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1、第第2章概率论章概率论 2.1 随机变量的概念随机变量的概念2.1.1 随机变量的概念随机变量的概念 每一个试验结果（样本点）每一个试验结果（样本点）s都对应着都对应着一个实数一个实数X(s),即在样本空间即在样本空间S上定义了一个上定义了一个实值函数实值函数X=X(s)。反过来，一个实数。反过来，一个实数X即是即是对具有对具有“属性属性X”的随机事件的标识，随机事的随机事件的标识，随机事件发生的概率即是标识随机事件的实数件发生的概率即是标识随机事件的实数X发发生的概率，因而生的概率，因而X又具有随机性。这种取值又具有随机性。这种取值是随机的变量就称为随机变量。是随机的变量就称为随机变量。X
2、=0 ，1 ，2 试验结果试验结果 =TT，HT,TH，HH相应概率相应概率 =1/4，1/2，1/4例例2.1.1 抛掷均匀硬币两次，用抛掷均匀硬币两次，用X 表示表示 正面正面 H 出现的次数。出现的次数。X 的概率分布也可以表格的形式表示：的概率分布也可以表格的形式表示：X 0 1 2 p 1/4 1/2 1/4例例2.1.2 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过,如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X X(s s)的所有可的所有可能取值为能取值为:X(s)=此人的等车时间，此
3、人的等车时间，2.1.2 随机变量的基本分类随机变量的基本分类1.离散型随机变量：离散型随机变量：试验结果的可能取值试验结果的可能取值为可列个。为可列个。如前面提到的废品数、骰子点数和顾客人如前面提到的废品数、骰子点数和顾客人数等。数等。2.连续型随机变量：连续型随机变量：所有可能的取值是所有可能的取值是 不可数无穷，即在某个连续区间或整个不可数无穷，即在某个连续区间或整个 实数轴上取值。实数轴上取值。如测量误差和洪峰值等都是连续型随机变如测量误差和洪峰值等都是连续型随机变量。量。2.1.3 概率分布的概念概率分布的概念 把能够描述随机变量的全部可能取值以及把能够描述随机变量的全部可能取值以及
4、它取道这些值所对应的概率关系称为随机变量它取道这些值所对应的概率关系称为随机变量的概率分布律，简称概率分布。随机变量的概的概率分布律，简称概率分布。随机变量的概率分布即是随机变量取值的概率分布规律。概率分布即是随机变量取值的概率分布规律。概率关系可以是函数、表或图等形式，分别叫随率关系可以是函数、表或图等形式，分别叫随机变量的概率分布函数（简称概率函数）、概机变量的概率分布函数（简称概率函数）、概率分布表和概率分布图。率分布表和概率分布图。随机变量通常用英文大写字母随机变量通常用英文大写字母X,Y,Z 等，等，而它的取值通常用英文小写字母表示。而它的取值通常用英文小写字母表示。1.举出几个你所
5、熟悉的能用随机变量来描述举出几个你所熟悉的能用随机变量来描述的社会或生活现象的社会或生活现象习题习题 2.1 2.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布2.2.1 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律只取有限多或者可数无穷多个值的随机变量只取有限多或者可数无穷多个值的随机变量1.分布律分布律(或概率分布或概率分布)指离散随机变量所有可能的取值以及指离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率。分布律一般表示成：相应的概率。分布律一般表示成：P X=xi =pi,i =1,2,;2.概率分布表的一般形式概率分布表的一般形式 pi 0,i =1,2,;i 1 pi =1 X x1 x
6、2 x3 xi pi p1 p2 p3 pi 3.分布律的基本性质分布律的基本性质例例2.1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为解解.由由0.05c+0.1c+0.15c+0.15c+0.25c+0.3c=1得得c=1.PX=-2=0;PX0=PX=-5+PX=-3+PX=-1=0.3;PXG=P-3X2+P4X7 =PX=-1+PX=6=0.45X -5 -3 -1 2 3 6pi 0.05c 0.1c 0.15c 0.15c 0.25c 0.3c 例例2.2 按照遭受损伤影响的不同，飞机机身分按照遭受损伤影响的不同，飞机机身分为两个部分，要击落飞机就必须击中第一部分或为
