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1、会计学1数值数值(shz)积分与数值积分与数值(shz)微分微分第一页，共152页。（4）f(x)本身没有解析表达式，其函数关系本身没有解析表达式，其函数关系(gun x)由由表格或图形给出，列如为实验或测量数据表格或图形给出，列如为实验或测量数据.（2）f(x)的原函数的原函数(hnsh)不能用初等函数不能用初等函数(hnsh)形式形式表示，例如表示，例如（3）f(x)的原函数虽然可用初等函数形式的原函数虽然可用初等函数形式(xngsh)表示，表示，但其原函数表示形式但其原函数表示形式(xngsh)相当复杂，例如相当复杂，例如（1）f(x)复杂，求原函数困难，列如复杂，求原函数困难，列如第2
2、页/共152页第二页，共152页。以上的以上的 4种情况都不能用牛顿种情况都不能用牛顿莱布尼兹公式方莱布尼兹公式方便地计算该函数的定积分便地计算该函数的定积分(jfn)，满足不了实际需要，满足不了实际需要，因此，有必要研究定积分因此，有必要研究定积分(jfn)的数值计算问题；另的数值计算问题；另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也相当复外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本章杂，也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本章主要介绍数值求积分主要介绍数值求积分(jfn)和数值求微分的方法。和数值求微分的方法。第3页/共152页第三页，共152
3、页。由积分中值定理由积分中值定理,对连续函数对连续函数f(x),在区间在区间a,b内至少存在内至少存在(cnzi)一点一点，使，使只要对平均高只要对平均高度度 f()提供一提供一种种(y zhn)近近似算法似算法,便可便可相应地获得一相应地获得一种种(y zhn)数数值求积方法值求积方法.即所谓矩形公即所谓矩形公式式.第4页/共152页第四页，共152页。例如例如,用区间用区间a,b两端点的函数值两端点的函数值 f(a)与与f(b)的算术的算术(sunsh)平均值作为平均值作为f()的近似值的近似值,可导出求积公式可导出求积公式这便是这便是(bin sh)人们所熟知的梯形公式人们所熟知的梯形公
4、式.第5页/共152页第五页，共152页。如果改用区间如果改用区间a,b的中点的中点(zhn din)c=(a+b)/2 处的函处的函数值数值f(c)近似代替近似代替f(),则又可导出所谓则又可导出所谓(中中)矩形公式矩形公式第6页/共152页第六页，共152页。一般地一般地,在区间在区间a,b上适当选取上适当选取(xunq)点点xk(k=0,1,n),然后用然后用 f(xk)的加权平均值作为的加权平均值作为f()的近似的近似值值,可得到更为一般的求积公式可得到更为一般的求积公式 其中：点其中：点xk叫求积节点叫求积节点,系数系数(xsh)Ak叫求积系数叫求积系数(xsh).Ak仅与节点仅与节
5、点xk的选取有关的选取有关,而与被积函数而与被积函数 f(x)无关无关.求积公式求积公式(gngsh)的截断误差为的截断误差为 R(f)又称为又称为求积余项求积余项.这类数值积分方法通常称为这类数值积分方法通常称为机械求积机械求积，其特点是将，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛-莱莱公式寻求原函数的困难公式寻求原函数的困难.第7页/共152页第七页，共152页。4.1.2 4.1.2 代数精度代数精度代数精度代数精度(jn d)(jn d)的概念的概念的概念的概念 定义定义1 如果如果(rgu)求积公式求积公式(1)对所有次数不超
