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1、15 定积分在几何上的应用一、元素法二、平面图形的面积三、体积四、光滑曲线的弧长上一页下一页2一、元素法1.1.能用定积分表示的量能用定积分表示的量Q Q所必须具备的三个特征：所必须具备的三个特征：(1)(1)Q Q是与一个变量是与一个变量x x的变化区间的变化区间a,ba,b有关的量有关的量;(2)(2)Q Q对于区间对于区间a,ba,b具有可加性具有可加性.即如果把区即如果把区a,b a,b 分成若干个子区间分成若干个子区间,则则Q Q等于各子等于各子区间上部分量的总和区间上部分量的总和.(3)(3)部分量部分量 的近似值可表示为的近似值可表示为2.2.微元分析法微元分析法用定积分表示量用
2、定积分表示量Q Q的基本步骤的基本步骤:上一页下一页3(1)(1)根据问题的具体情况根据问题的具体情况,选取一个变量选取一个变量例如例如x x为积分变量为积分变量,并确定其变化区间并确定其变化区间a,b;a,b;(2)(2)在区间在区间a,ba,b内任取一个小区间内任取一个小区间 ,求出相应于这个小区间的部分量求出相应于这个小区间的部分量 的近似值的近似值.如果如果 能近似地表示为能近似地表示为a,ba,b上的一个连续函数上的一个连续函数在在 处的值处的值 与与 的乘积的乘积,就把就把 称为量称为量Q Q的微元且记作的微元且记作 ,即即(3)(3)以所求量以所求量Q Q的微元的微元 为被积表达
3、式为被积表达式,在区间在区间a,ba,b上作定积分上作定积分,得得上一页下一页4二、平面图形的面积1 1、直角坐标情形、直角坐标情形分两种情况：分两种情况：1设函数设函数 在区间在区间 为连续函数且为连续函数且则所围阴影面积则所围阴影面积 有：有：(如图）如图）面积元素面积元素 面积面积 上一页下一页522设函数设函数 在区间在区间 则所围阴影面积则所围阴影面积 有有面积元素面积元素 ：面积面积 为连续函数且为连续函数且 （如图）（如图）上一页下一页6例例1 求由求由所围图形面积所围图形面积.解解 两曲线的交点为两曲线的交点为(2,-2)及及(8,4).根据此图形特点根据此图形特点,可以选择可
4、以选择y作为积分变作为积分变量量,其变化区间为其变化区间为-2,4.yx(2,-2)(8,4)图形的面积微元为图形的面积微元为:从而可得图形面积从而可得图形面积上一页下一页7如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积一般地：一般地：上一页下一页8解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积上一页下一页91.曲边扇形曲边扇形其中其中r()在在 ,上连续上连续,且且r()0.相应于相应于,+d 的面积微元为的面积微元为则图形面积为则图形面积为o r=r()设图形由曲线设图形由曲线r=r()及
5、射线及射线=,=所围成所围成.取取 为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为 ,2 2、极坐标情形、极坐标情形上一页下一页102.一般图形一般图形及射线及射线=,=所围图形的面积微元所围图形的面积微元为为 则面积为则面积为o 由曲线由曲线 上一页下一页11解解利用对称性知利用对称性知上一页下一页12点点x且垂直于且垂直于x轴的截面面积轴的截面面积.体积微元为体积微元为dV=A(x)d x,则体积为则体积为 （如图）（如图）abx 取取x为积分变量为积分变量,其变化范围为其变化范围为a,b.设立体介于设立体介于x=a,x=b之间之间,A(x)表示过表示过三、体积1 1、平行截面面积为已知的
6、立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积上一页下一页13解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积上一页下一页14立体称为旋转体立体称为旋转体.则如前所述则如前所述,可求得截面面积可求得截面面积则则 平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的设旋转体由如图的曲边梯形绕设旋转体由如图的曲边梯形绕x轴形成轴形成.yxaby=f(x)ox2 2、旋转体的体积、旋转体的体积上一页下一页15 同理同理,如旋转体由如图的曲边梯如旋转体由如图的曲边梯形绕形绕y轴形成轴形成.ycoxdx=(y)例例5 求如图直角三角形绕求如图直角三
7、角形绕x轴轴旋转而成的圆锥体的体积旋转而成的圆锥体的体积.解解 可求得过点可求得过点O及及P(h,r)的直线方程为的直线方程为由公式得由公式得yoxP(h,r)则体积为则体积为上一页下一页16 例例6 求圆心在求圆心在(b,0),半径为半径为a(ba)的圆绕的圆绕y轴旋转而成的环状轴旋转而成的环状体的体积体的体积.yxoba解解 圆的方程为圆的方程为,则所求体积可视为则所求体积可视为曲边梯形绕曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差轴旋转而成的旋转体的体积之差.分别与直线分别与直线y=-a,y=a及及y轴所围成的轴所围成的则则上一页下一页17 (1)设光滑曲线方程设光滑曲线方程:可用相应的切线
8、段近似代替可用相应的切线段近似代替.即即则弧长微元则弧长微元(弧微分弧微分)故弧长为故弧长为oyxdyabdxy=f(x)取取x积分变量积分变量,变化区间为变化区间为a,b.a,b内任意小区间内任意小区间x,x+dx 的一段弧长的一段弧长四、光滑曲线的弧长上一页下一页18(2)若曲线方程由参数方程若曲线方程由参数方程:弧长微元弧长微元则如前所述则如前所述,(3)若曲线方程由极坐标方程若曲线方程由极坐标方程:r=r()().表示表示 则则上一页下一页19解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长上一页下一页20解解上一页下一页