7、两个部分，要击落飞机就必须击中第一部分或第二部分三次。设炮弹击中飞机时，第一部分命第二部分三次。设炮弹击中飞机时，第一部分命中的概率是中的概率是0.3，第二部分命中的概率是，第二部分命中的概率是0.7。假。假定每次射击均能击中飞机，求击落飞机的射击次定每次射击均能击中飞机，求击落飞机的射击次数数X的分布律。的分布律。解解：题意表明题意表明X只有三种可能取值只有三种可能取值1,2,3,X的分的分布律为布律为PX=1=0.3，PX=2=0.70.3=0.21，PX=3=0.70.70.3+0.70.70.7=0.49.结果显示：被击落飞机是由结果显示：被击落飞机是由3次射击击落的概率次射击击落的概
8、率接近接近50%，是由，是由1次射击击落的概率达次射击击落的概率达30%，而，而由由2次射击击落的概率最低，仅为次射击击落的概率最低，仅为21%。练习练习2.2.2 离散分布涉及的几个数列求和公式离散分布涉及的几个数列求和公式(0 x 1)1+x+x2 +xn =1 x n+1 1 x 1+x+x2 +=11 x 1+2x+3x2 +4x3+=1(1 x)2 对任意实数对任意实数 x，有，有Taylor 展开：展开：e x=1+x+x2 x3 xk 2!3!k!2.2.2 常见的离散型随机变量及其常见的离散型随机变量及其分布分布1.01变量及其分布变量及其分布(也称两点分布或伯努利也称两点分布
9、或伯努利分布分布)记为记为 X B(1,p)，0 p1。它只取它只取 0 和和1 两个可能值，分布律为：两个可能值，分布律为：P X=k =pkq1-k，k=0,1(q=1-p,0pp1,说明第二种维护方式更有利于及时维说明第二种维护方式更有利于及时维 修。第二种维护方式，每人平均维护近修。第二种维护方式，每人平均维护近27台台,任务重了工作效率反而提高，说明工作中合任务重了工作效率反而提高，说明工作中合作的重要性。作的重要性。这个例子说明，可以用概率方式来讨论这个例子说明，可以用概率方式来讨论过名经济的某些问题，以达到更有效使用人过名经济的某些问题，以达到更有效使用人力、资源的目的。力、资源
10、的目的。3.Poisson(泊松泊松)变量及其分布变量及其分布，X ()当当n很大时，给出二项变量分布律的具很大时，给出二项变量分布律的具体结果是相当困难的，可是在实际中又经常体结果是相当困难的，可是在实际中又经常会碰到会碰到n很大的情形。对于很大的情形。对于“n很大但很大但p或或q很很小小”的二项变量，泊松的二项变量，泊松(Poisson)给出了有名给出了有名的的“二项分布的泊松逼近二项分布的泊松逼近”定理。定理。定理定理(泊松定理泊松定理)在在n重伯努利试验中，重伯努利试验中，设一次试验中事件设一次试验中事件A发生的概率为发生的概率为pn(pn与实与实验次数验次数n有关有关)。若。若lim
11、nnpn=(0,为常数为常数)，则对任意非负整数，则对任意非负整数kn，有，有 limn pnkqnn-k=k/k!e.显然显然P P X X=k k=k/k!e 0,k=0,1,且且 P P X X=k k=k=0 k/k!e =e k=0 k/k!=e e=1 所以二项分布的极限情形所以二项分布的极限情形 P P X X=k k=k/k!e,k=0,1,(0)称为参数为称为参数为的泊松分布，的泊松分布，X X则称为泊松变量。则称为泊松变量。泊松分布是二项分布的极限情形，因此可泊松分布是二项分布的极限情形，因此可以用二项分布逼近泊松分布，但在实际中更常以用二项分布逼近泊松分布，但在实际中更常
12、见的是以泊松分布近似表示二项分布，一般当见的是以泊松分布近似表示二项分布，一般当n很大、很大、p或或q很小时，有如下近似公式很小时，有如下近似公式 pkqn-k k/k!e,k=0,1,2,n,其中其中=np.在实际应用中，当在实际应用中，当n50,p0.1,且且np5(或或nq5)时，就可以利用泊松分布作近似计算。时，就可以利用泊松分布作近似计算。可能取值是所有非负整数可能取值是所有非负整数 0，1，2，；分布律为：分布律为：P X=k =e ，k 0 这里泊松分布的参数这里泊松分布的参数 0。泊松分布的图形泊松分布的图形泊松分布随机数泊松分布随机数演示演示泊松分布的背景及应用泊松分布的背景
