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1、8.6 多元函数的极值多元函数的极值一一 极值极值二二 条件极值条件极值一一 极值极值定义定义1 设设在点在点的某个邻域的某个邻域内有定义，内有定义，而且而且有有则称则称为为的一个的一个极大值极大值（或（或 ）（或（或极小值极小值），），应地称点应地称点为为的一个的一个极大值点极大值点（或（或极小值点极小值点）。）。相相例如例如（1）在点在点处取极小值；处取极小值；（2）在点在点处不取极值；处不取极值；定理定理1 设设在点在点处取极值，且偏导数处取极值，且偏导数存在，则存在，则注：注：定理定理1的几何意义：曲面的几何意义：曲面在极值点在极值点有切平面，则切平面一定平行于有切平面，则切平面一定平
2、行于面，面，切平面切平面方程为方程为 称满足称满足的点的点为为的的驻点驻点。定理定理2 设设在点在点的某个邻域内有二的某个邻域内有二阶连续偏导数，阶连续偏导数，且点且点是是的驻点，的驻点，记记则则（1）当）当时，时，在点在点处处取极值取极值，且且取极取极小小值，值，取极取极大大值；值；（2）当）当时，时，在点在点处处不取极值不取极值；（3）当）当时，时，在点在点处处可能取极值可能取极值，也可能不取极值也可能不取极值。（如：（如：在点在点处处都满足都满足）例例1 求求的极值。的极值。解解令令得到驻点得到驻点和和在点在点处：处：在点在点处不取极值；处不取极值；在点在点处取极大值处取极大值在点在点处
3、：处：例例2 求求的极值。的极值。解解令令得到驻点得到驻点和和在点在点处：处：在点在点处不取极值；处不取极值；在点在点处取极大值处取极大值在点在点处：处：二二 条件极值条件极值考虑函数考虑函数在条件在条件下的极值。下的极值。目标函数目标函数拉格朗日（拉格朗日（Lagranger）乘数法：）乘数法：令令（Lagranger函数函数）由由解得解得，则点则点是函数是函数在条件在条件下极值的嫌疑点，下极值的嫌疑点，也称为驻点。也称为驻点。说明：说明：Lagranger乘数法可以推广到多个自变量乘数法可以推广到多个自变量和多个约束条件的情形。和多个约束条件的情形。Lagranger函数：函数：在条件在条
4、件下的极值。下的极值。如：考虑函数如：考虑函数例例3 设长方体的体积为设长方体的体积为，问怎样选择长、宽、高，问怎样选择长、宽、高才能使长方体的表面积最小。才能使长方体的表面积最小。解解设长、宽、高分别为设长、宽、高分别为则长方体则长方体的表面积的表面积而且而且满足条件满足条件令令则由则由得驻点得驻点据实际问题可知：此问题的最小值是存在的。据实际问题可知：此问题的最小值是存在的。因此当长、宽、高均为因此当长、宽、高均为时，时，长方体的表面积长方体的表面积最小，最小，且最小值是且最小值是例例4 求椭圆线求椭圆线上的点到原点的最近上的点到原点的最近和最远的距离。和最远的距离。解解 设点设点为椭圆线上任一点，为椭圆线上任一点，则它到原点则它到原点的距离的距离记记而且而且满足条件满足条件令令则由则由得驻点得驻点因为因为所以，所以，椭圆线上点到原点的最近距离为椭圆线上点到原点的最近距离为1，最远距离，最远距离为为例例5 求求在闭区域在闭区域上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。解解由由得到得到在在内部内部的驻点的驻点令令由由得到得到在在的边界的边界上的驻点上的驻点和和因为因为所以所以在闭区域在闭区域上的最大值是上的最大值是46，最小值是，最小值是1.