6、过对所有次数不超过m的多项式都精确成立；的多项式都精确成立；(2)至少至少(zhsho)对一个对一个m+1次多项式不精确成立，次多项式不精确成立，则称该公式具有则称该公式具有m次代数精度次代数精度(或代数精确度或代数精确度).数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对们自然希望求积公式能对“尽可能多尽可能多”的函数准确地的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念成立，这就提出了所谓代数精度的概念.第8页/共152页第八页，共152页。一般来说，代数精度一般来说，代数精度(jn d)越高，求积公式越好。越高，求积公式越好。结论结论
7、一个求积公式具有一个求积公式具有m次代数精度次代数精度(jn d)的充的充要条件是该求积公式要条件是该求积公式:(1)对对xk(k=0,1,m)精确成立；精确成立；(2)对对xm+1不精确成立不精确成立.故一般故一般(ybn)地，要验证一个求积公式具有地，要验证一个求积公式具有m次代数精度，只要令对于次代数精度，只要令对于 f(x)=1,x,xm求积公式求积公式精确成立等式就行精确成立等式就行.第9页/共152页第九页，共152页。即对于即对于(duy)求积公式求积公式 给定给定(i dn)n+1个互异的求积节点个互异的求积节点 x0,x1,xn-1,xn,令求积公式对令求积公式对 f(x)=
8、1,x,xn 精确成立精确成立,即得即得求解该方程组即可确定求积系数求解该方程组即可确定求积系数Ak,所得到的求积公式至所得到的求积公式至少少(zhsho)具有具有n 次代数精度次代数精度.第10页/共152页第十页，共152页。解解 当当 f(x)=1时时,此时公式精确此时公式精确(jngqu)成立。成立。例例1 验证梯形公式验证梯形公式具有一次代数精度。具有一次代数精度。当当 f(x)=x时，时，公式也精确公式也精确(jngqu)成立成立.当当 f(x)=x2 时，时，公式对公式对x2不精确不精确(jngqu)成立成立.故由定理故由定理1知知,梯形公式的代数精度为梯形公式的代数精度为1次次
9、.第11页/共152页第十一页，共152页。例例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精度确定求积公式中的待定系数，使其代数精度(jn d)尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度(jn d).解解 令令 f(x)=1,x,x2 代入公式两端代入公式两端(lin dun)并令其相等，并令其相等，得得 解得解得第12页/共152页第十二页，共152页。得求积公式得求积公式(gngsh)(gngsh)为为令令 f(x)=x3，得，得令令 f(x)=x4，得，得故求积公式具有故求积公式具有(jyu)3(jyu)3次代数精度次代数精度.第13页/共152页第十三页，
10、共152页。如果我们事先选定求积节点如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间，譬如，以区间a,b的等距分点作为节点，这时取的等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组求解方程组即可确定求积系数即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有，而使求积公式至少具有 n次次代数精度代数精度.本章第本章第2节介绍节介绍(jisho)这样一类求积公这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例式，梯形公式是其中的一个特例.如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个确定如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个确定(qudng)参数参数xk和和Ak的代数问题的代数问题.方程组方程组(1.4)实际上是一实际上是一2n+