13、及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他他们做了们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布.在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤
14、次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水上面我们提到上面我们提到单击图形播放单击图形播放/暂停暂停ESCESC键退出键退出二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 设设1000 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X X,则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算所求概率为所求概率为解解例例2.5 2.5 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0
15、.0001,0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2 2的概率是多少的概率是多少?例例2.6 某种化验方法得出错误结论的概率是某种化验方法得出错误结论的概率是0.005,做做400次独立试验，若有次独立试验，若有5次以上得出错误结论，次以上得出错误结论，就认为这种化验方法不能推广使用。试说明此化就认为这种化验方法不能推广使用。试说明此化验方法可以推广的可能性。验方法可以推广的可能性。解解.以以 X 记得出错误结论的次数记得出错误结论的次数，则，则X B (400,0.005)。由于。由于n=400
16、,p=0.005,且且=np=25，故可用泊松分布作近似计算。该检验方法可以故可用泊松分布作近似计算。该检验方法可以 推推广的概率为广的概率为PX5=k5=0 0.005k0.995400-k 2k/k!e 2 0.9834推广的概率接近推广的概率接近1，说明可以推广此化验方法。，说明可以推广此化验方法。4.超几何变量及其分布超几何变量及其分布 超几何概型：有超几何概型：有N件产品，其中件产品，其中M件为次件为次品，从中抽取品，从中抽取n件，则抽取出的次品数件，则抽取出的次品数X的分的分布律布律 PX=k=,k=l1,l1+1,l2称为参数为称为参数为N,M,n的超几何分布，并记的超几何分布，
17、并记XH(N,M,n)，其中，其中l1=max0,n-(N-M),l2=minn,M。X则称为超几何变量。则称为超几何变量。例例2.7 甲、乙两箱装有同种产品，甲箱中有合格甲、乙两箱装有同种产品，甲箱中有合格品与次品各品与次品各3件，乙箱中仅有件，乙箱中仅有3件合格品。今从件合格品。今从甲箱中任取甲箱中任取3件产品放入乙箱，求乙箱中次品数件产品放入乙箱，求乙箱中次品数的分布律。的分布律。解解 乙箱中原本没有次品，所以若出现次品，乙箱中原本没有次品，所以若出现次品，一定出自那一定出自那3件产品。因此乙箱中出现的次件产品。因此乙箱中出现的次品数品数X即为从甲箱中取出的即为从甲箱中取出的3件产品中含
18、有的件产品中含有的次品数，它显然服从参数为次品数，它显然服从参数为N=6，M=3,n=3的超几何分布，即的超几何分布，即PX=k=,k=0,1,2,3详细结果为详细结果为 X 0 1 2 3 p 1/20 9/20 9/20 1/205.几何变量及其分布几何变量及其分布 重复独立地做伯努利试验，直到事件重复独立地做伯努利试验，直到事件A(P(A)=p,0p1)首次发生为止所进行的试首次发生为止所进行的试验次数验次数X的分布律的分布律 PX=k=qk-1p,k=1,2,(q=1-p)例例2.8 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为p p,对该批产品做对该批产品做有放回的抽样检查有放回的抽样检
19、查,直到第一次抽到一只次品为直到第一次抽到一只次品为止止(在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品),),那么所抽到的产那么所抽到的产品数品数 X X 是一个随机变量是一个随机变量,求求X X 的分布律的分布律.称为参数为称为参数为p的几何分布，记的几何分布，记XG(p)。X则称则称为几何变量。为几何变量。所以所以 X X 服从几何分布服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验“首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解习题习题2.2 求解求解 9、11、17题题2.3 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布2.3.1 连续随机变量的概率密度函数连
