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1、朱连华Tel：13675122648南京信息工程大学数理学院统计系E-mail:概率论与数理统计概率论与数理统计第一节第一节 大数定律大数定律一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入实例实例频率的稳定性频率的稳定性随着试验次数的增加随着试验次数的增加,事件发生的频率逐渐稳事件发生的频率逐渐稳定于某个常数定于某个常数.启示启示:从实践从实践中人们发现中人们发现大量测量值大量测量值的算术平均的算术平均值有稳定性值有稳定性.单击图形播放单击图形播放/暂停暂停ESC
2、ESC键退出键退出定理一（定理一（契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况）表达式的意义表达式的意义二、基本定理二、基本定理证明证明由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得并注意到概率不能大于并注意到概率不能大于1,则则定理一的另一种叙述定理一的另一种叙述:定理二（定理二（伯努利大数定理伯努利大数定理）关于辛钦定理的说明关于辛钦定理的说明:(1)与定理一相比与定理一相比,不要求方差存在不要求方差存在;(2)伯努利定理是辛钦定理的特殊情况伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.定理三（定理三（辛钦定理辛钦定理）第二节第二节 中心极限定理中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理
3、三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入实例实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和小误差的总和,这些因素包括这些因素包括:瞄准误差、测量瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等如外形、重量等)的的误差以及射击时武器的振动、气象因素误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、如风速、风向、能见度、温度等风向、能见度、温度等)的作用的作用,所有这些不同所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的因素所引起的微小误差是相互独立
4、的,并且它并且它们中每一个对总和产生的影响不大们中每一个对总和产生的影响不大.问题问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况研究其概率分布情况.二、基本定理二、基本定理定理四（定理四（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）定理四表明定理四表明:李雅普诺夫李雅普诺夫定理五定理五(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量定理五表明定理五表明:(如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理六是定理四的特殊情况下面介绍的定理六
5、是定理四的特殊情况.提示：提示：德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理六定理六(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)定理表明：定理表明：正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布,当当n充分大时充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的可以利用该定理来计算二项分布的概率概率.下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.三、典型例题三、典型例题解解由定理四由定理四,随机变量随机变量 Z 近似服从正态分布近似服从正态分布 N(0,1),例例1其中其中 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇角
6、大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,例例2所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理四、小结四、小结三个中心极限定理三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布.