11、2个参数的非线性方程组，此方程组当个参数的非线性方程组，此方程组当n1时求解非常困时求解非常困难，但当难，但当n=0及及n=1的情形还是可以通过求解方程组得到相的情形还是可以通过求解方程组得到相应的求积公式应的求积公式.下面对下面对n=0讨论求积公式的建立及代数精确讨论求积公式的建立及代数精确度度.第14页/共152页第十四页，共152页。此时此时(c sh)求积公式为求积公式为其中，其中，x0及及A0为待定参数为待定参数(cnsh).根据代数精确度定根据代数精确度定义可令义可令f(x)=1,x，由方程组知，由方程组知.得得得到得到(d do)的求积公式就是的求积公式就是(1.2)式的中矩形公
12、式式的中矩形公式.再再令令f(x)=x2，代入，代入(1.4)式的第三式式的第三式第15页/共152页第十五页，共152页。说明说明(1.2)式对式对f(x)=x2不精确不精确(jngqu)成立，故它的代数成立，故它的代数精确精确(jngqu)度为度为1.方程组方程组(1.4)是根据是根据(1.3)式的求积公式得到的，式的求积公式得到的，按照按照(nzho)代数精确度的定义，如果求积公式中除代数精确度的定义，如果求积公式中除了了f(xi)还有还有(x)在某些节点上的值，也同样可得到在某些节点上的值，也同样可得到相应的求积公式相应的求积公式.第16页/共152页第十六页，共152页。例例1 给定
13、形如下面的求积公式，试确定系数给定形如下面的求积公式，试确定系数A0,A1,B0,，使公式具有，使公式具有(jyu)尽可能高的代数精确度尽可能高的代数精确度.解解 根据题意可令根据题意可令f(x)=1,x,x2分别分别(fnbi)代入求积代入求积公式使它精确成立：公式使它精确成立：第17页/共152页第十七页，共152页。解得解得当当f(x)=x3时，上式右端为时，上式右端为1/3，而左端是，而左端是于是于是(ysh)有求积公式有求积公式故积分公式对故积分公式对f(x)=x3不精确不精确(jngqu)成立，其代数成立，其代数精确精确(jngqu)度为度为2.第18页/共152页第十八页，共15
14、2页。4.1.3 4.1.3 插值型的求积公式插值型的求积公式插值型的求积公式插值型的求积公式(gngsh)(gngsh)设给定设给定(i dn)一组节点一组节点且已知且已知f(x)在这些节点在这些节点(ji din)上的函数值上的函数值 f(xk),则则可求得可求得f(x)的拉格朗日插值多项式的拉格朗日插值多项式(因为因为Ln(x)的原函的原函数易求数易求)其中其中lk(x)为插值基函数为插值基函数,取取由上式确定系数的公式称为由上式确定系数的公式称为插值型求积公式插值型求积公式.即即则则 f(x)Ln(x)第19页/共152页第十九页，共152页。插值型求积公式积分法几何插值型求积公式积分
15、法几何(j h)表示表示第20页/共152页第二十页，共152页。由插值余项定理由插值余项定理(dngl),其求积余项为其求积余项为其中其中(qzhng)=(x)如果求积公式如果求积公式(1.5)是插值型的，按照插值余项式子，是插值型的，按照插值余项式子，对于对于(duy)次数不超过次数不超过n的多项式的多项式f(x)，其余项，其余项 R(f)等于等于零，因而这时求积公式至少具有零，因而这时求积公式至少具有n次代数精度次代数精度.第21页/共152页第二十一页，共152页。反之，如果求积公式反之，如果求积公式(gngsh)至少具有至少具有n次代数次代数精度，则它必定是插值型的精度，则它必定是插
16、值型的.事实上，这时求积公事实上，这时求积公式式(gngsh)对于插值基函数对于插值基函数 lk(x)应准确成立，即有应准确成立，即有注意注意(zh y)到到lk(xj)=kj，上式右端实际上即等于，上式右端实际上即等于Ak，因而下面式子成立因而下面式子成立.第22页/共152页第二十二页，共152页。定理定理(dngl)1 具有具有n+1个节点的数值求积公式个节点的数值求积公式(1.5)是插值型求积公式的充要条件为是插值型求积公式的充要条件为:该公式至少该公式至少(zhsho)具有具有n次代数精度次代数精度.综上所述，我们综上所述，我们(w men)有结论为有结论为 这时令这时令f(x)=1
17、代入又有结论为代入又有结论为 结论结论 对插值型求积公式的系数必有对插值型求积公式的系数必有第23页/共152页第二十三页，共152页。4.1.4 4.1.4 求积公式求积公式求积公式求积公式(gngsh)(gngsh)的余项的余项的余项的余项若求积公式若求积公式(1.3)的代数精确度为的代数精确度为m，则由求积，则由求积公式余项的表达式公式余项的表达式(1.7)可以可以(ky)证明余项形如证明余项形如其中其中K为不依赖于为不依赖于f(x)的待定参数的待定参数.这个结果表明当这个结果表明当f(x)是次数是次数(csh)小于等于小于等于m的多项式时，由于的多项式时，由于f(m+1)(x)=0，故
18、此时，故此时R f=0，即求积公式，即求积公式(1.3)精确成精确成立立.而当而当f(x)=xm+1时，时，f(m+1)(x)=(m+1)!，(1.8)式式左端左端 Rf0，故可求得，故可求得第24页/共152页第二十四页，共152页。代入余项公式代入余项公式(gngsh)(1.8)式可以得到更细致的余项表式可以得到更细致的余项表达式达式.例如梯形公式例如梯形公式(1.1)的代数的代数(dish)精确度为精确度为1，可以证，可以证明它的余项表达式为明它的余项表达式为其中其中(qzhng)于是得到梯形公式于是得到梯形公式(1.1)的余项为的余项为第25页/共152页第二十五页，共152页。对中矩
19、形公式对中矩形公式(1.2)，其代数精确度为，其代数精确度为1，可以，可以(ky)证明它的余项表达式为证明它的余项表达式为其中其中(qzhng)于是于是(ysh)得到中矩形公式得到中矩形公式(1.2)的余项为的余项为第26页/共152页第二十六页，共152页。例例2 求例求例1中求积公式中求积公式(gngsh)的余项的余项.解解 由于由于(yuy)此求积公式的代数精确度为此求积公式的代数精确度为2，故，故余项表达式为余项表达式为R=K()，令，令f(x)=x3，得，得()=3!，于是有，于是有故得故得第27页/共152页第二十七页，共152页。其中其中(qzhng)h=max(xi-xi-1)
20、，则称求积公式，则称求积公式(1.3)是收是收敛的敛的.4.1.5 4.1.5 求积公式求积公式求积公式求积公式(gngsh)(gngsh)的收敛性与稳定性的收敛性与稳定性的收敛性与稳定性的收敛性与稳定性 定义定义(dngy)2 在求积公式在求积公式(1.3)中，若中，若 在求积公式在求积公式(1.3)中，由于计算中，由于计算f(xk)可能产生误可能产生误差差k，实际得到，实际得到 ，即，即 .记记如果对任给小正数如果对任给小正数 0，只要误差，只要误差|k|充分小就有充分小就有它表明求积公式它表明求积公式(1.3)计算是计算是稳定的稳定的，由此给出，由此给出第28页/共152页第二十八页，共
21、152页。定义定义3 对任给小正数对任给小正数 0，若存在，若存在 0，只要，只要 就有就有(1.12)式成立，则式成立，则称求积公式称求积公式(1.3)是是稳定的稳定的.证明证明(zhngmng)对任给对任给 0,若取若取=/(b-a),对所有对所有k都有都有故求积公式故求积公式(gngsh)(1.3)是稳定的是稳定的.证毕证毕.定理定理2 若求积公式若求积公式(1.3)中所有中所有(suyu)系数系数Ak0，则，则此求积公式是稳定的此求积公式是稳定的.则有则有定理定理2表明只要求积系数表明只要求积系数Ak0，就能保证计算的稳定，就能保证计算的稳定性性.第29页/共152页第二十九页，共15
22、2页。4.2 4.2 牛顿牛顿牛顿牛顿(ni dn)(ni dn)柯特斯公式柯特斯公式柯特斯公式柯特斯公式 为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们通为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们通常取等距节点，即将积分区间常取等距节点，即将积分区间(q jin)a,b划分划分n等等分，即令步长分，即令步长h=(b-a)/n，且记，且记x0=a,xn=b，则节点记，则节点记为为xk=x0+kh(k=0,1,n)，然后作变换，然后作变换:t=(x-x0)/h,代代入求积系数公式，将会简化计算入求积系数公式，将会简化计算.第30页/共152页第三十页，共152页。4.2.1 4.2.1 柯特斯系数柯特斯