20、续随机变量的概率密度函数所有可能取值是连续区间的随机变量所有可能取值是连续区间的随机变量 如果存在实数域上的非负可积函数如果存在实数域上的非负可积函数 f(x)，使对任意实数使对任意实数a,b(a3.3.因而有因而有设设Y Y 表示表示3 3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3 3的次数的次数,则则 e-x，x 0 f(x)=0 ，x 0 2.指数变量及其分布指数变量及其分布,X E()则则X为指数变量，称其服从参数为指数变量，称其服从参数 (0)的指数分布。的指数分布。(1)概率密度函数：概率密度函数：(2)指数变量的密度函数图像指数变量的密度函数图像o xf(x)指数分布是一种特
21、殊的指数分布是一种特殊的 Gamma 分布。分布。在工程领域的可靠性理论、排队论中具有在工程领域的可靠性理论、排队论中具有重要应用，一般用它来描述重要应用，一般用它来描述“寿命寿命”的分布。的分布。例如：例如：电子元件寿命，动物的寿命，通讯问题中电子元件寿命，动物的寿命，通讯问题中的通讯时间，随机服务系统中的服务时间以及的通讯时间，随机服务系统中的服务时间以及复杂系统中接连两次故障的间隔等等。复杂系统中接连两次故障的间隔等等。指数分布的背景知识指数分布的背景知识例例2.12 2.12 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X X 服从参数为服从参数为 =1/2000的指数分布的指数
22、分布(单位单位:小时小时).).(1)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管,求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率.(2)(2)有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用10001000小时以上的概率小时以上的概率.X X 的分布函数为的分布函数为解解指数分布的重要性质指数分布的重要性质:“无记忆性无记忆性”.3.正态变量及其分布，正态变量及其分布，X N(,2)(1)概率密度函数：概率密度函数：其中其中 +，0 是常数是常数 概率论中最重要的分布，它是概率论中最重要的分布，它是随机现象正常状态下的分布。随机
23、现象正常状态下的分布。一般的，如果某个数量指标受到大量的一般的，如果某个数量指标受到大量的随机因素的影响，因素之间基本没有关系，随机因素的影响，因素之间基本没有关系，而且每个因素所起的作用都很小，那么这个而且每个因素所起的作用都很小，那么这个数量指标就近似服从正态分布。数量指标就近似服从正态分布。概率论中很多重要分布都与正态分布有关。概率论中很多重要分布都与正态分布有关。许多分布都可以用正态分布近似，另外一些分许多分布都可以用正态分布近似，另外一些分布又可以通过正态分布来导出。布又可以通过正态分布来导出。(2)正态变量的密度函数图像正态变量的密度函数图像(1)曲线关于曲线关于x=对称；对称；(
24、2)当当x=时，时，f(x)取得最大值取得最大值;(3)当当x 时，时，f(x)0;(4)曲线在曲线在x=处有拐点；处有拐点；(5)曲线以曲线以x轴为渐进线；轴为渐进线；正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征(6)当固定当固定 ，改变，改变的大小时，的大小时，f(x)图形的图形的形状不变，只是沿着形状不变，只是沿着x轴作平移变换；轴作平移变换；正态分布密度函数图形正态分布密度函数图形演示演示(7)当固定当固定，改变，改变 的大小时，的大小时，f(x)图形的对图形的对称轴不变，而形状在改变，称轴不变，而形状在改变，越小图形越高越越小图形越高越瘦，瘦，越大，图形越矮越胖。越大，图形越
