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1、第八节第八节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用第六章第六章 定积分的应用定积分的应用建立积分模型的微元法建立积分模型的微元法 求平面图形的面积求平面图形的面积求空间立体的体求空间立体的体 积积求平面曲线的弧长与曲率求平面曲线的弧长与曲率旋转体的侧面积旋转体的侧面积小结小结 思考题思考题 作业作业1究竟哪些量可用定积分来计算呢.首先讨论这个问题.结合曲边梯形面积的计算一、建立积分模型的微元法可知,用定积分计算的量应具有如下及定积分的定义许多部分区间,(即把a,b分成两个特点:(1)所求量I 即与a,b有关;(2)I 在a,b上具有可加性.则I 相应地分成许多部分量,而I 等于所有部分量之
2、和)定积分的几何应用定积分的几何应用2按定义建立积分式有按定义建立积分式有四步曲四步曲:“分割、分割、有了有了N-L公式后公式后,对应用问题来说对应用问题来说关键关键就在于就在于方法方法简化步骤简化步骤如何写出如何写出被积表达式被积表达式.得到得到 这个复杂的极限运算问题得这个复杂的极限运算问题得到了解决到了解决.是所求量是所求量 I 的微分的微分于是于是,称称为量为量 I 的的微元微元或或元素元素.取近似、取近似、求和、求和、取极限取极限”,定积分的几何应用定积分的几何应用3元素法元素法或或微元法微元法.简化步骤简化步骤(1)由具体情况选取一个变量,如 ,为积分变量,并确定它的变化区间求出这
3、一小区间上的部分量的近似值,即记为:(3)以为被积表达式在上作定积分,得:这种简化了的建立积分式的方法称为这种简化了的建立积分式的方法称为定积分的几何应用定积分的几何应用4这个小区间上所这个小区间上所对应的小曲边梯形面积对应的小曲边梯形面积面面积积元元素素(3)得得 曲边梯形面积的积分式也可以用曲边梯形面积的积分式也可以用元素法元素法 建立如下建立如下.近似近似地等于长为地等于长为f(x)、宽为、宽为dx 的的小矩形面积小矩形面积,故有故有(1)选x为积分变量,定积分的几何应用定积分的几何应用5二、求平面图形的面积 回忆回忆的几何意义的几何意义:曲边梯形的面积曲边梯形的面积.启示启示 一般曲线
4、围成区域的面积也可以一般曲线围成区域的面积也可以用定积分来计算用定积分来计算.定积分定积分 下面曲线均假定是下面曲线均假定是连续连续曲线曲线.注注定积分的几何应用定积分的几何应用6求这两条曲线求这两条曲线及直线及直线所围成的区域的所围成的区域的 面积面积A.的的面积元素面积元素dA为为它对应它对应(1)即即1.直角坐标系中图形的面积直角坐标系中图形的面积选x为积分变量,定积分的几何应用定积分的几何应用7(2)如果的相对位置不定,则(3)特别时,有注意:此时的A表示图形的面积真值,而表示曲边梯形面积的代数和.定积分的几何应用定积分的几何应用8例1 求由抛物线与直线所围成的图形的面积.定积分的几何
5、应用定积分的几何应用9(4)由曲线由曲线和直线和直线所围成的区域的所围成的区域的面积面积A.它对应它对应的的面积元素面积元素dA为为选y为积分变量,定积分的几何应用定积分的几何应用10(5)设所给曲线由参数方程给出:上有连续导数,则=关键:定积分的几何应用定积分的几何应用11例2 求摆线(旋轮线)与x轴所围成图形的面积.解解 面积面积作变量代作变量代换换说明:摆线一拱的面积等于其母圆面积的三倍.定积分的几何应用定积分的几何应用12分成若干块上面讨论过的那两种区域分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别只要分别(6)一般情况下一般情况下,由曲线围成的有界区域由曲线围成的有界区域,总可以总可以算
6、出每块的面积再相加即可算出每块的面积再相加即可.(2)(1)(1)(2)定积分的几何应用定积分的几何应用13面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积2.极坐标下平面图形的面积由极坐标方程由极坐标方程给出的平面曲线给出的平面曲线所围成的面积所围成的面积A.和射线和射线曲曲边边扇扇形形定积分的几何应用定积分的几何应用14解解 利用利用对称性对称性知知例3 求心形线所围成图形的面积.定积分的几何应用定积分的几何应用15例4 求由圆和双纽线所围成的公共部分的面积.交点交点定积分的几何应用定积分的几何应用16例5 求由所围成图形的面积.注意:求封闭曲线所围成图形的面积时,1.先分析对称性;2.找与坐
7、标轴的交点;3.利用极坐标.定积分的几何应用定积分的几何应用17圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台三、求空间立体的体 积旋转体旋转体旋转体旋转体这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴由一个平面图形绕由一个平面图形绕这平面内一条直线这平面内一条直线旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体1.旋转体的体积旋转体的体积定积分的几何应用定积分的几何应用18旋转体的体积旋转体的体积采用元素法采用元素法如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线直线直线及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体,体积为多少体积为多少?取积分变量为取积分变量为x,为底的为底的小曲边梯形小曲边