23、系数柯特斯系数柯特斯系数(xsh)(xsh)与辛普森公式与辛普森公式与辛普森公式与辛普森公式设将积分区间设将积分区间(q jin)a,b划分成划分成 n等分等分,步步长长h=求积节点取为求积节点取为xk=a+kh(k=0,1,n),由此构造由此构造(guzo)插值插值型求积公式型求积公式,则其求积系数为则其求积系数为引入变换引入变换 x=a+th,则有则有(k=0,1,n)(k=0,1,n)第31页/共152页第三十一页，共152页。其中其中(qzhng)记记于是于是(ysh)得求得求积公式积公式称为称为(chn wi)n 阶牛顿阶牛顿-柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)公公式式.显然显
24、然,柯特斯系数与被积函数柯特斯系数与被积函数 f(x)和积分区间和积分区间a,b无关无关,且为容易计算的多项式积分且为容易计算的多项式积分.称为称为柯特斯系数柯特斯系数.第32页/共152页第三十二页，共152页。n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/90 12/90 32/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840常用常用(chn yn)的柯特斯系数表的柯特斯系数表第33页/共152页第三十三页，共152页。当当n=1
25、时，柯特斯系数时，柯特斯系数(xsh)为为这时的牛顿这时的牛顿-柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)为一阶求积公式为一阶求积公式(gngsh)，就是我们所熟悉的梯形公式，就是我们所熟悉的梯形公式(gngsh)，即，即第34页/共152页第三十四页，共152页。当当n=2时，柯特斯系数时，柯特斯系数(xsh)为为相应的牛顿相应的牛顿-柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)为二阶求积公式为二阶求积公式(gngsh)，就是辛普森，就是辛普森(simpson)公式公式(gngsh)(又称为抛物形求积公式又称为抛物形求积公式(gngsh)，即，即第35页/共152页第三十五页，共152页。式中式中(k=0,1
26、,2,3,4),h=(b-a)/4.n=4 时的牛顿时的牛顿-柯特斯公式就特别柯特斯公式就特别(tbi)称为柯称为柯特斯公式特斯公式.其形式是其形式是 在柯特斯系数表中在柯特斯系数表中(见书见书p104)看到看到n 7时，柯特斯时，柯特斯系数出现系数出现(chxin)负值，于是有负值，于是有第36页/共152页第三十六页，共152页。特别特别(tbi)地，假定地，假定则有则有这表明在这表明在b-a1时，初始时，初始(ch sh)误差将会引起计算结果误差误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故增大，即计算不稳定，故n 7的牛顿的牛顿-柯特斯公式是不用的柯特斯公式是不用的.第37页/共152
27、页第三十七页，共152页。4.2.2 4.2.2 偶阶求积公式偶阶求积公式偶阶求积公式偶阶求积公式(gngsh)(gngsh)的代数精度的代数精度的代数精度的代数精度 作为插值型求积公式，作为插值型求积公式，n阶牛顿阶牛顿-柯特斯公式至少柯特斯公式至少具有具有n次代数次代数(dish)精度精度(推论推论1).实际的代数实际的代数(dish)精度能否进一步提高呢？精度能否进一步提高呢？先看辛普森公式，它是二阶牛顿先看辛普森公式，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少柯特斯公式，因此至少具有二次代数具有二次代数(dish)精度精度.进一步用进一步用f(x)=x3进行检验，按辛进行检验，按辛普森公式计算
