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1、第八节 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值二、多元函数最大值最小值三、条件极值 拉格朗日乘数法四、小结 一、多元函数的极值一、多元函数的极值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义注意：极值是一个局部概念，极小值注意：极值是一个局部概念，极小值可能大于极大值。可能大于极大值。(1)例例1 1例例2 22 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证从而从而故定理结论成立。故定理结论成立。几何解释：曲面几何解释：曲面 在可导的极在可导的极值点处对应的切平面平行于值点处对应的切平面平行于平面。平面。定义：使一阶偏导数同时为零的点，称为定义：使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的
2、驻点函数的驻点.驻点驻点可导的极值点可导的极值点注意：注意：例例3 求函数求函数的极值点。的极值点。解解 求驻点，解方程组求驻点，解方程组得得所以驻点为所以驻点为(1,0).,所以所以(1,0)是极小值是极小值.又因为又因为问题：是否有简单方法判断一个驻点是问题：是否有简单方法判断一个驻点是否为极值点？否为极值点？则则(1)当当时时,函数函数在在处取极值处取极值;取极小值取极小值,取极大值取极大值.（2）时函数在时函数在 没有极值；没有极值；（3）时时函函数数可可能能有有极极值值,也也可可能能没有极值，还需另作讨论没有极值，还需另作讨论例例4 求函数求函数的极值。（书）的极值。（书）解解解方程
3、得：解方程得：得驻点得驻点又又在点在点(-3,0)处处,所以函数不所以函数不取极值取极值.在点在点(-3,2)处处,且且所以函数取极大值所以函数取极大值,在点在点(1,0)处处,函数取极值函数取极值.由由知知,函数取极小值函数取极小值.类似验证类似验证,函数在点函数在点(1,2)处不取极值处不取极值.解解第四步第四步 对函数的不可导点对函数的不可导点,用定义判断用定义判断.例如，例如，在在(0,0)取极小值取极小值,但在但在(0,0)偏导数不存在偏导数不存在.二、多元函数的最值二、多元函数的最值求最值的一般方法求最值的一般方法：在实际问题中，我们经常使用：在实际问题中，我们经常使用：有最值且在
4、区域内部取得；有最值且在区域内部取得；(2)在在D内内 只有一个驻点只有一个驻点 ，则函数，则函数在在处一定取最值。处一定取最值。（1 1）求函数在求函数在D D内的所有驻点及不可导点处内的所有驻点及不可导点处 的函数值；的函数值；（2 2）求函数在）求函数在D D的边界上的最大值和最小值；的边界上的最大值和最小值；（3 3）相互比较它们的大小，其中最大者即为）相互比较它们的大小，其中最大者即为 最大值，最小者即为最小值最大值，最小者即为最小值.例例6（书）（书）做一个体积为做一个体积为2立方米的有盖立方米的有盖长方体水箱，问水箱的长、宽、高各为多长方体水箱，问水箱的长、宽、高各为多少时用料最
5、省？少时用料最省？解解 设水箱的长、宽分别为设水箱的长、宽分别为，根据题意，根据题意知，知，高高=，用料为，用料为，则，则求驻点：求驻点：解方程得解方程得由实际问题知，由实际问题知，的最小值一定在区域内部的最小值一定在区域内部取得，且在区域内部只有一个驻点，所以取得，且在区域内部只有一个驻点，所以当当时，时，最小。最小。即即水箱的长、宽、高分别为水箱的长、宽、高分别为、时时用料最省。用料最省。容易验证容易验证在在处取极小值处取极小值.无条件极值无条件极值：对自变量只限制在定义域内，对自变量只限制在定义域内，并无其他条件并无其他条件.上述例题还可以换一种说法：上述例题还可以换一种说法：设长、宽设
6、长、宽，则，则且且满足满足。即求函数即求函数在在条件条件下的最值问题。下的最值问题。高分别为高分别为三、条件极值、拉格朗日乘数法三、条件极值、拉格朗日乘数法（1）条件极值）条件极值定义定义：求函数：求函数在条件在条件下的极值问题，称为条件极值。下的极值问题，称为条件极值。设设则则确定函数确定函数且且将将代入代入得单元函数，得单元函数，由一元函数求极值的方法由一元函数求极值的方法令令，于是有，于是有并且并且满足满足，即，即求解方程组得可能的极值点。将上述过程总求解方程组得可能的极值点。将上述过程总结出来即是我们要讨论的结出来即是我们要讨论的拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法拉格朗日乘