8、梯形绕绕 x 轴轴旋转而旋转而成的薄片的成的薄片的体积元素体积元素(1)定积分的几何应用定积分的几何应用19解解体积元素体积元素例例6取积分变量为取积分变量为x,oxy定积分的几何应用定积分的几何应用20如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线及及 y 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体,体积为多少体积为多少?(2)直线直线体积元素体积元素旋转体的体积旋转体的体积定积分的几何应用定积分的几何应用21例7 求由和y轴所围成图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积.注意:定积分的几何应用定积分的几何应用22解解例例8求摆线求摆线的一拱的一拱与与y=0所
9、围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x轴、轴、y轴旋转而成的轴旋转而成的旋转体的体积旋转体的体积.绕绕 x轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积变量代换变量代换定积分的几何应用定积分的几何应用23绕绕 y轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕 y轴轴旋转构成的旋转旋转构成的旋转体的体积之差体的体积之差.摆线摆线令令定积分的几何应用定积分的几何应用24例9 求由曲线与x轴所围的图形分别绕x轴和y轴及y=1 旋转而成的立体的体积.定积分的几何应用定积分的几何应用25或,选x为积分变量,(3)平移坐标定积分的几何应用定积分的几何应用26解解 取坐标如图
10、所示取坐标如图所示.圆的方程为圆的方程为oxy R 和下半圆下的曲边梯形和下半圆下的曲边梯形两个旋转体的体积之差两个旋转体的体积之差.例例10所求圆环体可看成是所求圆环体可看成是上半圆下的上半圆下的曲边梯形曲边梯形绕绕x轴轴旋转一周旋转一周.定积分的几何应用定积分的几何应用27 对称性对称性四分之一圆面积四分之一圆面积定积分的几何应用定积分的几何应用282.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面面积上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积立体体积如果一个立体不是旋转体如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体但却知道该立体的体积也可用定积分来计算的体积也
11、可用定积分来计算.那么那么,这个立体这个立体表示过点表示过点x且垂直于且垂直于x轴的轴的截面面积截面面积,为为x的已知连续函数的已知连续函数.采用元素法采用元素法体积元素体积元素定积分的几何应用定积分的几何应用29解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程底圆方程例例11 一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得计算这平面截圆柱体所得立体的体积立体的体积.垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形.底底高高截面面积截面面积立体体积立体体积定积分的几何应用定积分的几何应用30作一下垂直于作一下垂直于y轴
12、轴的截面是的截面是截面长为截面长为宽为宽为矩形矩形截面面积截面面积 可否选择可否选择y作积分变量作积分变量?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积?定积分的几何应用定积分的几何应用31解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形例例12 求以半径为求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.定积分的几何应用定积分的几何应用32例13求心形线绕极轴旋转而成的立体的体积
13、.利用参数方程定积分的几何应用定积分的几何应用33四、求平面曲线的弧长与曲率设设A、B是曲线弧上是曲线弧上在弧上在弧上插入分点插入分点并依次连接相邻分点得一内接折线并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长此折线的长的极限存在的极限存在,则称则称此极限此极限为曲线弧为曲线弧AB的弧长的弧长.1.平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念的两个端点的两个端点,定理定理 光滑曲线弧是可求长光滑曲线弧是可求长.定积分的几何应用定积分的几何应用34弧长元素弧长元素弧长弧长2.直角坐标情形小切线段的长小切线段的长以对应小
14、以对应小切线段的长代替小线段的长切线段的长代替小线段的长设曲线弧为设曲线弧为其中其中有有一阶连续导数一阶连续导数.取积分变量为取积分变量为x,任取小区间任取小区间定积分的几何应用定积分的几何应用35解解所求弧长为所求弧长为例例14 悬链线方程悬链线方程计算介于计算介于 之间一段弧长度之间一段弧长度.定积分的几何应用定积分的几何应用36曲线弧为曲线弧为弧长弧长3.参数方程情形其中其中具有连续导数具有连续导数.定积分的几何应用定积分的几何应用37解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为对称性对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例例15 求星形线求星形线的
