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1、关于多元函数的极关于多元函数的极值及其求法值及其求法现在学习的是第1页，共23页一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义现在学习的是第2页，共23页例例1 1例例例例(3)(2)(1)现在学习的是第3页，共23页2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证现在学习的是第4页，共23页现在学习的是第5页，共23页仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点.驻点驻点偏导数存在的极值点偏导数存在的极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个
2、驻点是否为极值点？注意：注意：现在学习的是第6页，共23页现在学习的是第7页，共23页现在学习的是第8页，共23页例例4 求函数求函数的极值。的极值。解解求解方程组：求解方程组：得驻点得驻点因此，驻点因此，驻点现在学习的是第9页，共23页因此，驻点因此，驻点因此，驻点因此，驻点现在学习的是第10页，共23页与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数不存在。不存在。现在学习的是第11页，共23页求最值的一般求最值的一般方法方法：将函数在将函数在 D 内的所有驻点处
3、的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值现在学习的是第12页，共23页解解令令现在学习的是第13页，共23页无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.现在学习的是第14页，共23页实例实例：小王有：小王有 200
4、元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买买 x 张磁盘，张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 U(x,y)=lnx+lny 设每张磁设每张磁 盘盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的问题的实质实质：求：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法现在学习的是第15页，共23页条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加
5、条件的极值现在学习的是第16页，共23页求解方程组求解方程组解出解出 x,y,z,t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.现在学习的是第17页，共23页解解则则例例6 求表面积为求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为设长方体的长、宽、高为 x,y，z.体积为体积为 V.则问题就是条件则问题就是条件求函数求函数的最大值的最大值.令令下，下，现在学习的是第18页，共23页则则令令即即由由(2),(1)及及(3),(2)得得现在学习的是第19页，共23页由由(2),(1)及及(3),(2)得得于是，于是，代入条件，得代入条件，得解得解得这
6、是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，因为由问题本身可知，所以，所以，最大值就在此点处取得。最大值就在此点处取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，现在学习的是第20页，共23页解解则则由由(1)，(2)得得由由(1)，(3)得得现在学习的是第21页，共23页将将(5)，(6)代入代入(4)：于是，得于是，得这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值现在学习的是第22页，共23页2022/9/26感谢大家观看现在学习的是第23页，共23页