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1、河北省武邑中学2020 届高三上学期期末考试试题数学（理）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）12020i ()A1 B1 Ci Di2设i为虚数单位，复数12ii的实部为（）A.2 B.-2 C.3 D.-3 3.若向量,)()3,(Rxxa，则“4x”是“5a”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件4.下列函数中，在区间（0，）上单调递增的是（）A.B.C.xy21log D.5.已知)cos(2)2cos(，且31)tan(，则tan的值
2、为（）.A7.B7.C1.D16.将函数sin 20fxx的图象向右平移4个单位长度后得到函数sin 26g xx的图象，则函数fx的一个单调减区间为()A5,12 12B5,66C5,36D2,637.如图，在平行四边形ABCD中,11,33AEAB CFCD G为EF的中点，则DG（）A1122ABAD B1122ADAB C.1133ABAD D1133ADAB8.执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A3 B13 C.12 D29.公元前 5 世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以 O为圆心的大圆直径为4,以 AB为直径的半圆面积等于AO与 B
3、O所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与 AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（）A384 B684 C.342 D64210设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则|FMFNFA等于（）A22aabB22aabC222aabD222aab11.已知函数21181,2,log2)(21xxxxfx，若)()(babfaf，则 ab的最小值为A.22B.21C.42 D.3512.已知双曲线C：)0,0(12222babyax，过其右焦点F作渐近
4、线的垂线，垂足为B，交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间.已知O为原点，且aOA35|，则|FCFA A.45B.34C.23D.25二、填空题:本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分.将答案填在答题卡横线上。13.数列na满足11,a前n项和为nS，且),2(2*NnnaSnn，则na的通项公式na14.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：所有的奇数项满足2121nnaa，所有的偶数项满足222nnaa；任意相邻的两项21na，2na满足21na2na.根据上面的信息完成下面的问题：（i）数列1 2 3 4 5 6，“有趣数列”（填“是
5、”或者“不是”）；（）若2(1)nnann，则数列na“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.15已知抛物线24Cyx：的焦点为F，则F的坐标为；过点F的直线交抛物线C于A B,两点，若4AF，则AOB的面积为16.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的右顶点为A,以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点,P Q.若60PAQ,且3OQOP（其中O为原点），则双曲线C的离心率为三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共 70 分17.(本小题满分12
6、分)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知2(sincoscossin)sinACACAsinC.求证：a、b、c成等差数列；若7c，23C，求b和sin2 B的值.18.（本小题满分12 分）棋盘上标有第0，1，2，100 站，棋子开始时位于第0 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99 站或第 100 站时，游戏结束.设棋子跳到第 n 站的概率为nP.（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；（2）证明：)982(2111npppPnnnn；并求99P,100P的值.19
7、.（本小题满分12 分）如 图，在 三 棱 柱111ABCA B C中，侧 棱1AA底 面ABC,底 面ABC是 正 三 角形,1111113,33ABAAAEAB C FAC(1)求证:1/A E平面BCF;(2)求直线1AA与平面BCF所成角的正弦值.20.(本小题满分12 分)近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10 C的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于10 C容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为25(1)请将下面的列联表补
8、充完整;患伤风感冒疾病不患伤风感冒疾病合计男25 女20 合计100(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;(3)已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中,有2名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的20名女性中,选出2名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为X,求X的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828参考公式：22n adbcKabcdacbd，其中.nabcd21.（本小题满分12
9、分）已知函数cossinxfxexxx，sin2xg xxe，其中e是自然对数的底数（1）12,0,0,22xx，使得不等式12()()f xmg x成立，试求实数m的取值范围；（2）若1x，求证：()()0f xg x（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点M(2，4)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22cos，（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与C交于A，B
10、两点，且|MA|MB|40，求倾斜角的值23.选修 4-5:不等式选讲 （本小题满分10 分）已知函数11xxxf（1）解不等式：2xf；（2）设函数xf的最小值为m，若a，b均为正数，且mba41，求ba的最小值1-5 ABDCB 6-10 AADBA 11-12 BB 13.2,21,12nnann 14是；是 15(1 0),；433 16.72 17.解：（1）因为2 sincoscossinsinsinACACAC，所以2sinsinsinACAC.1分由于在ABC中，+=A CB，所以sinsinACB，所以2sinsinsinBAC.3分由正弦定理sinsinsinabcABC，
11、得2bac.所以,a b c成等差数列.5分（2）在ABC中，27,3cC，由余弦定理，得222272cos3abab,即22+49abab.7分由（1）知27ab，所以2227+2749bbbb，解得5b.9分由正弦定理，得2sin5 33sin14bBc.在ABC中，因为于2=3C，所以0,2B，所以225 311cos1sin11414BB.10 分所以55 3sin 22sincos98BBB.12 分18.解：（1）81216,8321583214,812136,54,333233133XPCXPCXPXPX，可取分布列如下：X 3 4 5 6 P 81838381298168358
12、34813EX.6 分（2）易知棋子先跳到第2n站，再掷出反面，其概率为212nP；棋子先跳到第1n站，再掷出正面，其概率为112nP，因此有1212nnnPPP，即11212nnnnPPPP，也即982)(21-11nPPPPnnnn.故数列11nnPPn是首项为11nnPPn1011122PP，公比为12的等比数列.因此有11101122nnnnnPPPP，由此得到999899100111211122232P，999899989921132,21PPP则又由于若跳到第99 站时，自动停止游戏，故有10098991111232PP.12 分19.解:(1)证明:在线段BC上取一点G.使13C
13、GBC.连结.EG FG.在ABC中.因为11,33AEAB CGBC所以22,33BEAB BGBC所以23BEBGABBC所以，/EGAC且23EGAC因为111111,/3C FACACAC.所以111122/33A FACACA FAC且所以1/EGA F且1EGA F故四边形1A FGE为平行四边形,所以1/A EFG又1A E平面,BCF FG平面BCF.所以1/A E平面BCF.(2)以B为坐标原点，,Bx BC BB所在直线分别为,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面ABC是正三角形，13.ABAAAE11.3ABC F1113AC所以点3 50.0.0.0.3.
14、0.,32()2BCF则3 50.3.0.,322BCBF设平面BCF的法向量为,nx y z.由,0,3,003 535,3302222n BCx y zn BFx y zxyz令3z.得平面BCF的一个法向量为6.0.3.n又10,0,3AA设直线1AA与平面 BCF所成角的大小为.则0,0,36,0,313sin13339AA nAA n所以直线1AA与平面BCF所成角的正弦值为131320.解：(1)列联表补充如下;患伤风感冒疾病不患伤风感冒疾病合计男202545女203555合计40601002计2K算的观测值为22n adbcKabcdacbd2100203520250.67342
15、.70640 6045 55所以不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.(3)根据题意,X的值可能为0,1,2.则121512222020153180,119095CCP XP XCC2222012190CP XC故X的分布列如下：X012P15319018951190故X的数学期望：1531811012190951905E X 21.解：（1）由 题 意，12,0,0,22xx，使 得 不 等 式12()()f xmg x成 立，等 价 于1max2max()()f xmg x1 分(cossin)(sincos)()cos(1)sinxxxfxexxxxxexx
16、ex，当,02x时，0fx，故()f x在区间0,2上单调递增，所以0 x时，fx 取得最大值1即max()1f x3 分又当0,2x时，cos2xgxxe，sin20 xgxxe所以 gx 在0,2上单调递减，所以0120gxg，故 g x 在区间0,2上单调递减，因此，0 x时，max()(0)2g xg所以 12m，则21m实数m的取值范围是21,6 分（2）当1x时，要证0fxg x，只要证 e cossinsin2e0 xxxxxx，即证ecos21 sinxxxx，由于 cos20,10 xx，只要证esin1cos2xxxx7 分下面证明1x时，不等式ecos1sin2xxxx成
17、立令e11xh xxx，则22e1ee11xxxxxhxxx，当1,0 x时，0hx，h x 单调递减；当0,x时，0hx，h x 单调递增所以当且仅当0 x时，h x 取最小值为1 9 分法一：sincos2xkx，则cos2sinkxkx，即sincos2xkxk，即22sin()1kxk，由三角函数的有界性，2211kk，即11k，所以max1k，而min01h xh，但当0 x时，010kh；0 x时，1h xk所以，maxminesin1cos2xxxx，即esin1cos2xxxx综上所述，当1x时，0fxg x成立 12 分法二：令sin()cos2xxx，其可看作点cos,si
18、nAxx 与点2,0B连线的斜率k，所以直线 AB 的方程为：2yk x，由于点 A 在圆221xy上，所以直线AB 与圆221xy相交或相切，当直线 AB 与圆221xy相切且切点在第二象限时，直线 AB 取得斜率 k 的最大值为1而当0 x时，(0)010h；0 x时，1h xk所以，minmax()()h xx，即esin1cos2xxxx综上所述，当1x时，0fxg x成立 12 分法三：令sin()cos2xxx，则212cos()(cos2)xxx，当32,()4xkkN时，()x取得最大值1，而min01h xh，但当0 x时，0010h；0 x时，1h xk所以，minmax(
19、)()h xx，即esin1cos2xxxx综上所述，当1x时，0fxg x成立 12 分22.解：（1）因为l的倾斜角为，l过点M(2，4)，所以直线l的参数方程是x 2tcos，y 4tsin(t是参数)因为sin2 2cos，所以2sin2 2cos，由cos x，sin y得曲线C的直角坐标方程是y22x（5 分）（2）把l的参数方程代入y22x，得t2sin2(2cos 8sin)t200当(2cos 8sin)280sin2时，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则|MA|MB|t1t2|20sin2由20sin240，0，0，得4（10 分）23.【详解】（）或或,不等式解集为.（）,又,当且仅当即时取等号,所以.