7、数法：要找函数：要找函数在在附加条件附加条件下的可能极值点，可以下的可能极值点，可以构造函数构造函数其中其中为某一常数。为某一常数。（2）拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求解方程组求解方程组即得可能的极值点的坐标。即得可能的极值点的坐标。（3）条件极值的几何意义）条件极值的几何意义就是求曲线就是求曲线的极值。的极值。xyz求函数求函数在条件在条件下的极值问题，下的极值问题，例例7(20060105)设设 与与均是可均是可微函数微函数,且且已知已知是是在在约束条件约束条件下的一个极值点下的一个极值点,则下列则下列选项选项 正确的是正确的是()(A)若若则则(B)若若则则(C)若若则则(D)若若则则构
8、造拉格朗日乘子函数构造拉格朗日乘子函数:因为因为所以所以代入第一个方程得代入第一个方程得若若则则.故选故选(D)例例8 求曲面求曲面被平面被平面所截的所截的曲线最高点坐标。曲线最高点坐标。解解 由题意知，求函数由题意知，求函数在条件在条件下的极大值点与极大值。下的极大值点与极大值。令令求驻点。解方程组求驻点。解方程组又方程又方程(1),(2)得得,代入代入(3)得得.这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点,而我们要求最值而我们要求最值一一定存在定存在,且在内部取得且在内部取得,所以极大值点为所以极大值点为极大值为极大值为所以最高点坐标为所以最高点坐标为解解则则由方程由方程(1),(2),(3
9、)得得代入代入(4)得得解解构造构造求驻点求驻点:由方程由方程(1),(2),(3)容易推得容易推得:代入代入(4)得得注：目标函数可设为注：目标函数可设为例例 11 抛物面抛物面被平面被平面截截成一椭圆成一椭圆,求原点到这椭圆的最长、最短求原点到这椭圆的最长、最短距离。距离。解解 设原点到椭圆设原点到椭圆的距离为的距离为，则，则，点，点在椭圆上。在椭圆上。由题意知由题意知,求出求出在条件在条件下的最值下的最值.令令求驻点求驻点:由方程由方程(1)(2)(4)得得:.代入代入(5)得得解方程得解方程得从而从而由实际问题知由实际问题知,最大值、最小值一定存在，最大值、最小值一定存在，故最大距离为
10、故最大距离为最短距离为最短距离为。例例12 求内接半径为求内接半径为的球且有最大体积的球且有最大体积的长方体。的长方体。解解 由球的对称性，不妨设由球的对称性，不妨设是该球面是该球面在第一卦限的任意一点，则约束条件为在第一卦限的任意一点，则约束条件为。内接长方体三相邻边长为。内接长方体三相邻边长为,长方体的体积为长方体的体积为构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:则问题就是求则问题就是求在条件在条件下下的最值的最值.求驻点求驻点:由方程由方程(1),(2),(3)得得:,代入方程代入方程(4)得得于是得唯一驻点于是得唯一驻点由实际问题由实际问题知知,内接于球的最大长方体存在内接于球的最大长方体存在
11、,所以当长所以当长方体为边长均为方体为边长均为的正方体时的正方体时,体积最大体积最大.例例13 求平面求平面与柱面与柱面相交所成椭圆的面积相交所成椭圆的面积.解解 因为因为过原点过原点,所以椭圆的所以椭圆的中中心在原点心在原点.只需求出椭圆的长、短半轴，即只需求出椭圆的长、短半轴，即求原点到曲线求原点到曲线取取上任意一点上任意一点 距离的最大、最小值。距离的最大、最小值。令令 表示距离，则表示距离，则求驻点：求驻点：利用利用(4)式式,将方程将方程(1)、(2)、(3)分别乘以分别乘以 相加相加,在利用方程在利用方程(1)、(2)式消去式消去 得：得：(6)方程方程(1)、(2)、(3)分别乘分别乘以以相加得：相加得：（7）(7)式表明式表明的极值等于的极值等于满足方程满足方程(6),设方程设方程(6)的两个根为的两个根为应为应为所求椭圆的两个半轴的平方所求椭圆的两个半轴的平方,根据根与系根据根与系数的关系得所求面积为数的关系得所求面积为多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案