28、得普森公式计算得第38页/共152页第三十八页，共152页。另一方面，直接另一方面，直接(zhji)求积得求积得这时有这时有S=I，即辛普森公式对不超过三次的多项式均能精，即辛普森公式对不超过三次的多项式均能精确成立，又容易验证它对确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常通常(tngchng)是不精是不精确的确的(如取如取a=0,b=1进行验证有，进行验证有，S=5/24I=1/5)，因此，辛，因此，辛普森公式实际上具有三次代数精度普森公式实际上具有三次代数精度.一般地，我们一般地，我们(w men)可以证明下述论断：可以证明下述论断：第39页/共152页第三十九页，共152页。定理定理3 n
29、 阶牛顿阶牛顿-柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)的代数精度至的代数精度至少为少为 证明证明 由定理由定理1已知，无论已知，无论n为奇数或偶数为奇数或偶数(u sh)，插值型求积公式都至少具有，插值型求积公式都至少具有n次代数精度次代数精度.因因此我们证明此我们证明n为偶数为偶数(u sh)的情形，即对的情形，即对n+1次多项次多项式余项为零式余项为零.令令n=2k，设设为任一为任一n+1次多项式，其最高次系数次多项式，其最高次系数(xsh)为为an+1，则它的则它的n+1阶导数为阶导数为第40页/共152页第四十页，共152页。由余项公式由余项公式(gngsh)有有这里这里(zhl)变换为变
30、换为x=a+th，注意，注意xj=a+jh.下面下面(xi mian)我们证明我们证明第41页/共152页第四十一页，共152页。作变换作变换(binhun)u=t-k，则，则容易验证容易验证(u)为奇函数，即为奇函数，即(-u)=-(u)，而奇函数在对称，而奇函数在对称(duchn)区间上的积分为零，所以区间上的积分为零，所以第42页/共152页第四十二页，共152页。定理定理3说明，当说明，当n为偶数时，牛顿为偶数时，牛顿-柯特斯公式柯特斯公式对不超过对不超过n+1次的多项式均能精确成立次的多项式均能精确成立(chngl)，因此，其代数精度可达到因此，其代数精度可达到n+1.正是基于这种考
31、虑，正是基于这种考虑，当当n=2k与与n=2k+1时具有相同的代数精度，因而在时具有相同的代数精度，因而在实用中常采用实用中常采用n为偶数的牛顿为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物柯特斯公式，如抛物形公式形公式(n=2)等等.第43页/共152页第四十三页，共152页。对牛顿对牛顿-柯特斯求积公式通常只用柯特斯求积公式通常只用n=1,2,4时的三个时的三个公式，公式，n=1时即为梯形公式时即为梯形公式(1.1),其余项为其余项为(1.10)式式.n=2时即为辛普森公式时即为辛普森公式(2.3),其代数精度其代数精度(jn d)为为3，可以，可以证明余项可表示为证明余项可表示为其中其中(qzhng)
32、K由由(1.9)式及式及(2.3)式可得式可得4.2.3 4.2.3 辛普森公式辛普森公式辛普森公式辛普森公式(gngsh)(gngsh)的余项的余项的余项的余项第44页/共152页第四十四页，共152页。从而从而(cng r)可得辛普森公式可得辛普森公式(2.3)的余项为的余项为也可直接积分计算也可直接积分计算(j sun)得到得到 对对n=4的柯特斯公式的柯特斯公式(2.4)，其代数，其代数(dish)精度为精度为5。故类似于求。故类似于求(2.3)式的余项可得到柯特斯公式的余项式的余项可得到柯特斯公式的余项为为第45页/共152页第四十五页，共152页。解解：由梯形：由梯形(txng)公
33、式得公式得由辛普森公式由辛普森公式(gngsh)得得 例题例题 分别用梯形分别用梯形(txng)公式、辛普森公式和柯公式、辛普森公式和柯特斯公式计算积分特斯公式计算积分第46页/共152页第四十六页，共152页。由柯特斯公式由柯特斯公式(gngsh)得得积分积分(jfn)的精确值的精确值第47页/共152页第四十七页，共152页。4.3 4.3 复合复合复合复合(fh)(fh)求积公式求积公式求积公式求积公式 从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高.
