《概率论第5章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论第5章.ppt（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题本章要解决的问题 1.1.为何能以某事件发生的频率为何能以某事件发生的频率2.2.作为该事件的概率的估计？作为该事件的概率的估计？2.2.为何能以样本均值作为总体为何能以样本均值作为总体3.3.期望的估计？期望的估计？3.3.为何正态分布在概率论中占为何正态分布在概率论中占4.4.有极其重要的地位？有极其重要的地位？4.4.大样本统计推断的理论基础大样本统计推断的理论基础5.5.是什么？是什么？答复答复大数大数定律定律中心极中心极限定理限定理研究两方面问题：研究两方面问题：（大数定律大数定律）（中心极限定理中心极限定理
2、）为一列随机变量，当为一列随机变量，当n n无限增大时，无限增大时，是否趋近某一个常数？是否趋近某一个常数？(2)(2)n n充分大时，充分大时，服从什么分布？服从什么分布？第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第一节第一节 大大 数数 定定 律律第二节第二节 中心极限中心极限 定定 理理第一节第一节 大大 数数 定定 律律主要内容：主要内容：一、契比雪夫不等式一、契比雪夫不等式二、三个常用的大数定理二、三个常用的大数定理第一节第一节 大大 数数 定定 律律切比雪夫切比雪夫 伯努利伯努利 辛钦辛钦 存在常数存在常数 使得对于任意的使得对于任意的 有有定义定义 设设为一列随机
3、变量，如果为一列随机变量，如果 记记为为 则称则称依依概率收敛于概率收敛于 设设为一为一随机变量随机变量,其数学期望其数学期望和和方差方差都都存在，则对于任意存在，则对于任意有有证证:设设X的概率密度为的概率密度为则则一、契比雪夫不等式一、契比雪夫不等式X为连续型为连续型r.V，由切比雪夫不等式可以看出由切比雪夫不等式可以看出,若若 越小，则事越小，则事件件|X-E(X)|的概率越大，即的概率越大，即随机变量随机变量 X 集中集中在期望附近的可能性越大在期望附近的可能性越大.也说明方差大小反映随机变量也说明方差大小反映随机变量切比雪夫不等式的一个等价形式是切比雪夫不等式的一个等价形式是 取值的
4、分散程度。取值的分散程度。已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数平均是每毫升白细胞数平均是7300,均方差是均方差是700.利用契比雪夫不等式估计每毫升白利用契比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在细胞数在 5200 9400 之间的概率之间的概率 解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为 X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求所求例1.例例2 2 一电网有一电网有1 1万盏路灯，万盏路灯，晚上每盏灯开的概率为晚上每盏灯开的概率为0.7,0.7,求同时开的灯数在求同时开的灯数在68006800至至72007200之间的概率。之间的概率。解解:设设X
5、X为同时开的灯数为同时开的灯数,例例3 随机掷随机掷4颗骰子，利用切比雪夫不等式估计颗骰子，利用切比雪夫不等式估计4颗骰子出现的点数之和在颗骰子出现的点数之和在10至至18之间的概率。之间的概率。解解设设 表示第表示第i（i=1,2,3,4)颗骰子出现的点数颗骰子出现的点数X表示点数之和，表示点数之和，独立，独立，例例 设每次试验中，事件发生的概率为设每次试验中，事件发生的概率为0.75,0.75,试用试用 ChebyshevChebyshev 不等式估计不等式估计,多大时多大时,才能在才能在 次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件出现的频率在出现的频率在0.74 0.74 至至 0.76
6、 0.76 之间的概率大于之间的概率大于 0.90?0.90?解解 设设表示表示次独立重复试验中事件发生的次独立重复试验中事件发生的次数次数 ,则则X X B B(n n,0.75),0.75)要使要使，求，求 n n例2即即即即由由 ChebyshevChebyshev 不等式不等式，=0.010.01n,n,故故令令解得解得即即定理一定理一（切比雪夫大数定律）（切比雪夫大数定律）量，且具有相同的数学量，且具有相同的数学期望期望 和方差和方差 设设为一列相互独立的随机变为一列相互独立的随机变即即二、三个常用的大数定理二、三个常用的大数定理证明：证明：利用切比雪夫不等式，对于任意的利用切比雪夫
7、不等式，对于任意的 有有所以所以的值将比较紧密的聚集在的值将比较紧密的聚集在 的附近。的附近。表明：表明：n充分大时充分大时,经算术平均后得到的随机变量经算术平均后得到的随机变量-算术平均法则算术平均法则例：物理上误差的测量。例：物理上误差的测量。定理二（定理二（辛钦大数定律辛钦大数定律）为一列为一列相互独立同分布的相互独立同分布的随机变量，且具有相同的数学期望随机变量，且具有相同的数学期望 即即设设在定理一中在定理一中,去掉方差存在的条件而加上相同去掉方差存在的条件而加上相同分布的条件，则有：分布的条件，则有：（证明略）（证明略）定理三（伯努利大数定律）定理三（伯努利大数定律）设设事件事件在
8、在每次试验中出现的概率为每次试验中出现的概率为 p,在在n次重复独立试验中出现的频率为次重复独立试验中出现的频率为 即即证：引入随机变量证：引入随机变量则由定理二，随机变量序列则由定理二，随机变量序列 有有 且且试验次数很大时，便可以用事件的频率代替概率试验次数很大时，便可以用事件的频率代替概率。例：例：如何估计一大批产品的次品率？如何估计一大批产品的次品率？解解抽取抽取n件产品，件产品，为其中次品的件数为其中次品的件数。设设A为事件为事件“任取一件为次品任取一件为次品”，由伯努利大数定律知由伯努利大数定律知当当n很大时，可取很大时，可取 作为次品率作为次品率 的估计值的估计值。第五章第五章
9、大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第一节第一节 大大 数数 定定 律律第二节第二节 中心极限中心极限 定定 理理第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响产生的总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响随机因素的影响.空气阻力所产生的误差等空气阻力所产生的误差等如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由大
10、量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大.则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布般都服从或近似服从正态分布.在概率论中，习惯于把随机变量和的在概率论中，习惯于把随机变量和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理第二节第二节 中心极限中心极限 定定 理理主要内容：主要内容：一、独立同分布的中心极限定理一、独立同分布的中心极限定理二、德莫佛二、德莫佛拉普拉斯拉普拉斯 由于由于n个随机变量之和可能趋于个随机变量之和可能趋于，故我们，故我们不研究
11、不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量化的随机变量的分布函数的极限的分布函数的极限.的随机变量，且具有数学期望和方差，的随机变量，且具有数学期望和方差，定理定理1 1任意实数任意实数 有有其中其中为标准正态分布的分布函数。为标准正态分布的分布函数。设设为一列相互独立相同分布为一列相互独立相同分布则则对于对于一、独立同分布的中心极限定理一、独立同分布的中心极限定理若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从正态分布，标准化后
12、就服从标准正态分布。正态分布，标准化后就服从标准正态分布。对任意对任意 有，有，例例1 1 某射手打靶，得分数某射手打靶，得分数X的分布律为的分布律为0.1 80.5 100.3 97 76 60.050.05 0.050.05设射击设射击100100次，求总分不超过次，求总分不超过930930分的概率；分的概率；在在900-930900-930之间的概率。之间的概率。解解 表示第表示第i次射击所得分数，次射击所得分数，有有其中其中为为标准正态分布的分布函数。标准正态分布的分布函数。这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布项项分布的概率。分布的概率。
13、很大时，我们便可以利用定理很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二来近似计算二当当定理定理 2 则对于任意实数则对于任意实数设设二、德莫佛二、德莫佛拉普拉斯拉普拉斯 设一个系统由设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工作，。为了使整个系统正常工作，至少必须有至少必须有85个部件正常工作，求整个系统正常工作个部件正常工作，求整个系统正常工作的概率。的概率。解：设解：设 X 是损坏的部件数，则是损坏的部件数，则由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理有拉普拉斯定理有例例1.则整个系统能正常工作当且仅当则整个
14、系统能正常工作当且仅当 X 15.某单位有某单位有200台电话分机，每台分机有台电话分机，每台分机有5%的时间的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？以上的概率保证分机用外线时不等待？解解:设有设有X部分机同时使用外线，则有部分机同时使用外线，则有设有设有N 条外线。由题意有条外线。由题意有例例2.由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯定理有拉普拉斯定理有查表得查表得故故N应满足条件应满足条件 即即 例例3:粮仓内老鼠的数
15、目服从泊松分布粮仓内老鼠的数目服从泊松分布,且仓内无鼠且仓内无鼠的概率的概率求求200个仓内老鼠总数超过个仓内老鼠总数超过350只的概率只的概率解解:设第设第i个粮仓内老鼠数目为个粮仓内老鼠数目为则则独立且同分布独立且同分布得得作业作业 设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独立且均值为个相互独立且均值为0,0,方差为方差为 2 2=2=2的随机变量的随机变量 Y Yn n，并满足并满足其中其中X Xn n是第是第n n天该商品的价格天该商品的价格.如果今天的价格为如果今天的价格为100100，求，求1818天后该商品的价格在天后该商品的价格在 96 96 与与 104 104 之间之间的概率的概率.思考题思考题解：解：设设 表示今天该商品的价格表示今天该商品的价格,为为1818天后该商品的价格天后该商品的价格,则则得得