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1、第三章第三章 随机变量（向量）的数字特征随机变量（向量）的数字特征3.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望3.2 随机变量的方差随机变量的方差3.3 协方差与相关系数协方差与相关系数 为了完整的描述随机变量的统计特性，自然应该知道其分布函数，因为随机变量的分布函数可以反映随机变量取值的规律。但是在实际问题中，一方面随机变量的分布或分布函数并不都是容易求得的，另一方面，往往也不需要知道随机变量的详尽的概率分布，而仅需要知道其某些特征就够了。例如，为了解一个国家或地区人们的生活水平，我们并不需要知道该国家或地区每人的消费标准，而只需要知道每人每年的平均消费量以及每人每年消费量与平均消费的偏离程
2、度。又如评价一批灯泡的质量，人们关 心的是该批灯泡的平均寿命以及灯泡寿命与平均寿命的偏离程度，平均寿命长，灯泡之间寿命差异小，该批灯泡质量就好。了解某个班某门课程的学习成绩，既关心该班的平均成绩，也关心成绩之间的分散程度。在概率论中，把描述随机变量某些特征的数叫做随机变量的数字特征。数学期望（或均值）与方差是随机变量最重要的两个数字特征。本章介绍数学期望、方差、相关系数等概念。3.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望Mathematical ExpectationMathematical Expectation以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均，反映了这，反映了这7位同学该门课程
3、成位同学该门课程成绩的平均状态。绩的平均状态。引例引例:设7位同学某门课程的成绩为:90,85,85,80,80,75,60,则他们该门课程的平均成绩为 一般的，设变量 有 个取值,其中不同的取值有 个不妨设前 个取值互不相同,且取不同值的频数为 ,则n个值的平均值为 上式表示:随机变量的平均值等于其所有可能取值与取相应值的概率乘积之和.把上式推广得到随机变量的数学期望的概念.一、数学期望的定义一、数学期望的定义1.离散型随机变量的数学期望Def 设离散型随机变量的概率分布为 例例3.1已知随机变量X的分布律为4561/41/21/4求数学期望解：解：由数学期望的定义2.连续型随机变量的数学期
4、望Def 设连续型随机变量的概率密度为，若广义积分例 3.2 设随机变量 的概率密度函数为求 的数学期望。解：二、几个常见的随机变量的数学期望几个常见的随机变量的数学期望1.等概分布由数学期望的定义2.两点分布由数学期望的定义013.二项分布 若随机变量 ，其概率函数为 该式可以直接按照离散型随机变量的数学期望的定义证明，也可以按照数学期望的性质证明（见后）。4.泊松分布已知随机变量5.超几何分布 若随机变量 6.均匀分布 若随机变量 7.指数分布 若随机变量 8.8.正态分布正态分布三、二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望1.(X1.(X,Y)Y)为二维离散型随机变量2.(X,Y2.(
5、X,Y)为二维连续型随机变量例例3.3 设(X,Y)的联合密度为1 11 13 3解：解：四、随机变量函数的数学期望1.一元随机变量函数的情况设是随机变量 X的函数，（1 1）离散型）离散型（2 2）连续型）连续型该公式的重要性在于:当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.例例3.4解：解：因为2.二元随机变量函数的情况（1 1）离散型）离散型（2 2）连续型）连续型例例3.5例例3.6 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为五、随机变量数学期望的性质 1.设C是常数，则E(C)=C；2.若k是常数，则E(kX)=kE
6、(X)；3.4.设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)；请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立证明：证明：这里只证明性质3,4利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。5.若随机变量 的取值非负,且 存在,则 推论:6.设 的数学期望存在,则有 证明:对于任意的实数,由于 这个不等式称作Cauchy-Schwarz不等式.例例3.7 设随机变量XB(n,p)，求二项分布的数学期望。XB(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。解：解：例例3.8 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1+
7、p2设产生故障的仪器数目为X则X的所有可能取值为0,1,2解解:所以，产生故障的仪器数目的数学期望六、条件数学期望1.离散型随机变量的条件数学期望 Def 设离散型随机变量 在 的条件下概率函数为下的条件数学期望，简称条件期望，记作 ，即 类似的，随机变量 在 的条件下的条件期望为2.连续型随机变量的条件数学期望Def 设连续型随机变量 在 的条件下的条件概率密度函数为 ，又类似的，随机变量 在 的条件下的条件数学期望为。无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，在 给定条件下的数学期望为 的函数，记作 .在给定 条件下的数学期望为 的函数,记作 .3.条件数学期望的性质条件数学期望具有与数学期
