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1、会计学1理学理学(lxu)导数与微分导数与微分第一页，共74页。记作记作三阶三阶(sn ji)导数的导数称为四阶导数导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数二阶和二阶以上的导数(do sh)统称为高阶导统称为高阶导数数(do sh).二阶导数二阶导数(do sh)的导数的导数(do sh)称为三阶导数称为三阶导数(do sh),第1页/共74页第二页，共74页。二、二、高阶导数高阶导数(do sh)求法举例求法举例例例1 1解解1.1.直接直接(zhji)(zhji)法法:由高阶导数的定义由高阶导数的定义(dngy)逐步求高阶逐步求高阶导数导数.第2页/共74页第三页，共74页。例例2 2
2、解解第3页/共74页第四页，共74页。例例3 3解解注意注意(zh(zh y):y):求求n n阶导数时阶导数时,求出求出1-31-3或或4 4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析分析结果结果(ji gu)(ji gu)的规律性的规律性,写出写出n n阶导数阶导数.(.(数学归纳法证明数学归纳法证明)第4页/共74页第五页，共74页。例例4 4解解同理可得同理可得第5页/共74页第六页，共74页。例例5 5解解第6页/共74页第七页，共74页。2.高阶导数高阶导数(do sh)的运的运算法则算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式(gngsh)第7页/共74页第八页，共74页。例例6 6解解第8页
3、/共74页第九页，共74页。3.3.间接间接(jin(jin ji)ji)法法:常用常用(chn yn)高阶导数公式高阶导数公式 利用利用(lyng)已知的高阶导数公式已知的高阶导数公式,通通过四则过四则运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.第9页/共74页第十页，共74页。例例7 7解解第10页/共74页第十一页，共74页。例例8 8解解第11页/共74页第十二页，共74页。三、小结三、小结三、小结三、小结(xi(xi oji)oji)高阶导数高阶导数(do sh)的定义及物理意义的定义及物理意义;高阶导数高阶导数(do sh)的运算法则的运算法则(莱布尼兹莱布尼兹
4、公式公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.第12页/共74页第十三页，共74页。思考题思考题设设 连续连续(linx)，且，且 ，求求 .第13页/共74页第十四页，共74页。思考题解答思考题解答(jid)可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求第14页/共74页第十五页，共74页。练练 习习 题题第15页/共74页第十六页，共74页。第16页/共74页第十七页，共74页。第17页/共74页第十八页，共74页。练习题答练习题答案案第18页/共74页第十九页，共74页。第19页/共74页第二十页，共74页。第20页/共74页第二十一页，共74页。第五节：
5、第五节：隐函数及参数隐函数及参数(cnsh)(cnsh)方方程求导程求导第21页/共74页第二十二页，共74页。一、隐函数一、隐函数一、隐函数一、隐函数(hnsh)(hnsh)的导数的导数的导数的导数定义定义(dngy)(dngy):隐函数隐函数(hnsh)的显的显化化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第22页/共74页第二十三页，共74页。例例1 1解解解得解得第23页/共74页第二十四页，共74页。例例2 2解解所求切线所求切线(qixin)方程
6、为方程为显然显然(xinrn)通过原点通过原点.第24页/共74页第二十五页，共74页。例例3 3解解第25页/共74页第二十六页，共74页。二、对数二、对数二、对数二、对数(du sh)(du sh)求导法求导法求导法求导法观察观察(gunch)函函数数方法方法(fngf(fngf):):先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:第26页/共74页第二十七页，共74页。例例4 4解解等式等式(dngsh)两边取对两边取对数得数得第27页/共74页第二十八页，共74页。例例5 5解解等式两边等
7、式两边(lingbin)取对数得取对数得第28页/共74页第二十九页，共74页。一般一般(ybn)地地第29页/共74页第三十页，共74页。三、由参数方程所确定三、由参数方程所确定三、由参数方程所确定三、由参数方程所确定(qudng)(qudng)的函数的导数的函数的导数的函数的导数的函数的导数例如例如(lr)消去参数消去参数(cnsh)问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?第30页/共74页第三十一页，共74页。由复合由复合(fh)函数及反函数的求导法则得函数及反函数的求导法则得第31页/共74页第三十二页，共74页。第32页/共74页第三十三页，共74页。例例6
8、6解解第33页/共74页第三十四页，共74页。所求切线所求切线(qixin)方程为方程为第34页/共74页第三十五页，共74页。例例8 8解解第35页/共74页第三十六页，共74页。四、相关四、相关四、相关四、相关(xinggun)(xinggun)变化率变化率变化率变化率相关相关(xinggun)(xinggun)变化变化率问题率问题:已知其中已知其中(qzhng)一个变化率时如何求出另一个变化率一个变化率时如何求出另一个变化率?第36页/共74页第三十七页，共74页。五、小结五、小结五、小结五、小结(xi(xi oji)oji)隐函数隐函数(hnsh)(hnsh)求导法则求导法则:直接对方
9、程两边求导直接对方程两边求导;对数对数(du sh)(du sh)求导法求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数(du(du sh),sh),按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链式求导法用链式求导法求解求解.第37页/共74页第三十八页，共74页。思考题思考题第38页/共74页第三十九页，共74页。思考题解答思考题解答(jid)不对不对第39页/共
10、74页第四十页，共74页。练练 习习 题题第40页/共74页第四十一页，共74页。第41页/共74页第四十二页，共74页。第42页/共74页第四十三页，共74页。练习题答案练习题答案(d n)第43页/共74页第四十四页，共74页。第44页/共74页第四十五页，共74页。第七节：第七节：函数函数(hnsh)(hnsh)的微分的微分第45页/共74页第四十六页，共74页。一、问题一、问题一、问题一、问题(wnt)(wnt)的提出的提出的提出的提出实例实例(shl):(shl):正方形金属薄片受热后面积的改变正方形金属薄片受热后面积的改变量量.第46页/共74页第四十七页，共74页。再例如再例如(
11、lr),既容易既容易(rngy)计算又是较好的近似值计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要改变量的主要(zhyo)(zhyo)部分部分)是是否所有函数的改变量都有否所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?第47页/共74页第四十八页，共74页。二、微分二、微分二、微分二、微分(wi fn)(wi fn)的定的定的定的定义义义义定义定义(dngy)(微分微分(wi fn)(wi fn)的的实质实质)第48页/共74页第四十九页，共74页。由定义由定义(dngy)(dngy)知知:第49页/共74页第五十页，共74页。三、可微的条件三、可微的条件三、可微
12、的条件三、可微的条件(tiojin)(tiojin)定理定理(dngl)证证(1)必要性必要性第50页/共74页第五十一页，共74页。(2)充分性充分性第51页/共74页第五十二页，共74页。例例1 1解解第52页/共74页第五十三页，共74页。四、微分四、微分四、微分四、微分(wi fn)(wi fn)的几何的几何的几何的几何意义意义意义意义MNT）几何几何(j h)意义意义:(如如图图)P 第53页/共74页第五十四页，共74页。五、微分五、微分(wi fn)的求的求法法求法求法:计算计算(j sun)(j sun)函数的导数函数的导数,乘以自变量的乘以自变量的微分微分.1.基本基本(jb
13、n)初等函数的微分公初等函数的微分公式式第54页/共74页第五十五页，共74页。2.函数和、差、积、商的微分函数和、差、积、商的微分(wi fn)法则法则第55页/共74页第五十六页，共74页。例例2 2解解例例3 3解解第56页/共74页第五十七页，共74页。例例4 4解解例例3 3解解第57页/共74页第五十八页，共74页。例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数(hnsh),使等式成立使等式成立.第58页/共74页第五十九页，共74页。小结小结(xioji)微分学所要解决微分学所要解决(jiju)的两类的两类问题问题:函数函数(hnsh)的变
14、化率的变化率问题问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:第59页/共74页第六十页，共74页。导数与微分导数与微分(wi fn)的区别的区别:第60页/共74页第六十一页，共74页。思考题思考题第61页/共74页第六十二页，共74页。思考题解答思考题解答(jid)说法说法(shuf)不对不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，
15、导数是从函数变化率问题归性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳纳(gun)出函数增量与自变量增量之比的极限，出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念它们是完全不同的概念.第62页/共74页第六十三页，共74页。练练 习习 题题第63页/共74页第六十四页，共74页。第64页/共74页第六十五页，共74页。练习题答案练习题答案(d n)第65页/共74页第六十六页，共74页。第66页/共74页第六十七页，共74页。六、微分六、微分(wi fn)在近在近似计算中的应用似计算中的应用第67页/共74页第六十八页，共74页。一、计算函数一、计算函数一、计算函数一、计算函数(hnsh)(hnsh)增量的近似值增量的近似值增量的近似值增量的近似值例例1 1解解第68页/共74页第六十九页，共74页。二、计算二、计算(j sun)函数的近似值函数的近似值例例1 1解解第69页/共74页第七十页，共74页。第70页/共74页第七十一页，共74页。常用近似常用近似(jn s)公式公式证明证明(zhngmng)第71页/共74页第七十二页，共74页。例例2 2解解第72页/共74页第七十三页，共74页。小结小结小结小结(xi(xi oji)oji)近似计算的基本近似计算的基本(jbn)公式公式第73页/共74页第七十四页，共74页。