15、全长的全长.定积分的几何应用定积分的几何应用38曲线弧为曲线弧为弧长弧长4.极坐标情形其中其中具有连续导数具有连续导数.定积分的几何应用定积分的几何应用39解解定积分的几何应用定积分的几何应用405.曲率是描述曲线局部性质是描述曲线局部性质(弯曲程度弯曲程度)的量的量.弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大越大转角相同弧段转角相同弧段越短越短(1).曲率的定义曲率的定义曲率曲率转角转角越大越大弯曲程度大弯曲程度大定积分的几何应用定积分的几何应用41设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，定义定义曲线曲线C 在点在点M处的曲率处的曲率为为（平均曲率平均曲率为为存在的条件下存在的条件下,定积分的几何应用定积分的几
16、何应用42(2).曲率的计算公式曲率的计算公式(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒圆上各点处的曲率等于半径的倒数数,且半径越小曲率越大且半径越小曲率越大.注注定积分的几何应用定积分的几何应用43二阶可导二阶可导,由公式由公式定积分的几何应用定积分的几何应用44定义定义(circle of curvature)使使曲率圆曲率圆.曲率中心曲率中心,曲率半径曲率半径.设曲线设曲线 y=f(x)在点在点M(x,y)处的曲率为处的曲率为K(K 0).在点在点M处的曲线的法线上处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点D,以以D为圆心为圆心,为半径作圆为半
17、径作圆(如图如图).称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点M处的处的3、曲率圆与曲率半径、曲率圆与曲率半径定积分的几何应用定积分的几何应用45(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的的(2)曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处曲线在该点处(3)曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点注注曲率半径越小曲率半径越小,曲率越大曲率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).的曲率越小的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);附近曲线弧附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).曲率互为倒数曲率互为
18、倒数,即即定积分的几何应用定积分的几何应用46五、旋转体的侧面积五、旋转体的侧面积采用元素法采用元素法如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线直线直线及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体,侧面积为多少侧面积为多少?取积分变量为取积分变量为x,为底的为底的小曲边梯形小曲边梯形绕绕 x 轴轴旋转而旋转而成的薄片的成的薄片的侧面积元素侧面积元素定积分的几何应用定积分的几何应用47从而,侧面积为例 求曲线绕直线 旋转一周所得的旋转体的侧面积.定积分的几何应用定积分的几何应用48求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形求在直角坐标系下、极坐标系下
19、平面图形（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积分有助于简化积分分平面图形的方法有分平面图形的方法有:分竖条分竖条,分横条分横条,分成扇形分成扇形,分成圆环分成圆环.的面积的面积.运算）运算）六、小结六、小结旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 x 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 y 轴旋转一周轴旋转一周定积分的几何应用定积分的几何应用49平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下求弧长的公式求弧长的公式定积分的几何应用定积分的几何应用曲率的计算公式曲率圆,曲率半
20、径的概念旋转体的侧面积50思考题思考题1位置无关位置无关.设设分别表示分别表示从点从点向抛物线向抛物线引出的两条切线的切点引出的两条切线的切点.在点在点的切线方程的切线方程:即即又又解解定积分的几何应用定积分的几何应用51于是切线于是切线的方程分别为的方程分别为所围图形的所围图形的面积为面积为可见可见无关无关,位置无关位置无关.定积分的几何应用定积分的几何应用52思考题思考题2解答解答仅仅有曲线连续还不够仅仅有曲线连续还不够,不一定不一定.必须保证曲线光滑才可求长必须保证曲线光滑才可求长.闭区间闭区间a,b上的连续曲线上的连续曲线 y=f(x)是否是否一定可求长一定可求长?定积分的几何应用定积分的几何应用53作业作业习题习题4.8(2334.8(233页页)(A)1.(2)2.(2)7.(B)(B)2.3.4(3)6(3)定积分的几何应用定积分的几何应用54