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1、 小学生数数学错误学错误的研究 数学教育研究的一个重要领域就是要回答这样一个问题：学生究竟是如何学习数学的？如果承认学生的个性差异，就是说承认没有两个学生是完全一样的，那么这就成为非常复杂的问题。有些研究致力于“共性”，去发现多数学生普遍性的学习规律。也可以开展“个性”的研究，即个别学生的数学学习。此类研究非常好的切入点就是关注学生的“数学错误”。小学生数学错误的研究v第一节 问题的来源v第二节 数学错误研究框架v第三节 识别“错误”的标准v第四节 数学错误的规律v第五节 学生做题时为什么出错v第六节 问题与讨论第一节 问题的来源v如果我们并不真正了解学生在数学学习过程中的思维活动，相应的教学
2、理论就不能说具有坚实的理论基础。正是关于学习过程中思维活动的深入研究导致了教育思想的根本性变革。-郑毓信第一节 问题的来源v一、真实的错误案例v二、为什么要研究学生的数学错误第一节 问题的来源v一、真实的错误案例案例1 （二年级）v学生板演 正确结果：错误结果：案例2 (除数是两位数的除法）v学生板演 正确结果：错误结果：二、为什么要研究学生的数学错误v1、关于数学错误的一般观点v2、从学生的已知和未知入手，了解学生的困难v3、正确认识学生的困难所在，避免误诊v1、关于数学错误的一般观点（1）数学难学（2）人人都会犯错误（3）“错误”是学习数学的资源（4）研究学生的数学错误可以帮助教师理解学生
3、（5）研究“错误”是实现教师专业发展的捷径 （1）数学难学严谨的逻辑性、高度的抽象性、广泛的应用性严谨的逻辑性v严谨的逻辑性，要求分析和证明的过程必须依据明确的数学定理、结论，同时要按照明确的算法进行操作。高度的抽象性v数学是一种符号的语言，所有的数学公式、定理都可以有不同的符号来表达。严谨的逻辑性和高度的抽象性共同决定了数学的广泛应用性。（2）人人都会犯错误v（3）“错误”是学习数学的资源案例（初学多位数的乘法）v皮亚杰皮亚杰认为，学习是一种通过反复思考招致错误的缘由、逐渐消除错误的过程。v罗增儒罗增儒也曾提出：“学生在解题中出错是学习活动的必然现象。对于解题中出现的错误与疏忽，我们不仅要看
4、到其消极的方面，而且更要看到这是提高解题能力、完善认知结构的一个极好机会。”（4）研究学生的数学错误可以帮助教师理解学生（5）研究“错误”是实现教师专业发展的捷径v2、从学生的已知和未知入手，了解学生的困难v3、正确认识学生的困难所在，避免误诊案例 在此，学生在计算每个数位上的数字差时，都采用的是“大减小”的方法。第二节 数学错误研究框架v一、数学错误研究的基本领域v二、数学错误研究的主要内容v三、数学错误研究的常用方法 数学错误数学错误是一种非常普遍的现象，不论学生年龄的大小、所处地域及时代的不同，他们在从事数学学习的过程中都无可避免地要犯错误。初等数学阶段的诊断教学包括了五个过程v识别学生
5、在数学学习过程中的弱点和强项；v对造成学生学习弱点和强项的原因进行假设；v详细制订目标以帮助学生补救弱点，加强强项；v给出并尝试正确的补救措施；v继续对诊断的所有环节进行评估，以确定措施在加强强项和排除弱项上是有帮助的。诊断教学循环识别假设系统陈述目的补救成功评价一、数学错误研究的基本领域v第一，辨别错误的标准。v第二，识别错误的知识点。v第三，分析错误的原因。v第四，如何矫正错误。二、数学错误研究的主要内容v1、数学概念错误v2、数学计算错误三、数学错误研究的常用方法v数学教育的研究方法一般包括质性研究和定量研究两种第三节 识别“错误”的标准v一、关于错误的相关界定v二、数学知识错误的标准
6、“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错方法。”-波珀一、关于错误的相关界定v1，哲学领域中的错误概念v2，关于错误的普遍理解v3，对数学错误的一般认识v4，三者的关系二、数学知识错误的标准v 知识方面的原因是导致学生数学错误的一个主要方面，因此，研究学生的数学错误必须首先对数学知识的分类有所认识。就数学内容的产生而言，数学知识可以分成以下三类。v第一，由数学自身的发展面自然成立的结果。（例如加法交换律，三角形内角和等于180度等性质。）v第二，为了数学发展的需要面人为规定的内容。（例如余数要比除数小，0不能作除数等约定。）v第三，为了人的某种需要面人为规定的内容。（
7、例如对概念的命名，度量单位、标准算法的规定）案例（乘法竖式计算方法）计算：计算：学生1老师第四节 数学错误的规律 “谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”-盖耶v一、数学概念错误v二、数学计算错误一、数学概念错误一、数学概念错误v 李善良李善良将学生在数学概念学习中的错误分为两类。一为过程性错误，二为”合理性”错误。在概念形成的过程中，经常出现以下错误v第一，有日常生活概念代替数学概念。v第二，用概念原型替代概念。v第三，用“形象描述”代替数学概念。二、数学计算错误二、数学计算错误v 沃思.奥斯本认为，学生在学习中所犯错误率高的内容就是学生的困难。测试问卷（考查学
8、生在除法计算上的困难）v1）A；针对位值或除法竖式的运算形式，如 18361；v2）O；商等于零，如028；v3）R；余数不为零的除法，如54=11；v4）B；个位上有借位，如8225；v5）Bt；十位上有借位，如12848；v6）B2；十位和个位上都有借位，如12248；v7）C；部分商与除数相乘时有进位，如17622；v8）Q；商不明显；v9）Q（带有下标）；为了得到正确的商要经过多次错误的尝试。通过调查，学生在计算中的困难主要表现为六种v1）对位值和运算形式理解的困难；v2）在确定余数上的困难；v3）商中有零的困难；v4）进位乘法的困难；v5）退位减法的困难；v6）当商不明显时，确定商的
9、困难。整数除法计算的常见错误划分为：v1、遗漏被除数；v2、商的首位数商0；v3、商的首位数写错位置；v4、试商错误；v5、计算商中间有0的除法的常见错误；v6、计算商末尾有0的除法的常见错误；v7、计算被除数和除数末尾都有0的除法的常见错误；v8、商和除数相乘的常见错误；v9、部分被除数减“分去的数”的常见错误。曹培英在计算教学中将计算错误的类型划分为：计算错误口算错误方法错误其它错误计算法则方面的错误计算顺序方面的错误简便运算方面的错误 学者们关于小学生计算错误的主要类型划分大致可以概括以下几点：v1）针对不同计算内容。v2）针对具体题型。v3）找出错有哪里。第五节 学生做题时为什么出错v
10、一、小学生如何学习数学v二、错误原因的维度划分 小学生在解答数学题的过程中通常都要经过问题的识别、记忆、理解、激活背景观念、选择调整解题方法等步骤。这就说明他们能否顺利完成解题，除了依赖原有的知识技能外，还和本身的心理能力和智力品质密不可分。-王芳，郭培玉一、小学生如何学习数学v1、小学生如何掌握数学概念v2、小学生如何掌握计算法则v3、小学生运算技能的形成特点v4、影响小学生数学学习的因素1、小学生如何掌握数学概念 小学生数学概念一般有概念形成和概念同化两种基本方式。概念形成是从对大量具体例子中抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。这个过程一般可以划分为五个阶段：v第一，辨别各种刺激模
11、式。v第二，分化出各种刺激模式的属性。v第三，概括出各个刺激模式的共同属性，并 提出它们的共同关键属性的种种假设。v第四、在特定的情境中检验假设，确认关键属性。v第五、将抽象出的关键属性加以概括，最终形成概念。概念同化过程 给出定义（提示本质属性，给出其名称和符号）区别原有认知结构中的某些概念与原认知结构建立联系，明确新概念的内涵与外延将新概念纳入原有的概念体系中v2、小学生如何掌计算法则v3、小学生运算技能的形成特点4、影响小学生数学学习的因素v（1）学生的已有经验会对数学学习产生影响v（2）学生的认知水平会对数学学习产生影响v（3）学生的心理特点会对其学习结果产生影响 1）学生的已有知识。
12、2）学生的认知特点。3）学生的情感特点。二、错误原因的维度划分v第一、语言困难造成的错误。v第二、由于空间信息获得的困难造成的错误。v第三、由于必要技能、知识、概念理解不到位而造成的错误。从以上学者对于数学计算错误原因的分析从以上学者对于数学计算错误原因的分析中看出，学者们的研究结果大致呈现以下三种中看出，学者们的研究结果大致呈现以下三种倾向。倾向。第一，从知识角度进行分析。第二、从认知角度进行分析。第一，从情感角度进行分析。第六节 问题与讨论v“学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学。”-罗增儒案例1（四则混合计算题）v学生1 学生2案例2（一节数学课上的小故事）快下课了，老师出了一道题：“若a为自然数，说出a以后的7个连续自然数。”一个小女孩举手抢答：“a,b,c,d,e,f,g。“话音刚落，便z上起哄堂大笑，老师也愕然了。女孩觉察到，自己的答案，驴唇不对马嘴。出了笑话，落个满脸通红。接着，一个男孩起来补正：“a+1,a+2,a+3,a+4,a+5,a+6,a+7。”说完后，下课铃响了，教师宣布下课。案例3（除法竖式）v下面解答是否错误？评判的标准是什么？案例4（被除数、除数末尾有零的除法）再 见 ！