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1、关于用正交关于用正交变换化二化二次型次型为标准型准型第一页，本课件共有20页一、正交变换法一、正交变换法定义定义.定理定理.使得使得-2-第二页，本课件共有20页-3-用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型为标准形的步骤则则为正交矩阵为正交矩阵,且且第三页，本课件共有20页-4-第四页，本课件共有20页例例2.2.求一个正交变换求一个正交变换化为标准形化为标准形,并求正交变换矩阵并求正交变换矩阵.解：解：把二次型把二次型二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：其特征多项式为：其特征多项式为：-5-(1)(1)求求的特征值：的特征值：第五页，本课件共有20页把第把第2,3,42,3,4列都加
2、到第列都加到第1 1列上列上,有有把第把第2,3,42,3,4行分别减去第行分别减去第1 1行行,有有-6-第六页，本课件共有20页按第按第1 1列展开列展开按最后按最后1 1行展开行展开,得得于是，于是，的特征值为：的特征值为：-7-(2)(2)求求的特征向量：的特征向量：解方程组解方程组第七页，本课件共有20页得基础解系为：得基础解系为：得基础解系为：得基础解系为：解方程组解方程组将将Schmidt正交化得正交向量组：正交化得正交向量组：-8-第八页，本课件共有20页将将单位化单位化得：得：-9-第九页，本课件共有20页于是，正交矩阵为于是，正交矩阵为所以，原二次型在正交变换所以，原二次型
3、在正交变换下可化为标准形：下可化为标准形：-10-第十页，本课件共有20页例例3.3.用正交变换将二次型用正交变换将二次型化为标准形化为标准形,并求正交变换矩阵并求正交变换矩阵.解：解：二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为-11-第十一页，本课件共有20页将将单位化单位化得：得：于是，正交矩阵为：于是，正交矩阵为：所以，原二次型在正交变换所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：下可化为标准形：-12-第十二页，本课件共有20页 用正交变换化实二次型为标准形用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理主轴定理),),它起源它起源于对二次曲线和二次曲面的分
4、类问题的讨论。即将二于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形次曲线和二次曲面的方程变形(化为标准形方程化为标准形方程),),选有选有主轴主轴(正交矩阵的列向量正交矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简化方方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。程的形状。例如例如,画图画图步骤：步骤：(1)(1)令令特征值和对应的正交单位特征向量为特征值和对应的正交单位特征向量为二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：用正交变换化实二次型为标准形的应用用正交变换化实二次型为标准形的应用-13-第十三页，本课件共有20页所以，正交矩阵为：所以，正交矩阵为：且在正交变换且在正交变换x=Tyx=Ty
5、下下,原二次型化为标准形：原二次型化为标准形：因此双曲线因此双曲线的图形为以的图形为以方向为主轴方向的双曲线方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的旋转即标准位置双曲线的旋转-14-第十四页，本课件共有20页-15-图形图形(如下图所示如下图所示)。第十五页，本课件共有20页-16-用正交变换化二次型为标准形的步骤：用正交变换化二次型为标准形的步骤：为正交矩阵。为正交矩阵。第十六页，本课件共有20页1.1.求一正交变换求一正交变换,将二次型将二次型化为标准形化为标准形,并求正交变换矩阵并求正交变换矩阵.解：解：二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：-17-第十七页，本课件共有20页对于对于特征向量为：特征向量为：对于对于特征向量为：特征向量为：将将单位正交化单位正交化得：得：-18-第十八页，本课件共有20页于是，正交矩阵为：于是，正交矩阵为：所以，原二次型在正交变换所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：下可化为标准形：-19-第十九页，本课件共有20页感感谢谢大大家家观观看看第二十页，本课件共有20页