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1、BAbao.a+bbaABba+ba1. 1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: :2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: :首尾相连首尾接起点相同连对角o.BAa-bab3.3.向量减法法则向量减法法则: :共起点，连终点，共起点，连终点，方向指向被减数方向指向被减数-a-a-aPQMNaaaABCOaaaBCABOAOC)a()a()a(MNQMPQPN的方向相同a与a3的方向相反a与a3a已知非零向量已知非零向量a a，作，作a+a+aa+a+a和和(-a)+(-a)+(-a)(-a)+(-a)+(-a)a3记作a3a3a3记作a3a3二、向量数乘的几何意义二、向量数
2、乘的几何意义a-3aa213aa21a结论结论: :2a+2b=2(a+b)结论结论: 3(2a)=6 aabbaba22 a2b2a)2(3a)2(3aa6=特别地，三、向量数乘运算满足的运算律：1 1a a2 2b b结论：（1 1）(1) 3 , 6(2) 8 , 1421(3) , 3332(4) , 43aebeaebeaebeaebe 2ba 74ba 例例1：把下列各小题中的向量：把下列各小题中的向量b表示为实数表示为实数与向量与向量a的积的积.a21ba98b (1)0,?aa 为 什 么 要 是 非 零 向 量 ，若上 述 定 理 成 立 吗吗吗？可可以以是是0)2(b 0/
3、 aabab 1.a向量为零向量时，若向量为零向量时，若b向量是零向量，向量是零向量，是取任何常数是取任何常数都成立；若都成立；若b向量不是零向量，向量不是零向量，取任何数都不对。取任何数都不对。2.b向量为零向量时，若向量为零向量时，若a向量是零向量，向量是零向量，是取任何常数是取任何常数都成立都成立(注意：这样注意：这样就不唯一了！就不唯一了！)；若；若a向量不是零向量不是零向量，向量，就只能取就只能取0了（此时了（此时唯一哦）。唯一哦）。OABCabbbba例例2 2、已知任意两非零向量、已知任意两非零向量a a、b b，试作试作 OA=OA=a+ba+b, OB=a+2b, OC=a+
4、3b, OB=a+2b, OC=a+3b。你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位置关系吗？为什么？三点之间的位置关系吗？为什么？AEDCB =3 AC=3 AC =3( AB+ BC )=3( AB+ BC ) AB+BC=ACAB+BC=AC =3 AB+3 BC=3 AB+3 BC又又 AE=AD+DEAE=AD+DE ACAC与与AE AE 共线共线例例3 3：变式变式1 1：变式变式：? ?结论：12121212(1)2 ,2(2),22(3),2ae beaee beeaee bee 判断下列各小题中的向量判断下列各小题中的向量a与与b是否共线是否共线.aaC.的方向相反
5、与aaA.的方向相同与aa2B.2.设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).aaD.a1.下列四个说法正确的个数有( ).B.2个A.1个C.3个D.4个; bmambambam ）（，恒有、和向量对于实数;),(baRmbmam则有若;, 0),(nmaRnmanam则有、若;)(anamanmanm，恒有和向量、对于实数BC3. 在 中,设D为边的中点,求证:ABC)(21) 1 (ACABADADCABCAB223)2(解：因为BDABADBCAB21)(21ABACAB)(21ACAB（）（）CABCABAB22原式左边CAACAB2右边ADACAB2所以，所证等式成立所
6、以，所证等式成立E过点B作BE,使ACBE 连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有ADAEACAB2)(21ACABAD解2:,31bACaABBCBDBCABCD，设边上一点，且中是等于则AD（ C ）)(31.baA)(31.abB)2(31.baC)2(31.abDNCANbADaAB3,分析分析: :由 所以 在平行四边形ABCD中, ,M为BC的中点,则 等于 MN,21,334,3baAMbaACANNCAN）（得bababaMN4141)21()(43ba41414.4.5.5.ABCD31A AD DB BC CM MN
7、 N613121对于任意一个三角形，对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做三角形的三条高的交点叫做垂心垂心，三角形的三条中线的交点所为三角形的三条中线的交点所为重心重心，三角形的三条角平分线的交点叫三角形的三条角平分线的交点叫内心内心，三角形的三条中垂线的交点叫三角形的三条中垂线的交点叫外心外心 思考思考1 1：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ， 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？B Duuu rB Cuuu rA Duuu rD Muuuu rABCDM思考思考2 2：若存在实数若存在实数，使，使
8、，则则A A、B B、C C三点的位置关系如何？三点的位置关系如何？A BBCl=uuu ruuu r思考思考3 3：如图，若如图，若P P为为ABAB的中点，则的中点，则 与与 、 的关系如何？的关系如何？O Puuu rO Auuu rO Buuu rA AB BP PO O、 、共线A BBCABCl=uuu ruuu r1()2O PO AO B=+uuu ruuu ruuu r7 7: :若若其中其中 , , 是是已知向量已知向量, ,求求 ，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得aanm23bnm3bam112113解：记 ， bnm3933得 ,113111ban-得abybax5152,5152anm23bnm3bmn例6:8 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用 .OAB31，bOBaOADCOCba，表示向量，ECODBA 分析分析: : 解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。 baODOC，与,解：解：因为A是BC的中点，所以 .22),(21baOBOAOCOCOBOA即babbaOBOCODOCDC35232232ab