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1、1第六节第六节 多元函数的极值及应用多元函数的极值及应用（二）隐函数的微分法（二）隐函数的微分法（一）多元函数全微分（一）多元函数全微分1 1、公式法公式法 2 2、直接法直接法3 3、全微分法全微分法1 1、定义法定义法2 2、利用微分运算法则和形式不变性利用微分运算法则和形式不变性复习复习3第六节第六节 多元函数的极值及应用多元函数的极值及应用 随着现代工业、农业、国防和科学技术的迅速发展，随着现代工业、农业、国防和科学技术的迅速发展，在工程技术、科学研究、经济管理等各个领域都提出了大在工程技术、科学研究、经济管理等各个领域都提出了大量的量的最优化问题最优化问题。例如，在安排生产计划方面，
2、如何在现有人力、物例如，在安排生产计划方面，如何在现有人力、物力条件下，合理安排几种产品的生产，使力条件下，合理安排几种产品的生产，使总产值最高总产值最高或或总利润最大总利润最大。这些问题的解决都将涉及到这些问题的解决都将涉及到多元函数极值的定义及其多元函数极值的定义及其求解方法。求解方法。产品的生产，才能使产品的生产，才能使总成本最小总成本最小等等。等等。同样地，在现有条件下，如何安排多种同样地，在现有条件下，如何安排多种 与一元函数的情形类似，与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系与极大值、极小值有着密切的联系。第六节第六节 多
3、元函数的极值及应用多元函数的极值及应用一一.二元函数的极值二元函数的极值二二.二元函数的最值二元函数的最值三三.条件极值条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第六节第六节 多元函数的极值及应用多元函数的极值及应用教学要求：教学要求：1.理解多元函数极值和条件极值的概念理解多元函数极值和条件极值的概念;3.会求二元函数的极值会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值会用拉格朗日乘数法求条件极值;2.掌握多元函数极值存在的必要条件掌握多元函数极值存在的必要条件,理解二元函数极值存在的充分条件理解二元函数极值存在的充分条件;4.会求简单多元函数的最大值和最小值会求简单多元函数的最大值和最小值,
4、并会解决一些简单的应用问题并会解决一些简单的应用问题.第六节第六节 多元函数的极值及应用多元函数的极值及应用一、二元函数的极值一、二元函数的极值 设函数设函数 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,和极小值统称为和极小值统称为极值极值.极大值极大值极极小值点统称为小值点统称为极值极值点点.极大值点和极大值点和极大值极大值(或或极小值极小值).(或或极小值点极小值点)，函数值函数值 f(x0,y0)称称为为 则称点则称点(x0,y0)为函数的为函数的极大值点极大值点f(x,y)f(x0,y0)若对该邻域内异于若对该邻域内异于(x0,y0)的的任意点任意点(x
5、,y)，恒有恒有定义定义(或或 f(x,y)f(x0,y0)，第六节 多元函数的极值及应用(1)(2)(3)椭圆抛物面椭圆抛物面圆锥面圆锥面例例第六节 多元函数的极值及应用 设函数设函数 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处处的一阶偏导数存在的一阶偏导数存在,同理可证同理可证 使得等式使得等式 同时成立的点同时成立的点(x0,y0),则必有则必有定理定理 (极值存在的必要条件极值存在的必要条件)该点处该点处取得极值取得极值,证证故故称为函数称为函数 f(x,y)的的驻点驻点.设函数设函数 f(x)在点在点x0处可导且处可导且x0为为f(x)的极值点，的极值点，定理定理(极值的必要条件极值的
6、必要条件)（驻点）（驻点）且在且在 设函数设函数 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处处的一阶偏导数存在的一阶偏导数存在,则必有则必有定理定理 (极值存在的必要条件极值存在的必要条件)该点处该点处取得极值取得极值,注意：注意：但反之，但反之，驻点不一定是函数的极值点驻点不一定是函数的极值点.由定理知由定理知偏导数存在的极值点必定为驻点偏导数存在的极值点必定为驻点,偏导数不存在的点也可能是偏导数不存在的点也可能是极值点极值点.但驻点但驻点(0,0)不是函数的极值点不是函数的极值点.如圆锥面如圆锥面 的顶点的顶点(0,0)xyzoxyz 函数函数 ,例例即即为零为零,在点在点(0,0)处的两个
7、偏导数同时处的两个偏导数同时小值点小值点,但顶点但顶点（0,0）是极是极的偏导数不存在的偏导数不存在,极小值为极小值为0.双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）注意：注意：由定理知由定理知偏导数存在的极值点必定为驻点偏导数存在的极值点必定为驻点,但反之，但反之，驻点不一定是函数的极值点驻点不一定是函数的极值点.定理定理 (极值存在的必要条件极值存在的必要条件)问题：问题：可能极值点可能极值点：驻点、驻点、偏导数不存在的点偏导数不存在的点如何判定一个可能极值点是否为极值点？如何判定一个可能极值点是否为极值点？设函数设函数f(x)在点在点x0处具有二阶导数，处具有二阶导数，定理定理(判定极值的第
8、二充分条件判定极值的第二充分条件)则则且且定理定理 (极值存在的必要条件极值存在的必要条件)设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)当当A0时时,(2)当当B2AC0时时,(3)当当B2AC=0时时,则则若记若记即即(x0,y0)是函数的是函数的驻点驻点,且且的某一邻域内连续且有连续的一阶与二阶偏导数的某一邻域内连续且有连续的一阶与二阶偏导数,定理定理 (极值的充分条件极值的充分条件)f(x0,y0)为极大值；为极大值；(1)当当B2AC0时时,f(x0,y0)为极小值为极小值.f(x0,y0)非极值非极值.f(x0,y0)可能为极值也可能非极值可能为极值也可能非极值.且当且当A0时
9、时,函数函数f(x,y)在点在点(x0,y0)处有极值处有极值.极值存在的必要条件和充分条件极值存在的必要条件和充分条件 对于具有二阶连续偏导数的函数求函数对于具有二阶连续偏导数的函数求函数 z=f(x,y)极值的极值的步骤步骤：2.极值判定极值判定:1.求驻点求驻点:得到所有驻点得到所有驻点.判定判定 f(x0,y0)是否为极值是否为极值,4.求出极值求出极值:求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A,B,C.并对每一驻点并对每一驻点,求出二阶偏导数求出二阶偏导数 极小值极小值.是极大值还是是极大值还是 3.对每一驻点对每一驻点(x0,y0),定出定出 B2AC 的符号的符号,按照按照定理的
10、结论定理的结论,求出极值点处的函数值求出极值点处的函数值.极值存在的必要条件和充分条件极值存在的必要条件和充分条件 求 极值极值 求驻点求驻点 计算计算极值不定极值不定 非极值非极值 极值极值 极大值极大值 极小值极小值求函数极求函数极值流程图值流程图极值存在的必要条件和充分条件极值存在的必要条件和充分条件 例例1 1 求函数求函数 的极值的极值解解得驻点得驻点 在驻点在驻点(1,1)(1,1)处，处，在驻点在驻点(0,0)(0,0)处，处，解方程组解方程组 又又点点(0,0)不是极值点；不是极值点；所以，所以，所以，函数有极小值所以，函数有极小值一、二元函数的极值一、二元函数的极值例例2 求
11、函数求函数 的极值的极值.得驻点得驻点(0,0),(4,2).解解求函数的二阶偏导数，求函数的二阶偏导数，解方程组解方程组在点在点(0,0)处处,有有A=2,B=0,C=4，一、二元函数的极值一、二元函数的极值由极值的充分条件知由极值的充分条件知,在点在点(4,2)处处,而而 A0,由极值的充分条件由极值的充分条件,点点(0,0)不不是极值点是极值点.f(4,2)=8e2 是函数的极大值是函数的极大值.知点知点(4,2)为极大值点为极大值点,例例2 求函数求函数 的极值的极值.一、二元函数的极值一、二元函数的极值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求与一元函数相类似，我们可以利用函数的
