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1、2.1必要条件与充分条件第第1课时课时必要条件与充分条件必要条件与充分条件自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.理解充分条件、必要条件的含义理解充分条件、必要条件的含义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件件.3.能够利用命题之间的关系判定充分、必要关能够利用命题之间的关系判定充分、必要关系系.4.体会数学抽象和推理的过程体会数学抽象和推理的过程,提升逻辑推理的提升逻辑推理的素养素养.一、必要条件与性一、必要条件与性质定理定理【问题思考】【问题
2、思考】1.古时候有个卖油郎古时候有个卖油郎,名叫洛孝名叫洛孝.一天一天,他在卖油回家的路上捡他在卖油回家的路上捡到到30两银子两银子,回家后其母亲要求洛孝把银子还给失主回家后其母亲要求洛孝把银子还给失主.当洛孝当洛孝把银子还给失主时把银子还给失主时,失主却说自己丢了失主却说自己丢了50两银子两银子,要洛孝拿出要洛孝拿出自己私留的自己私留的20两银子两银子.两人为此争执不休两人为此争执不休,告到县衙告到县衙.县官听了县官听了两人的供述后两人的供述后,把银子判给洛孝把银子判给洛孝,失主含羞离去失主含羞离去.设设A:洛孝拾到洛孝拾到30两银子两银子,失主丢失失主丢失50两银子两银子.B:洛孝所拾银子
3、不是失主所丢洛孝所拾银子不是失主所丢.县官由县官由A得出什么结论得出什么结论?它是它是A的什么条件的什么条件?提示提示:B,必要条件必要条件.2.填空填空:必要条件的含义必要条件的含义一般地一般地,当命题当命题“若若p,则则q”是是真真命题时命题时,称称q是是p的必要条件的必要条件.也就也就是说是说,一旦一旦q不成立不成立,p一定也不成立一定也不成立,即即q对于对于p的成立是必要的的成立是必要的.3.做一做做一做:p:a1,q:|a|1,则则p是是q的的条件条件.解析解析:a|a|1,|a|1a1”是是“x0”的充分条件的充分条件,p可以是可以是“x2”“x3”或或“2x3”等等.(2)“若若
4、p,则则q”为真命题为真命题,则则p是是q的什么条件的什么条件?提示提示:充分条件充分条件.【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“”,错误错误的画的画“”.(1)当当p是是q的必要条件时的必要条件时,也可以说成也可以说成q成立则必有成立则必有p成立成立.()(2)若若p是是q的充分条件的充分条件,则则p成立成立,一定有一定有q成立成立.()(3)若若p q,则则p一定不是一定不是q的充分条件的充分条件.()(4)“两角不相等两角不相等”是是“两角不是对顶角两角不是对顶角”的必要条件的必要条件.()探究探究一一 必要条
5、件必要条件【例【例1】将下面的性质定理写成将下面的性质定理写成“若若p,则则q”的形式的形式,并用必要并用必要条件的语言表述条件的语言表述.(1)矩形的对角线相等矩形的对角线相等;(2)正方形的四条边相等正方形的四条边相等.解解:(1)原命题可表述为原命题可表述为“若一个四边形是矩形若一个四边形是矩形,则该四边形的则该四边形的对角线相等对角线相等”,所以所以“四边形的对角线相等四边形的对角线相等”是是“该四边形是矩该四边形是矩形形”的必要条件的必要条件.(2)原命题可表述为原命题可表述为“若一个四边形是正方形若一个四边形是正方形,则这个四边形的则这个四边形的四条边相等四条边相等”,所以所以“四
6、边形的四条边相等四边形的四条边相等”是是“四边形是正方四边形是正方形形”的必要条件的必要条件.当一个命题的条件和结论不明显时当一个命题的条件和结论不明显时,可以把它的表述适当改可以把它的表述适当改变变,再写成再写成“若若p,则则q”的形式的形式,然后根据必要条件与命题的关系然后根据必要条件与命题的关系判断判断.【变式训练【变式训练1】把下列命题写成把下列命题写成“若若p,则则q”的形式的形式,并用必要并用必要条件的语言表述条件的语言表述.(1)实数的平方是非负数实数的平方是非负数;(2)等底等高的两个三角形面积相等等底等高的两个三角形面积相等.解解:(1)原命题可以写成原命题可以写成:若一个数
7、是实数若一个数是实数,则它的平方是非负数则它的平方是非负数.所以所以“一个数的平方是非负数一个数的平方是非负数”是是“这个数是实数这个数是实数”的必要条的必要条件件.(2)原命题可以写成原命题可以写成:若两个三角形等底等高若两个三角形等底等高,则这两个三角形则这两个三角形面积相等面积相等.所以所以“两个三角形面积相等两个三角形面积相等”是是“这两个三角形等底等高这两个三角形等底等高”的必的必要条件要条件.探究探究二二 充分条件充分条件【例【例2】用充分条件的语言表述下列命题用充分条件的语言表述下列命题:(1)若若p:m-2,则则q:方程方程x2-x-m=0无实根无实根;(2)“m是有理数是有理
