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1、页 1 第 河北武邑中学 2019-2020学年高三上学期期末考试 数学理科试卷 试卷满分：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）1 2020i ()A1 B1 Ci Di 2 设i为虚数单位，复数12ii的实部为（）A.2 B.-2 C.3 D.-3 3.若向量,)()3,(Rxxa，则“4x”是“5a”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数中，在区间（0，）上单调递增的是（）A.B.C.xy21log D.5
2、.已知)cos(2)2cos(，且31)tan(，则tan的值为（）.A 7.B 7.C 1 .D1 6.将函数 sin 20f xx 的图象向右平移4个单位长度后得到函数 sin 26g xx的图象，则函数 fx的一个单调减区间为()A 5,12 12 B 5,66 C 5,36 D 2,63 7.如图，在平行四边形ABCD中,11,33AEAB CFCD G为EF的中点，则DG（）页 2 第 A 1122ABAD B1122ADAB C.1133ABAD D1133ADAB 8.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A 3 B13 C.12 D2 9.公元前 5 世纪下半叶开奥斯地方的
3、希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以 O 为圆心的大圆直径为 4,以 AB 为直径的半圆面积等于 AO 与 BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与AOB的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A 384 B684 C.342 D642 10设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为 F，在 x 轴上 F 的右侧有一点 A，以 FA 为直径的圆与椭圆在 x轴上方部分交于 M、N 两点，则|FMFNFA等于（）A 22aab B22aab C222aab D222aab 页 3 第 11.已知函数21181,2,lo
4、g2)(21 xxxxfx，若)()(babfaf，则ab的最小值为 A.22 B.21 C.42 D.35 12.已知双曲线C：)0,0(12222babyax，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B，交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间.已知O为原点，且aOA35|，则|FCFA A.45 B.34 C.23 D.25 二、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卡横线上。13.数列 na满足11,a 前n项和为nS，且),2(2*NnnaSnn，则 na的 通项公式na 14.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件
5、：所有的奇数项满足2121nnaa，所有的偶数项满足222nnaa；任意相邻的两项21na，2na满足21na2na.根据上面的信息完成下面的问题：（i）数列1 2 3 4 5 6，“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（）若2(1)nnann，则数列 na “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15已知抛物线24Cyx：的焦点为F，则F的坐标为 ；过点F的直线交抛物线C于A B,两点，若4AF，则AOB的面积为 16.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的右顶点为A,以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点,P Q.若60PAQ,且3OQOP（其中O为原点），则 双曲线C的离心
6、率为 页 4 第 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共 70 分 17.(本小题满分 12 分)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2(sincoscossin)sinACACA sinC.求证：a、b、c成等差数列；若7c，23C，求b和sin2B的值.18.（本小题满分 12 分）棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，
7、直到跳到第 99 站或第 100站时，游戏结束.设棋子跳到第 n 站的概率为nP.（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望；（2）证明：)982(2111npppPnnnn；并求99P,100P的值.19.（本小题满分 12 分）如 图，在 三 棱 柱111 ABCABC中，侧 棱1AA 底 面ABC,底 面ABC是 正 三 角形,1111113,33ABAAAEAB C FAC(1)求证:1/AE平面BCF;(2)求直线1AA与平面BCF所成角的正弦值.页 5 第 20.(本小题满分 12 分)近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10 C的天气
8、现象出现增多.陡然降温幅度大于10 C容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为25(1)请将下面的列联表补充完整;患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 25 女 20 合计 100(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;(3)已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中,有2名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的20名女性中,选出2名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为X,求X的分布列
9、以及数学期望.下面的临界值表供参考:20P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：22n adbcKabcdacbd，其中.nabcd 21.（本小题满分 12 分）已知函数 cossinxf xexxx，sin2xg xxe，其中e是自然对数的底数 （1）12,0,0,22xx，使得不等式12()()f xmg x成立，试求实数m的取 页 6 第 值范围；（2）若1x ，求证：()()0f xg x（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、2
10、3 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4:坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 过点 M(2，4)以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos ，（1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且|MA|MB|40，求倾斜角 的值 23.选修 4-5:不等式选讲 （本小题满分10 分）已知函数 11xxxf（1）解不等式：2xf；（2）设函数 xf的最小值为m，若a，b均为正数，且mba41，求ba