8、望类似的性质 下面以连续性随机变量为例,只对性质4给出证明,其余性质的证明与之类似.七、中位数Def 直观上，随机变量 的中位数 表明了：的取值比 小以及比 大的可能性相等这个含义下的平均值。数学期望在医学上的一个应用数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人再逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问
9、：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：分析：设随机抽取的10人一组所需的化验次数为X需要计算X的数学期望，然后与10比较 化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律X=1=“10人都是阴性”X=11=“至少1人阳性”结论：结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。注意求注意求 X期期望值的步骤！望值的步骤！问题的进一步讨论问题的进一步讨论 1.概率p对是否分组的影响？2.概率p对每组人数n的影响?作业：习题三：2，3，4，8，93.2 随机变量的方差随机变量的方差(Variance)一、随机变量方差的定义 设
10、 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或 3.方差的计算公式 与 有相同的量纲2.均方差（标准差）1、定义 (1)(1)离散型离散型设离散型随机变量X的概率分布为(2)(2)连续型连续型设连续型随机变量X的分布密度为 f(x)4 方差的统计意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的平均分散程度。例例3.9已知随机变量X的分布律为01求方差解：解：二、几个常见的随机变量的方差几个常见的随机变量的方差1.等概分布由数学期望的定义2.两点分布由数学期望的定义013.二项分布 若随机变量 ，其概率函数为 该式可以直接按照离散型随机变量的数学期望的定义证明，也可以按照数学期望的性质证明
11、（见后）。4.泊松分布5.超几何分布 若随机变量 6.均匀分布 若随机变量 7.指数分布 若随机变量 8.正态分布正态分布三、方差的性质 1.设C是常数，则D(C)=0；2.若a，b是常数，则 3.相互独立时 当随机变量证明证明:例例3.10解：解：例例3.11 设随机变量XB(n,p)，求二项分布的方差。XB(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。解：解：4.四、条件方差1.离散型随机变量的条件方差Def 设离散型随机变量 在 的条件下的条件数学期望 类似的，随机变量 在 的条件下条件方差为2.连续型随机变量的条件方差Def 设连续型随机变量 在 条件下的条件概率密度函数为 在，
12、又 无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，在 给定条件下的条件方差为的 函数记作 .在 给定条件下的条件方差为 的函数，记作 .类似的，随机变量 在 下的条件下的条件方差为3.条件方差的性质 条件方差具有与方差类似的性质(略).例 求二维正态分布 的条件数学期望 和条件方差 .解:由随机变量的条件分布知,条件下的分布为正态分布.五、随机变量的标准化 设 是随机变量,存在,且 ,则称为随机变量 的标准化随机变量.易证:例如:若 ,则标准化随机变量六、随机变量的矩存在，存在，Def 设X是随机变量，若 则称其为X的k阶原点矩，若则称其为X的k阶中心矩，显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心
13、矩是方差作业：习题三：12，17，223.3 协方差与相关系数协方差与相关系数 设 为二维随机向量,其中 为随机变量,假如 相互独立,则只需要研究 各自的统计规律,如:数学期望、方差等，但实际中 往往不独立，这就要研究表征它们之间相互联系的数字特征，协方差与相关系数是常用的描述两个随机向量之间联系的数字特征。Covariance and Correlation coefficient1.1.定义定义一、协方差协方差Def2.计算 (1)(1)离散型离散型(2)(2)连续型连续型例例3.120123103/83/803/431/8001/81/41/83/83/81/8解：解：边际分布如表例例3.13解：解：边际概率密度为3.性质 例例3.14 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，即概率密度为解：解：X、Y 的边缘密度分别为图2.15例例3.153.151.1.定义定义Def二二.相关系数相关系数 按照该定义，二维正态分布的第五个参数就是相关系数。2.2.性质性质Def例例3.163.16例例3.17-1011/31/31/3解：解：01-11/30001/311/30这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。例例3.18三、协方差与相关系数的区别与联系作业：习题三：14，23，26