25、矮越胖。正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法方法:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算参数参数 =0，=1 的正态分布的正态分布4.标准正态分布，标准正态分布，X N(0,1)(1)标准正态分布的密度函数标准正
26、态分布的密度函数(2)设函数设函数在在x处的函数值即是标准正态变量在处的函数值即是标准正态变量在(-,x内内取值的概率，取值的概率，(x)的函数值已制作成标准正态的函数值已制作成标准正态分布函数表分布函数表(见附录二见附录二)。(0)=1/2;F(-x)=1-(x)；F(x)是是x的单调增函数；的单调增函数；F(-)=0.(+)=1.(3)标准正态分布的特点标准正态分布的特点 (x)(-x)1-(x)-x o x标准正态分布的图形标准正态分布的图形(4).(4).一般正态分布概率的计算一般正态分布概率的计算证明证明(5).正态分布的正态分布的“3”原则原则对任意参数的正态分布对任意参数的正态分
27、布 N(,2)，P|X-|=2 (1)-1 =0.6826，P|X-|2 =2 (2)-1 =0.9544，P|X-|3 =2 (3)-1 =0.9974。下面的两个说法是否合理？下面的两个说法是否合理？(1)某次测量误差近似服从某次测量误差近似服从 N(0,0.01)，(2)某城市成年男子身高近似服从某城市成年男子身高近似服从 N(170,36)。(1)(1)所求概率为所求概率为解解例例2.13 将一温度调节器放置在贮存着这种液体的将一温度调节器放置在贮存着这种液体的容器内。调节器定在容器内。调节器定在d do oC C，液体的温度，液体的温度X(X(以以o oC C计计)是一个随机变量，且
28、是一个随机变量，且X X N N(d d,0.5,0.52 2)。(1)(1)若若d=90d=90，求，求X X小于小于8989的概率。的概率。(2)(2)若要求保持液体的温度至少为若要求保持液体的温度至少为80 80 o oC C的概率不的概率不低于低于0.990.99，问，问d d至少为多少？至少为多少？习题习题 2.31-4.教材教材 49 页页 第第 4、10、11、15题题。2.4 随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.4.1 分布函数的定义分布函数的定义说明说明(1)(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况值的概率情况.定义定
29、义 设设X是一个随机变量，是一个随机变量，x是任意实数，函数是任意实数，函数 F(x)=PXx称为称为X的分布函数。的分布函数。(2)分布函数分布函数F(x)是是x的一个普通实函数。的一个普通实函数。证明证明2.4.2 分布函数的主要性质分布函数的主要性质即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.重要公式重要公式证明证明分布函数分布函数分布律分布律离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布函数离散型随机变量分布函数演示演示例例2.14 一只袋中有一只袋中有6个球，一个标有个球，一个标有-2、三个、三个标有标有1、两个标有、两个标有3。今从
30、口袋中任取一个球，。今从口袋中任取一个球，并以并以X记球上标有的数字，求记球上标有的数字，求X的分布函数。的分布函数。解：解：X的分布律为的分布律为PX=-2=1/6,PX=1=1/2,PX=3=1/3。X的分布函数为的分布函数为例例2.15 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2m m的圆盘的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X X 的分布函数的分布函数.解解当当x1=1-(1+)e-.例例2.21 设随机变量设随机变量XN(0,1)，随机变量，随机变量求求Y的概率分布。的概率分布。解解 X是连续型变量，但产生是连续型变量，但产生Y的函数是非连的函数是非连续函数。续函数。Y只取只取-1，1，故是离散型随机变，故是离散型随机变量，其分布律为量，其分布律为PY=-1=PX0=0.5，PY=1=PX0=0.5.习题习题 2.51.教材教材 59页页 第第 9题题；2.已知已知 X U(0,1)，求，求 2+5X 的的密度函数；密度函数；3.已知已知 X N(0,1)，求，求 X 2 的的密度函数。密度函数。