11、的最小值 页 7 第 高三数学参考答案 1-5 ABDCB 6-10 AADBA 11-12 BB 13.2,21,12nnann 14是；是 15(1 0),；433 16.72 17.解：（1）因为2 sincoscossinsinsinACACAC，所以2 s i ns i ns i nACAC.1分 由于在ABC中，+=A CB，所以s i ns i nACB，所以2sinsinsinBAC.3分 由正弦定理s i ns i ns i nabcABC，得2bac.所以,a b c成等差数列.5分（2）在ABC中，27,3cC，由余弦定理，得 222272cos3abab,即22+49a
12、bab.7分 由（1）知27ab，所以2227+2749bbbb，解得5b.9分 由正弦定理，得2sin5 33sin14bBc.在ABC中，因为于2=3C，所以0,2B，所以225 311cos1 sin11414BB.10 分 页 8 第 所以55 3sin22sincos98BBB.12 分 18.解：（1）81216,8321583214,812136,54,333233133XPCXPCXPXPX，可取 分布列如下：X 3 4 5 6 P 81 83 83 81 29816835834813EX.6 分（2）易知棋子先跳到第2n站，再掷出反面，其概率为212nP；棋子先跳到第1n站，
13、再掷出正面，其概 率 为112nP，因 此 有1212nnnPPP，即11212nnnnPPPP，也 即982)(21-11nPPPPnnnn.故数列11nnPPn是首项为11nnPPn 1011122PP ，公比为12的等比数列.因此有 11101122nnnnnPPPP，由此得到 999899100111211122232P ，999899989921132,21PPP则又 由于若跳到第 99 站时，自动停止游戏，故有10098991111232PP.12 分 19.解:(1)证明:在线段BC上取一点G.使13CGBC.连结.EG FG.在ABC中.因为11,33AEAB CGBC 所以2
14、2,33BEAB BGBC 所以23BEBGABBC 所以，/EGAC且23EGAC 因为111111,/3C FAC ACAC.页 9 第 所以111122/33AFACACAFAC且 所以1/EGAF且1EGAF 故四边形1A FGE为平行四边形,所以1/A EFG 又1AE 平面,BCF FG 平面BCF.所以1/AE平面BCF.(2)以B为坐标原点，,Bx BC BB所在直线分别为,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面ABC是正三角形，13.ABAAAE11.3ABC F 1113AC 所以点 3 50.0.0.0.3.0.,32()2BCF 则3 50.3.0.,322
15、BCBF 设平面BCF的法向量为,nx y z.由,0,3,003 535,3302222n BCx y zn BFx y zxyz 页 10 第 令3z .得平面BCF的一个法向量为6.0.3.n 又10,0,3AA 设直线1AA与平面 BCF所成角的大小为.则0,0,36,0,313sin13339AA nAA n 所以直线1AA与平面BCF所成角的正弦值为1313 20.解：(1)列联表补充如下;患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 20 25 45 女 20 35 55 合计 40 60 100 2计2K算的观测值为 22n adbcKabcdacbd210020 3520 25
16、0.67342.70640 60 45 55 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.(3)根据题意,X的值可能为0,1,2.则121512222020153180,119095CCP XP XCC2222012190CP XC 故X的分布列如下：X 0 1 2 P 153190 1895 1190 故X的数学期望：1531811012190951905E X 21.解：（1）由题意，12,0,0,22xx，使得不等式12()()f xmg x成立，等价于1 max2max()()f xmg x 1 分 (cossin)(sincos)()cos(1)sinxx
17、xfxexxxxxexxex，当,02x 时，0fx，故()f x在区间0,2上单调递增，页 11 第 所以0 x 时，f x取得最大值 1即 max()1f x 3 分 又当0,2x时，cos2xgxxe，sin20 xgxxe 所以 gx在0,2上单调递减，所以 0120gxg，故 g x在区间0,2上单调递减，因此，0 x 时，max()(0)2g xg 所以12m，则 21m 实数m的取值范围是21,6 分（2）当1x 时，要证 0f xg x，只要证e cossinsin2e0 xxxxxx，即证ecos21 sinxxxx，由于cos20,10 xx，只要证esin1cos2xxx
18、x 7 分 下面证明1x 时，不等式ecos1sin2xxxx成立 令 e11xh xxx，则 22e1ee11xxxxxh xxx，当1,0 x 时，0h x，h x单调递减；当0,x时，0h x，h x单调递增 所以当且仅当0 x 时，h x取最小值为 1 9 分 法一：sincos2xkx，则cos2sinkxkx，即sincos2xkxk，即22sin()1kxk，由三角函数的有界性，2211kk，即11k，所以max1k，而 min01h xh，但当0 x 时，010kh；0 x 时，1h xk 所以，maxminesin1cos2xxxx，即esin1cos2xxxx 综上所述，当
19、1x 时，0f xg x成立 12 分 法二：令sin()cos2xxx，其可看作点cos,sinAxx与点2,0B 连线的斜率k，所以直线AB的方程为：2yk x，由于点A在圆221xy上，所以直线AB与圆221xy相交或相切，当直线AB与圆221xy相切且切点在第二象限时，页 12 第 直线AB取得斜率k的最大值为1而当0 x 时，(0)010h；0 x 时，1h xk 所以，minmax()()h xx，即esin1cos2xxxx 综上所述，当1x 时，0f xg x成立 12 分 法三：令sin()cos2xxx，则212cos()(cos2)xxx，当32,()4xkkN时，()x
20、取得最大值 1，而 min01h xh，但当0 x 时，0010h；0 x 时，1h xk 所以，minmax()()h xx，即esin1cos2xxxx 综上所述，当1x 时，0f xg x成立 12 分 22.解：（1）因为 l 的倾斜角为 ，l 过点 M(2，4)，所以直线 l 的参数方程是 x2tcos ，y4tsin(t 是参数)因为 sin2 2cos ，所以 2sin2 2 cos ，由 cos x，sin y 得曲线 C 的直角坐标方程是 y22x （5 分）（2）把 l 的参数方程代入 y22x，得 t2sin2 (2cos 8sin )t200 当(2cos 8sin )280sin2 时，设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则|MA|MB|t1t2|20sin2 由20sin2 40，0 ，0，得 4 （10 分）23.【详解】（）或 或,不等式解集为.（）,又,当且仅当 即时取等号,所以.