12、极值来求函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值.二二.二元函数的最大值与最小值二元函数的最大值与最小值 若函数若函数 z=f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则一定存在最大值与最小值则一定存在最大值与最小值.(1)先求出函数在该区域内的一切先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值驻点处的函数值.驻点值最值存在定理：最值存在定理：是函数在是函数在D上的最小值上的最小值.的就是函数在的就是函数在D上的最大值上的最大值,(3)比较这些函数值的大小比较这些函数值的大小,(2)求出函数在区域求出函数在区域边界上的最值边界上的最值.最大最大最小的就最小的就边界上的最值最点值（一）闭区域
13、（一）闭区域D D上可微函数的最值求法：上可微函数的最值求法：解解如图如图,（一）闭区域（一）闭区域D D上可微函数的最值求法上可微函数的最值求法 （一）闭区域（一）闭区域D D上可微函数的最值求法上可微函数的最值求法 （一）闭区域（一）闭区域D D上可微函数的最值求法上可微函数的最值求法 Solution.（一）闭区域（一）闭区域D D上可微函数的最值求法上可微函数的最值求法 （一）闭区域（一）闭区域D D上可微函数的最值求法上可微函数的最值求法 （二）实际问题的最值（二）实际问题的最值 对于实际问题中的最值，对于实际问题中的最值，若从问题本身能断定它的最若从问题本身能断定它的最大值或最小值
14、一定存在，大值或最小值一定存在，且在定义区域的内部取得，且在定义区域的内部取得，若若可微函数可微函数在定义域内有在定义域内有惟一的驻点惟一的驻点，则该驻点的函数值，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值就是函数的最大值或最小值在实际问题中，若在实际问题中，若（1 1）最值存在最值存在 ，（，（2 2）驻点唯一驻点唯一，则该驻点必为最值点则该驻点必为最值点.或或（1）极值存在极值存在 （2）驻点唯一驻点唯一 二二.二元函数的最大值与最小值二元函数的最大值与最小值这时，这时，(3)(3)结合实际意义，利用驻点的结合实际意义，利用驻点的惟一性惟一性及及最值的最值的存在性存在性进行判断进行判断.实际
15、问题最值的求法实际问题最值的求法 (1)根据实际意义建立函数模型及确定其根据实际意义建立函数模型及确定其定义域；定义域；(2)(2)求函数的驻点；求函数的驻点；（二）实际问题的最值（二）实际问题的最值二二.二元函数的最大值与最小值二元函数的最大值与最小值 例例4 要用钢板制作一个容积为要用钢板制作一个容积为 的无盖长方体的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省?设容器的长为设容器的长为x，宽为，宽为y，高为，高为z，于是于是,求偏导数求偏导数求驻点得求驻点得于是驻点唯一，所以当长方体容器的长与宽为于是驻点唯一，所以当长方体容器的长与宽为高
16、取高取 时，时，解解 且且所需的材料最省所需的材料最省xy z容器所需容器所需钢板的面积为钢板的面积为（二）实际问题的最值（二）实际问题的最值ex3.把一个正数把一个正数a表为三个正数之和，使其乘积最大，表为三个正数之和，使其乘积最大，求这三个数求这三个数.解解（二）实际问题的最值（二）实际问题的最值实例：实例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：种急需物品：辅导书和面包辅导书和面包，假设他购买，假设他购买 本辅导书，本辅导书，个面包达到最佳效果，效果函数个面包达到最佳效果，效果函数为为 设每本辅导设每本辅导15书，书，每个面包每个面包5元，问他如何分配这
