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1、第三章第三章 随机随机变量的数字量的数字特征特征Company Logo第1页，共52页，编辑于2022年，星期二3.13.1数学期望数学期望一一.数学期望的定义数学期望的定义例例1 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：下表所示：分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2数学期望数学期望描述随机变量取值的平均特征描述随机变量取值的平均特征则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数总人数(分分)。即。即第2页，共52页，编辑于2022年，星期二 定义定义 3.1 离散型随机变量离散型随机变量P=
2、xk=pk,k=1,2,n,若级若级数数，则称为随机变量的数学期望，简称期望或均值。（3.1）对于离散型随机变量,E就是的各可能值与其对应概率乘积的和.第3页，共52页，编辑于2022年，星期二例例1 1 若若 服从服从0-10-1分布分布,其概率函数为其概率函数为PP=k=P=k=Pk k(1-p)(1-p)1-k 1-k (k=0,1),(k=0,1),求求E E.解：解：01P1-pp第4页，共52页，编辑于2022年，星期二例例2 2 甲甲,乙两名射手在一次射击中得分乙两名射手在一次射击中得分(分别用分别用,表示表示)的分布律如表的分布律如表3-2,3-2,表表3-33-3所示所示.这
3、表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值是2.1和2.2,故乙射手较甲射手的技术好.123P0.40.10.5试比较甲乙两射手的技术.123P0.10.60.3解：解：第5页，共52页，编辑于2022年，星期二例例3 3 一批产品中有一一批产品中有一,二二,三等品三等品,等外品及废品等外品及废品5 5种种,相相应的概率分别为应的概率分别为0.7,0.1,0.1,0.060.7,0.1,0.1,0.06及及0.04,0.04,若其产值分别若其产值分别为为6 6元元,5.4,5.4元元,5,5元元,4,4 元及元及0 0元元.求产品的平均产值求产品的平均产值.E=6x0.7+5.4x0.1+5x0
4、.1+4x0.06+0 x0.04 =5.48(元)65.4540p0.70.10.10.060.04解：产品产值是一个随机变量,它的分布率如表3-4:第6页，共52页，编辑于2022年，星期二例例4 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以表示掷得的点数，求表示掷得的点数，求的数的数学期望。学期望。定义 3.2 P(63)设连续型随机变量(x),-x+,若若 为为的的数学期望数学期望。则称则称 连续型随机变量的数学期望是它的概率密度(x)与实数x的乘积在(-,+)无穷区间上的广义积分.（3.2）第7页，共52页，编辑于2022年，星期二例例5 5 计算在区间计算在区间a,ba,b上服从均匀分
5、布的随机变上服从均匀分布的随机变量量 的数学期望的数学期望.解：解：第8页，共52页，编辑于2022年，星期二1.1.E(c)=c,cE(c)=c,c为常数为常数;2.2.E(E(+c)=E(+c)=E()+c,c)+c,c为常数为常数;3.E(c3.E(c)=c E()=c E(),c),c为常数为常数;3.2 数学期望的性质数学期望的性质(P64)证明证明:设设(x),则则4.E(k4.E(k+b)=E(k+b)=E(k)+b=kE()+b=kE()+b)+b第9页，共52页，编辑于2022年，星期二EX1EX1：设随机变量：设随机变量X X的分布律为的分布律为解解:求随机变量求随机变量Y
6、=X2的数学期望的数学期望XPk-1 0 1YPk1 0 随机变量函数的期望随机变量函数的期望第10页，共52页，编辑于2022年，星期二(p66)定理1 若 P=xk=pk,k=1,2,则=f()的期望Ef()为推论推论:若若(,)P)P=x=xi i,=y=yj,j,=p=pij ij,i,j=1,2,i,j=1,2,则则=f(f(,)的期望的期望（3.6）第11页，共52页，编辑于2022年，星期二 (p66)定理定理2 2 若(x),-x,则=f()的期望推论推论 若若(,)(x,y),-x,-y2n2也同样有也同样有特别地,n个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量,其期望值等于这个随
7、机变量的算术平均数,即：第14页，共52页，编辑于2022年，星期二6.若若与与独立，则独立，则证明证明:设设(,)(x,y)第15页，共52页，编辑于2022年，星期二例例1 1 随机变量随机变量，的概率分布如下：的概率分布如下：求求:解：解：E90.3+100.5+110.29.9E60.4+70.66.6E=EE=9.96.6=65.34 与与 相互独立相互独立第16页，共52页，编辑于2022年，星期二l这是因为,(3.5)式要求两个随机变量相互独立,而一个随机变量与它本身绝不能说是独立的,因此,一般说来注意注意,下面的计算法是错误的下面的计算法是错误的第17页，共52页，编辑于202
8、2年，星期二例例2 2 有一队射手共有一队射手共9 9人人,技术不相上下技术不相上下,每人射击中靶的概率每人射击中靶的概率均为均为0.8;0.8;进行射击进行射击,各自打中靶为止各自打中靶为止,但限制每人最多只打但限制每人最多只打3 3次次.问大约需为他们准多少发子弹问大约需为他们准多少发子弹?l解 设i表示i名射手所需的子弹数目,表示9名射手所需的子弹数目,依题意,并且i有如下分布律再多准备10%15%,大约为他们准备13发子弹.第18页，共52页，编辑于2022年，星期二例例3 3 设随机变量设随机变量(,)的分布律如下，求的分布律如下，求E(E()解解:yx1200.150.1510.4
9、50.25第19页，共52页，编辑于2022年，星期二例4 某无线电元件的使用寿命是一个随机变量,其概率密度为其中0,求这种元件的平均使用寿命.解：解：第20页，共52页，编辑于2022年，星期二设的概率密度为，求 E(2),E(3)，E(4)。第21页，共52页，编辑于2022年，星期二第22页，共52页，编辑于2022年，星期二例例5 5 据统计据统计l一位40岁的健康(一般体检未发现病症)者,在5年之内活着或自杀死亡的概率为p(0pa),b应如何定才能使公司可期望获益;若有m人参加保险,公司可期望从中获益多少?第23页，共52页，编辑于2022年，星期二解解 设设 i i表示公司从第表示
10、公司从第i i个参加者身上所得的收益个参加者身上所得的收益,则则 i i是一是一个随机变量个随机变量,其分布如下其分布如下l公司期望获益Ei0,而l Ei=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)l因此,ab0,D 0，则称为与的相关系数相关系数.可以证明|1 。如果|=1,与有线性关系,称与完全线性关系;如果=0,称与不相关。实际上是刻画与间线性相关程度的一个数字特征。特别地,相互独立的两个随机变量与一定不相关,即必为零。相关系数相关系数是一个无量纲的量是一个无量纲的量第48页，共52页，编辑于2022年，星期二2.相关系数的性质相关系数的性质 (1)|1；(2)|=1存在常数a,b 使P=a+b=1；(3)与不相关=0;1.设设(,)服从区域服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布上的均匀分布,求求与与的相关系数的相关系数D1x=y解解第49页，共52页，编辑于2022年，星期二第50页，共52页，编辑于2022年，星期二小结小结第51页，共52页，编辑于2022年，星期二lP76l10、11、12、14、15、21、22、23第52页，共52页，编辑于2022年，星期二