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1、关于二次型与标准型第一页，本课件共有30页引言：在解析几何中，引言：在解析几何中，为为了便于研究二次曲了便于研究二次曲线线把方程化把方程化为标为标准形准形的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 第二页，本课件共有30页上式的左上式的左边边是一个二次是一个二次齐齐次多次多项项式。式。从代数学的从代数学的观观点看，化点看，化标标准形的准形的过过程程就是通就是通过变过变量的量的线线性性变换变换化化简简一个二一个二次次齐齐次多次多项项式，使它只含有平方式，使它只含有平方项项这样这样一个一个问题问题，在，在许许多理多理论问题论问题或或实际问题实际问题中常会遇到。中常
2、会遇到。现现在我在我们们把把这类问题这类问题一般化，一般化，讨论讨论n个个变变量的二次量的二次齐齐次多次多项项式的化式的化简问题简问题第三页，本课件共有30页定定义义1 含有含有n个个变变量量 称称为为二次型。二次型。的二次齐次函数的二次齐次函数例如二元及三元二次型（举例）例如二元及三元二次型（举例）第四页，本课件共有30页对对于二次型，我于二次型，我们讨论们讨论的主要的主要问题问题是：是：寻寻求可逆的求可逆的线线性性变换变换 使二次型只含平方使二次型只含平方项项，也就是代入能使之成，也就是代入能使之成为为这这种只含平方种只含平方项项的二次型，称的二次型，称为为二次型的二次型的标标准形准形(或
3、法式或法式)。第五页，本课件共有30页如果如果标标准形的系数只在准形的系数只在1，-1,0三个三个数中取值，也就是代入数中取值，也就是代入 能使之成为能使之成为则则称上式称上式为为二次型的二次型的规规范形范形。我们利用矩阵来解决这一问题我们利用矩阵来解决这一问题第六页，本课件共有30页一。二次型与可逆线性变换的矩阵表示一。二次型与可逆线性变换的矩阵表示例例1.将下列二次型表示成矩阵乘积的形式：将下列二次型表示成矩阵乘积的形式：解：先写成对称形式解：先写成对称形式第七页，本课件共有30页第八页，本课件共有30页利用内积写成：利用内积写成：第九页，本课件共有30页令：令：则：则：第十页，本课件共有
4、30页矩阵矩阵是对称矩阵，它是由二次型的系数来决定的，是对称矩阵，它是由二次型的系数来决定的，我们称该二次型的矩阵，而二次型称该矩阵我们称该二次型的矩阵，而二次型称该矩阵的二次型，他们之间是一一对应的。的二次型，他们之间是一一对应的。矩阵矩阵A的秩称对应二次型的秩的秩称对应二次型的秩，写出了二次型的矩，写出了二次型的矩，就容易将二次型表示成矩阵乘积的形式。，就容易将二次型表示成矩阵乘积的形式。第十一页，本课件共有30页将矩阵与二次型的系数比较，不难发现：将矩阵与二次型的系数比较，不难发现：1）对角元对应相应平方项的系数，）对角元对应相应平方项的系数，2）非对角元对应相应交叉项系数的一半）非对角
5、元对应相应交叉项系数的一半（另一半为其对称元素）（另一半为其对称元素）我们将矩阵与未知数的系数列成下表：我们将矩阵与未知数的系数列成下表：其中表中数字表对应变量乘积之系数其中表中数字表对应变量乘积之系数第十二页，本课件共有30页例例2.写出下列二次型对应的矩阵，写出下列二次型对应的矩阵，并将二次型表示成矩阵乘积的形式：并将二次型表示成矩阵乘积的形式：解解:其矩阵分别为：其矩阵分别为：第十三页，本课件共有30页对应二次型分别写为：对应二次型分别写为：下面将可逆线性变换下面将可逆线性变换第十四页，本课件共有30页利用将线性方程组表示成矩阵的方法利用将线性方程组表示成矩阵的方法（变量（变量X与线性方
6、程组中的常数项对应）与线性方程组中的常数项对应）可将可逆线性变换用矩阵表示如下：可将可逆线性变换用矩阵表示如下：其中其中C为线性变换对应的矩阵，为线性变换对应的矩阵，X,Y为为变量对应的向量表示变量对应的向量表示用矩阵乘积表示用矩阵乘积表示第十五页，本课件共有30页二。将二次型化成标准型：二。将二次型化成标准型：。定定义义5.7 设设n阶矩阵阶矩阵A，若有可逆矩阵，若有可逆矩阵C使使1.将可逆线性变换：将可逆线性变换：代入二次型：代入二次型：得：得：则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B合同合同第十六页，本课件共有30页显显然，若然，若A为对为对称称阵阵，则则也也为对为对称称阵阵，且，且R(A)=R
7、(B)故故B为对为对称称阵阵。又因。又因也可逆，由矩也可逆，由矩阵阵秩的性秩的性质质即知即知。由此可知，由此可知，经经可逆可逆线线性性变换变换后，二次型后，二次型f的矩的矩阵阵由由A变变成与成与A合同的矩合同的矩阵阵。且二次型的秩不且二次型的秩不变变。事实上因事实上因C可逆，故可逆，故第十七页，本课件共有30页矩阵等价，相似，合同是矩阵的三大关系矩阵等价，相似，合同是矩阵的三大关系，总结一下，各自的背景，判定条件，之，总结一下，各自的背景，判定条件，之间的关系，应用。间的关系，应用。矩阵合同关系是等价关系，故满足：矩阵合同关系是等价关系，故满足：自反，对称，传递自反，对称，传递2.用用lagr
8、ang配方法把二次型化标准型配方法把二次型化标准型，第十八页，本课件共有30页上一节我们讲了用正交变换化二次型为上一节我们讲了用正交变换化二次型为标准形，这个问题称主轴问题。由于正标准形，这个问题称主轴问题。由于正交变换有保持图形不变的性质，因此在交变换有保持图形不变的性质，因此在研究几何图形中被广泛应用但在很多场研究几何图形中被广泛应用但在很多场合下我们只需要用一般可逆合下我们只需要用一般可逆线性变换把二次型化标准形。下面我们线性变换把二次型化标准形。下面我们介绍用介绍用Logrange配方法把二次型化成标配方法把二次型化成标准形。所用线性变换为可逆线性变换。准形。所用线性变换为可逆线性变换
9、。第十九页，本课件共有30页一、一、Logrange配方法的步配方法的步骤骤起起头头，首先集中所有含，首先集中所有含的的项进项进行配方，剩下部分再不含行配方，剩下部分再不含起起头头，则则再集中所有含再集中所有含，情形情形1，如果二次型中含有平方项。不妨设以，如果二次型中含有平方项。不妨设以不妨设以不妨设以的项的项的项进行配方。以此类推，直至全部的项进行配方。以此类推，直至全部配成平方为止配成平方为止第二十页，本课件共有30页情形情形2，如果二次型中不含有平方项。不妨设含，如果二次型中不含有平方项。不妨设含则变换后即含有平方项，再按情形则变换后即含有平方项，再按情形1进行配进行配方即可。将以上每
10、次新老变量的线性变换方即可。将以上每次新老变量的线性变换连乘，即得新变量组到终变量组间的可逆连乘，即得新变量组到终变量组间的可逆线性变量。线性变量。的项，令的项，令注：通过以下例题可看到用注：通过以下例题可看到用Logrange配方法把二次型化成标准形。的步骤与配方法把二次型化成标准形。的步骤与过程，其一般性证明是类似的，留待读者过程，其一般性证明是类似的，留待读者第二十一页，本课件共有30页例例5.6.1 用配方法化下列二次型用配方法化下列二次型为标为标准形，准形，设设解解 ，故可先将含，故可先将含的各的各项项集中并集中并进进行配平方行配平方f中含有变量平方项，例如中含有变量平方项，例如第二
11、十二页，本课件共有30页 令可逆线性变换令可逆线性变换第二十三页，本课件共有30页即即使得使得显显然如令然如令上式又可化成上式又可化成规规范型范型第二十四页，本课件共有30页例例5.6.2 用配方法把下面二次型化用配方法把下面二次型化为标为标准形准形解：因解：因为为f中不含有中不含有变变量平方量平方项项，所以先做，所以先做一个一个简单简单的可逆的可逆线线性性变换变换使新二次型出使新二次型出现现平平方方项项。为为此此设设即即第二十五页，本课件共有30页代入原二次型得代入原二次型得用例用例5.6.1配方步配方步骤骤得得第二十六页，本课件共有30页令可逆令可逆线线性性变换变换代入上式，得代入上式，得
12、由上面由上面，式，得可逆式，得可逆线线性性变换变换即即 第二十七页，本课件共有30页一般非正交一般非正交变换变换的可逆的可逆线线性性变换变换不再不再保持保持图图形形状不形形状不变变，但仍保持，但仍保持许许多好多好的特性。首先保持秩不的特性。首先保持秩不变变，因此当二，因此当二次型用可逆次型用可逆线线性性变换变换化化标标准形准形时时，其，其非零平方非零平方项项的个数或独立的个数或独立变变量个数）量个数）是不是不变变的。不的。不仅仅如此，如此，还还有如下有如下结论结论定理定理5.9（惯惯性定理）性定理）设设秩秩为为r的的的实的实二次型二次型，经经可逆可逆线线性性变换变换化化标标准形准形时时，正平，
13、正平方方项项的个数的个数第二十八页，本课件共有30页请总结一下，请总结一下，用用Logrange配方法把二次型配方法把二次型化成标准形的步骤，并比较用正交变换化成标准形的步骤，并比较用正交变换化标准型各有什么特征，及不同。化标准型各有什么特征，及不同。我们学过矩阵的初等变换，能否通过我们学过矩阵的初等变换，能否通过矩阵的初等变换将对称矩阵化成矩阵的初等变换将对称矩阵化成标准型呢？（请参考有关线性代数书籍）标准型呢？（请参考有关线性代数书籍）p（称正惯性指数）不变，因而负（称正惯性指数）不变，因而负平方项的个数平方项的个数q（称负惯性指数）不（称负惯性指数）不变，变，p-q称符号差，当然也是不变的。称符号差，当然也是不变的。证略。证略。第二十九页，本课件共有30页感感谢谢大大家家观观看看第三十页，本课件共有30页