8、数”是是“m是实数是实数”;(3)若若a=-b,则则a2=b2.解解:(1)“p:m0,则一元二次方程则一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不等实根有两个不等实根.解解:(1)“若一个四边形四条边相等若一个四边形四条边相等”是是“该四边形是菱形该四边形是菱形”的充的充分条件分条件.(2)“0”是是“一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不等实根有两个不等实根”的充分条件的充分条件.探究探究三三 充分条件充分条件、必要条件的、必要条件的应用用【例【例3】是否存在实数是否存在实数p,使使“4x+p0”的充分的充分条件条件?若存在若存在,求出求出p的取值范围的取值范围;
9、若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.分析分析:先求不等式的解集先求不等式的解集再根据条件判断两解集的关系再根据条件判断两解集的关系建立不等式求解建立不等式求解1.将本例中的将本例中的“充分条件充分条件”改为改为“必要条件必要条件”,其他不变其他不变,如何求如何求解解?解解:由由(x-2)(x+1)0 4x+p0,所以不存在实数所以不存在实数p使使“4x+p0”的必要条件的必要条件.2.写出写出4x+p0的一个必要条件的一个必要条件.【变式训练【变式训练3】已知已知p:-4x-a4,q:(x-2)(x-3)0,且且q是是p的充分的充分条件条件,求实数求实数a的取值范围的取值范围.解解:由由-
10、4x-a4,得得-4+ax4+a,由由(x-2)(x-3)0,得得2x3.又又q是是p的充分条件的充分条件,则有则有x|2x3 x|-4+ax4+a,应用充分条件和必要条件的两个思路应用充分条件和必要条件的两个思路(1)确定条件与结论确定条件与结论:确定确定p和和q谁是条件谁是条件,谁是结论谁是结论.(2)“”符号的应用符号的应用:若若pq,则则p是是q成立的充分条件成立的充分条件;若若qp,则则p是是q成立的必要条件成立的必要条件.提醒提醒:应用充分条件和必要条件应用充分条件和必要条件,主要看能否得到主要看能否得到pq和和qp.因对充分、必要的概念理解不清致误因对充分、必要的概念理解不清致误
11、【典例】【典例】已知已知p:x2-2x-30,若若-ax-10)是是p的一个必要条的一个必要条件件,求实数求实数a的取值范围的取值范围.错解错解 由由x2-2x-30,解得解得-1x3.依题意依题意,得得x|-1x3 x|1-ax0).以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改正正?你如何防范你如何防范?提示提示:分不清分不清条件和结论条件和结论,或对必要条件的概念理解不清或对必要条件的概念理解不清,把必把必要条件当充分条件致误要条件当充分条件致误.必要条件是由结论推条件必要条件是由结论推条件,充分条件充分条件由条件推结论由条件推结
12、论,解题时要注意区分解题时要注意区分.正解正解:由由p:x2-2x-30,解得解得-1x3,由由-ax-1a,解得解得1-ax0).依题意依题意,得得x|-1x3 x|1-ax0).故实数故实数a的取值范围是的取值范围是2,+).在判断充分条件、必要条件时在判断充分条件、必要条件时,要特别注意哪一个是要特别注意哪一个是“条件条件”,哪一个是哪一个是“结论结论”,否则将犯否则将犯“张冠李戴张冠李戴”的错误的错误.需注意需注意:若若p是是q的的条件条件,则则p是条件是条件,q是结论是结论;若若p的的条件是条件是q,则则p是结是结论论,q是条件是条件.【变式训练】【变式训练】已知集合已知集合P=x|
13、a-4xa+4,Q=x|1x3,“xP”是是“xQ”的必要条件的必要条件,求实数求实数a的取值范围的取值范围.1.“x4”的一个必要条件是的一个必要条件是()A.x4C.x2D.x5解析解析:当当x4时一定有时一定有x2.故选故选C.答案答案:C2.“x2=4”是是“x=m”的必要条件的必要条件,则则m的一个值可以是的一个值可以是()A.0B.2C.4D.16解析解析:由由“x=2”能得出能得出“x2=4”,选项选项B正确正确.答案答案:B答案答案:C 4.下列下列“若若p,则则q”形式的命题中形式的命题中,p是是q的充分条件的命题个数的充分条件的命题个数为为()若若f(x)是二次函数是二次函
14、数,则则f(x)=x2;若若x5,则则x2;若若x2-9=0,则则x=3.A.0B.1C.2D.3解析解析:f(x)=x2f(x)是二次函数是二次函数,p是是q的必要条件的必要条件;x5x2,p是是q的充分条件的充分条件;x2-9=0 x=3,p是是q的必要条件的必要条件,故选故选B.答案答案:B5.下面四个条件中下面四个条件中,使使“ab”成立的充分条件是成立的充分条件是.(填写序号填写序号)ab-1;ab+1;a2b2;a3b3.解析解析:取取a=0.5,b=1,则则ab-1,但但ab+1时时,因为因为b+1b,所以所以ab成立成立;故故“ab+1”是是“ab”成立成立的充分条件的充分条件,符合题意符合题意;取取a=-2,b=1,满足满足“a2b2”,但但“ab”不成立不成立,故故“a2b2”不是不是“ab”的充分条件的充分条件,故故不符合题意不符合题意;根据立方的意义根据立方的意义,当当“a3b3”成立时成立时,必定有必定有“ab”成立成立,故故“a3b3”是是“ab”的充分条件的充分条件,符合题意符合题意.答案答案: