点，MKAD，NKDD1.MK面面ADD1A1，NK面面ADD1A1.面面MNK面面ADD1A1.MN面面ADD1A1.【答题模板】【答题模板】 第二十八页，编辑于星期五：五点 十二分。 (2)设设F为为AD的中点，的中点，P为
22、为A1D1的中点，的中点，PFD1D.PF面面ABCD. 如上图，作如上图，作FHAE，交，交AE于于H，连结，连结PH那么由三垂线定理得那么由三垂线定理得AEPH， 从而从而PHF为二面角为二面角PAED的平面角在的平面角在RtAEF中，中，AF ， EF2a，AE a，从而，从而FH .在在RtPFH中，中，tanPHF ，故二面角，故二面角PAED的大小是的大小是arctan . 第二十九页，编辑于星期五：五点 十二分。高考考查直线与平面平行、平面与平面平行判定和性质相关的命题正误的判断，高考考查直线与平面平行、平面与平面平行判定和性质相关的命题正误的判断，也可能考查线面平行的有关证明和计算问题通过线面平行和面面平行的证明，也可能考查线面平行的有关证明和计算问题通过线面平行和面面平行的证明，可以进行点到平面距离以及异面直线之间距离的转化等可以进行点到平面距离以及异面直线之间距离的转化等第一问考查了直线和平面平行的证明，可以利用几何法，也可利用向量法给以证第一问考查了直线和平面平行的证明，可以利用几何法，也可利用向量法给以证明明此题第一问实质上源于教材习题，此题第一问实质上源于教材习题，如上图，如上图，AB，ACBD，C，D，求证求证ACBD. 【分析点评】【分析点评】 点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第三十页，编辑于星期五：五点 十二分。