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1、2.2.3-向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)知识回顾知识回顾BAbao.OO.C C C Ca+bbaABba+ba1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则:2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则:首尾相连首尾接起点相同连对角o.BAa-bab3.3.向量减法法则向量减法法则:共起点，连终点，共起点，连终点，方向指向被减数方向指向被减数-a-a-aPQMNaaaABCOa已知非零向量已知非零向量a a，作，作a+a+aa+a+a和和(-a)+(-a)+(-a)(-a)+(-a)+(-a)当当当当0000时时时时,a,a,a,a的方向与的方向与的方向与的方向与a a a
2、 a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同；当当当当0000)(0)(0)(0)倍，即有倍，即有倍，即有倍，即有|b|=|a|,|b|=|a|,|b|=|a|,|b|=|a|,且且且且四、向量共线定理四、向量共线定理四、向量共线定理四、向量共线定理 向量向量向量向量b b b b与与与与非零向量非零向量非零向量非零向量a a a a共线共线共线共线当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一当且仅当有唯一一个实数一个实数一个实数一个实数，使得，使得，使得，使得 b=a.b=a.b=a.b=a.即：即：即：即：1.a向量为零向量时，若向量为零向量时，若b向量是零向量，向量是零向量，是取任何常数是取
3、任何常数都成立；若都成立；若b向量不是零向量，向量不是零向量，取任何数都不对。取任何数都不对。2.b向量为零向量时，若向量为零向量时，若a向量是零向量，向量是零向量，是取任何常数是取任何常数都成立都成立(注意：这样注意：这样就不唯一了！就不唯一了！)；若；若a向量不是零向量不是零向量，向量，就只能取就只能取0了（此时了（此时唯一哦）。唯一哦）。解：作图如右解：作图如右解：作图如右解：作图如右OABC依图猜想依图猜想依图猜想依图猜想:A:A:A:A、B B B B、C C C C三点共线三点共线三点共线三点共线 A A A A、B B B B、C C C C三点共线三点共线三点共线三点共线.ab
4、bbba例例2 2、已知任意两非零向量、已知任意两非零向量a a、b b，试作试作 OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3bOA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位置关系吗？为什么？三点之间的位置关系吗？为什么？AB=OB-OAAB=OB-OAAB=OB-OAAB=OB-OA AC=2ABAC=2ABAC=2ABAC=2AB又又又又 AC=OC-OAAC=OC-OAAC=OC-OAAC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b=a+3b-(a+b)=2b=a+3b-(a+b)=2b=a+3b-(a+b)=2b =a+2b-(a+b)=
5、b=a+2b-(a+b)=b=a+2b-(a+b)=b=a+2b-(a+b)=b又又又又 ABABABAB与与与与ACACACAC有公共点有公共点有公共点有公共点A A A A，AEDCB解：解：解：解：=3 AC=3 AC=3(AB+BC)=3(AB+BC)AB+BC=ACAB+BC=AC =3 AB+3 BC=3 AB+3 BC又又 AE=AD+DEAE=AD+DE ACAC与与AE AE 共线共线如图，已知如图，已知如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3ABAD=3ABAD=3AB、DE=3BCDE=3BCDE=3BCDE=3BC，试证明，试证明，试证明，试证明ACACACAC与与与与
6、AEAEAEAE共线。共线。共线。共线。摇身一变摇身一变例例3 3：又又又又 ACACACAC与与与与AEAEAEAE有公共点有公共点有公共点有公共点A A A A，A A A A、C C C C、E E E E三点共线三点共线三点共线三点共线.定理应用定理应用变式变式1 1：如图，已知如图，已知如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3ABAD=3ABAD=3AB、AE=3ACAE=3ACAE=3ACAE=3AC，试证明，试证明，试证明，试证明BCBCBCBC和和和和DEDEDEDE共线。共线。共线。共线。变式变式：如图，已知如图，已知如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3ABAD=3ABA
7、D=3AB、DE=3BCDE=3BCDE=3BCDE=3BC，试判断试判断试判断试判断A A A A、C C C C、E E E E三点位置关系三点位置关系三点位置关系三点位置关系?结论：向量共线定理可用来解决向量共线定理可用来解决向量共线定理可用来解决向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。向量共线和三点共线问题。向量共线和三点共线问题。向量共线和三点共线问题。判断下列各小题中的向量判断下列各小题中的向量a与与b是否共线是否共线.二、知识应用：二、知识应用：二、知识应用：二、知识应用：1.1.1.1.证明证明证明证明 向量共线；向量共线；向量共线；向量共线；2.2.2.2.证明证明证
8、明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线:一、概念与定理一、概念与定理一、概念与定理一、概念与定理 a a a a 的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理向量共线定理向量共线定理 (a0)(a0)(a0)(a0)b=a b=a b=a b=a 向量向量向量向量a a a a与与与与b b b b共线共线共线共线C.A.B.2.设 是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是().D.1.下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个BC3.在 中,设D为边的中点,求证:解：因为（）（）所以，所证等式成立所以，所证等式成立E过点B作BE,使
9、连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有解2:（C）分析分析:由 所以 在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,则 等于 4.4.5.5.ABCD6.6.如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点中，点中，点MM是是是是ABAB中点，点中点，点中点，点中点，点N N在线段在线段在线段在线段BDBD上，且有上，且有上，且有上，且有BN=BDBN=BD，求证：，求证：，求证：，求证：MM、N N、C C三点共线。三点共线。三点共线。三点共线。提示：设提示：设提示：设提示：设AB =AB
10、 =a a BC =BC =b b则则则则MN=MN=a+a+b b MC=MC=a+a+b b对于任意一个三角形，对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做三角形的三条高的交点叫做垂心垂心，三角形的三条中线的交点所为三角形的三条中线的交点所为重心重心，三角形的三条角平分线的交点叫三角形的三条角平分线的交点叫内心内心，三角形的三条中垂线的交点叫三角形的三条中垂线的交点叫外心外心 思考思考1 1：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ，与与 分别有什么关系？分别有什么关系？ABCDM思考思考2 2：若存在实数若存在实数，使，使 ，则则A A、B B、C C三点的位置关系如何？三点的位置关系如何？思考思考3 3：如图，若如图，若P P为为ABAB的中点，则的中点，则 与与 、的关系如何？的关系如何？A AB BP PO O7 7:若若其中其中 ,是是已知向量已知向量,求求 ，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得解：记 ，3得 -得例6:8 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设 请用 .ECODBA 分析分析:解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。解：解：因为A是BC的中点，所以 谢谢