17、元，问他如何分配这200元以达到元以达到最佳效果最佳效果 求求 在在条件条件 下的极值点下的极值点三、条件极值 拉格朗日乘数法第六节第六节 多元函数的极值及应用多元函数的极值及应用问题的实质：问题的实质：三.条件极值与拉格朗日乘数法 对自变量除了限制在定义域内取值对自变量除了限制在定义域内取值外，外，对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他并无其他附加附加条件条件.无条件极值无条件极值：条件极值条件极值：还有其它的附加条件的极值还有其它的附加条件的极值(实际问题)(极值)第六节第六节 多元函数的极值及应用多元函数的极值及应用具有某种约束条件的极值问题称为具有某种约束
18、条件的极值问题称为条件极值条件极值条件极值条件极值无条件极值无条件极值求函数求函数 极小值极小值.求函数求函数 在条件在条件 下的极小值下的极小值.xyzxyz极小值点为曲面极小值点为曲面 上的最低点上的最低点(0,0),极小值点为曲线极小值点为曲线极小值为极小值为z=0.上的最低点上的最低点(1,0),极小值为极小值为z=1.三.条件极值与拉格朗日乘数法zyx 对于函数对于函数 在条件在条件 下的条件下的条件称称 为为目标函数目标函数，目标函数目标函数 在条件在条件下的极值是指当点下的极值是指当点 在在xOy坐标面上的曲线坐标面上的曲线 上变上变相应函数相应函数 的极值的极值.也即曲线也即曲
19、线 上上称为称为约束条件约束条件.方程方程极值问题，极值问题，的极值点的极值点.动时，动时，从几何上看，从几何上看，三.条件极值与拉格朗日乘数法方法方法1 1：(降元法降元法)使之成为使之成为一元函数的无条件极值问题一元函数的无条件极值问题.但在很多情况下但在很多情况下,这种转化是困难的这种转化是困难的,有时甚至是不有时甚至是不可能的可能的.因此因此,利用方法利用方法1去求条件极值往往较难实施去求条件极值往往较难实施.为此，介绍一种求条件极值的方法为此，介绍一种求条件极值的方法 在约束条件在约束条件 下下,求函数求函数 的极值的极值从从 中解出中解出y,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法方法方法2
20、2：代入函数代入函数三.条件极值与拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 求函数求函数 在满足约束条件在满足约束条件 下的条件极值下的条件极值.问题问题：可转化可转化 为求为求拉格朗日函数拉格朗日函数(其中其中 为某一常数为某一常数,称为称为拉格朗日乘数拉格朗日乘数)的的无条件极值无条件极值问题问题.事实上事实上,的极值的极值.条件极值条件极值问题问题,三.条件极值与拉格朗日乘数法的必要条件可知的必要条件可知 因为若因为若则由极值则由极值 即即 同理同理,求函数求函数 在满足约束条件在满足约束条件 下的下的条件极值问题条件极值问题,可转化可转化 为求为求拉格朗日函数拉格朗日函数这样这样,的
21、的无条件极值问题无条件极值问题.这种方法称这种方法称拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.二、条件极值与拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法的具体步骤:（1 1）构造拉格朗日辅助函数构造拉格朗日辅助函数 （2 2）解方程组解方程组（3 3）判别是否为极值判别是否为极值 求函数求函数 在满足约束条件在满足约束条件 下的条件极值下的条件极值.问题问题：(实际问题实际问题)由于条件极值几乎都是实际问题，而实际问由于条件极值几乎都是实际问题，而实际问题又是以求函数最值为宗旨，实际问题中的题又是以求函数最值为宗旨，实际问题中的最值最值问题问题实质上也是一个实质上也是一个极值问题极值问题。拉格朗日乘数法只给出函数取得极值
22、的拉格朗日乘数法只给出函数取得极值的必要必要条件，条件，因此，按照这种方法所求的点是否为极值因此，按照这种方法所求的点是否为极值点，还需要讨论。不过在点，还需要讨论。不过在实际问题实际问题中，往往可以中，往往可以根据根据问题本身的性质问题本身的性质来判定所求的点是否为极值来判定所求的点是否为极值点。点。三.条件极值与拉格朗日乘数法 例例5 设周长为设周长为2 p 的矩形的矩形,绕它的一边旋转构成圆绕它的一边旋转构成圆柱体柱体,求矩形的边长各为多少时求矩形的边长各为多少时,圆柱体的体积最大圆柱体的体积最大.其中矩形边长其中矩形边长 x,y 满足的约束条件是满足的约束条件是2x+2y=2p，求函数
23、求函数 在条件在条件x+yp=0下的最大值下的最大值.设矩形的边长分别为设矩形的边长分别为x 和和 y,zyx构造辅助函数构造辅助函数求求F(x,y)的偏导数的偏导数,得到旋转圆柱体的体积为得到旋转圆柱体的体积为解解转转,且绕边长为且绕边长为y的边旋的边旋即即x+y=p.并建立方程组并建立方程组三.条件极值与拉格朗日乘数法求求F(x,y)的偏导数的偏导数,并建立方程组并建立方程组由方程组中的第一、二两个方程消去由方程组中的第一、二两个方程消去,根据实际问题意义知最大值一定存在根据实际问题意义知最大值一定存在,且有惟一的且有惟一的可能极值点可能极值点,所以最大值存在所以最大值存在.圆柱体体积最大
24、值为圆柱体体积最大值为代入第三个方程代入第三个方程,得得得得 2y=x,即当即当例例6 6 在经济学中有个在经济学中有个Cobb-DouglassCobb-Douglass生产函数模型生产函数模型现在已知某制造商的现在已知某制造商的Cobb-DouglasCobb-Douglas生产函数生产函数为为 每个劳动力与每单位资本的成本分别是每个劳动力与每单位资本的成本分别是150150元及元及250250元元.该制造商该制造商的总预算是的总预算是5000050000元元.问他该如何分配这笔钱用问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本于雇用劳动力与资本,以使生产量最高以使生产量最高.三.条件极值与拉格
25、朗日乘数法 即该制造商应该雇用即该制造商应该雇用250250个劳动力而把其余的作为资个劳动力而把其余的作为资本投入，这时可获得最大产量，本投入，这时可获得最大产量，解解 这是一个条件极值问题。这是一个条件极值问题。求函数求函数在条件在条件令令由方程组由方程组中第一个方程解得中第一个方程解得代入第二个方程中得代入第二个方程中得在两边同乘以在两边同乘以即即将此结果代入方程组的第三个方程中，得将此结果代入方程组的第三个方程中，得解解在条件在条件三.条件极值与拉格朗日乘数法 例例8 要用钢板制作一个容积为要用钢板制作一个容积为 的无盖长方的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省体的容器，
26、若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省?设容器的长为设容器的长为x，宽为，宽为y，高为，高为z，于是于是,求偏导数求偏导数求驻点得求驻点得于是驻点唯一，所以当长方体容器的长与宽为于是驻点唯一，所以当长方体容器的长与宽为高取高取 时，时，解解1 且所需的材料最省所需的材料最省xy z容器所需容器所需钢板的面积为钢板的面积为三.条件极值与拉格朗日乘数法解解2 2 设拉格朗日函数为设拉格朗日函数为 将方程组的第一个方程乘以将方程组的第一个方程乘以x，所以所以第三个方程乘以第三个方程乘以z，第二个方程乘以第二个方程乘以y，再两两相减得再两两相减得代入第四个方程得可能极值点代入第四个方程得可能极值点目标函数为目标函数为约束条件为约束条件为一一.多元函数的极值多元函数的极值三三.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）二二.多元函数的最值多元函数的最值小结第六节第六节 多元函数的极值及应用多元函数的极值及应用思考题思考题第六节第六节 多元函数的极值及应用多元函数的极值及应用思考题解答思考题解答作业:P337 1,4,8下次课内容 第八章 习题课解解：Solution.