34、另一方面，插值节点的增多另一方面，插值节点的增多(n(n的增大的增大)，在使用牛顿，在使用牛顿-柯特柯特斯公式时将导致斯公式时将导致(dozh)(dozh)求积系数出现负数求积系数出现负数(当当n8n8时时,牛顿牛顿-柯特斯求积系数会出现负数柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿，即牛顿-柯特斯公式柯特斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高求积精度是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高求积精度.第48页/共152页第四十八页，共152页。为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积分区为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公间划分成若
35、干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式式(梯形梯形(txng)公式或抛物形公式公式或抛物形公式)，然后再利用积分的可，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复合求积公式的基本思想这就是复合求积公式的基本思想.为叙述方便，我们仅讨为叙述方便，我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复合求积公式论各小区间均采用同一低次的求积公式的复合求积公式对各小区间也可分别采用不同的求积公式，也可推出新的对各小区间也可分别采用不同的求积公式，也可推出新的求积公式，读者可按实际问题的具体情况讨论求积公式，读者可按实际问题
36、的具体情况讨论.第49页/共152页第四十九页，共152页。将积分将积分(jfn)区间区间a,bn等等分分,步长步长 xk=a+kh(k=0,1,n),则由定积分则由定积分(jfn)性质知性质知,分点为分点为每个子区间每个子区间(q jin)上的上的积分积分用用低阶求积公式低阶求积公式,然后把所有区间的然后把所有区间的计算结果求和计算结果求和,就得就得到整个区间上积分到整个区间上积分I的近似值。的近似值。所用方法所用方法:第50页/共152页第五十页，共152页。4.3.1 4.3.1 复合复合复合复合(fh)(fh)梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式每个子区间每个子区间xk,xk+1上的积分用
37、梯形上的积分用梯形(txng)公式公式(1.1),得得将积分将积分(jfn)区间区间a,b划分为划分为n等分等分,则则得到得到第51页/共152页第五十一页，共152页。称为复合称为复合(fh)梯形公式，其余项可由梯形公式，其余项可由(1.10)式得式得 记记由于由于(yuy)存在存在f(x)C2a,b，且，且 所以所以(suy)存在存在(a,b)使使 于是于是复合梯形公式的余项复合梯形公式的余项为为 第52页/共152页第五十二页，共152页。当当n时，上式右端括号时，上式右端括号(kuho)内的两个和式均收敛到函内的两个和式均收敛到函数的积分，所以复合梯形公式收敛数的积分，所以复合梯形公式
38、收敛.此外，此外，Tn的求积系数均的求积系数均为正，由定理为正，由定理2知复合梯形公式是稳定的知复合梯形公式是稳定的.可以可以(ky)看出误差是看出误差是h2阶，且由误差公式得到，当阶，且由误差公式得到，当f(x)C2a,b 时，则有时，则有即复合梯形公式是收敛的即复合梯形公式是收敛的.事实上只要事实上只要f(x)Ca,b,则可得则可得到收敛性，因为到收敛性，因为(yn wi)只要把只要把Tn改写为改写为第53页/共152页第五十三页，共152页。4.3.2 4.3.2 复合复合复合复合(fh)(fh)辛普森求积公式辛普森求积公式辛普森求积公式辛普森求积公式 将积分将积分(jfn)区间区间a,
39、b 划分为划分为n等分，在每个子区等分，在每个子区间间xk,xk+1上采用辛普森公式上采用辛普森公式(2.3),若记若记xk+1/2=xk+(1/2)h,则得则得记记称为复合辛普森求积公式称为复合辛普森求积公式(gngsh).其余项由其余项由(2.5)式得式得第54页/共152页第五十四页，共152页。于是于是(ysh)当当 f(x)C 4a,b时时,其求积余项为其求积余项为由由(3.6)式看出，误差阶为式看出，误差阶为h4，收敛性是显然的，事，收敛性是显然的，事实上，只要实上，只要(zhyo)f(x)C a,b则可得到则可得到 收敛性，即收敛性，即此外，由于此外，由于Sn中求积系数均为正数，
40、故知复合中求积系数均为正数，故知复合(fh)辛辛普森公式计算稳定普森公式计算稳定.第55页/共152页第五十五页，共152页。例例3 对于函数对于函数(hnsh)f(x)=sinx/x，给出，给出n=8的函的函数数(hnsh)表，试用复合梯形公式和复合辛普森公式计表，试用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分算积分xf(x)01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709 解解 将积分区间将积分区间0,1划分为划分为8等分，等分，用复合梯形用复合梯形(t
41、xng)公式求得公式求得而将积分区间而将积分区间0,1划分划分(hu fn)为为24等分，用复合辛普森公式求得等分，用复合辛普森公式求得并估计误差并估计误差.第56页/共152页第五十六页，共152页。比较比较(bjio)上面两个计算结果上面两个计算结果T8与与S4，它们都需要提供，它们都需要提供9个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准确值个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准确值I=0.9460831比较比较(bjio)，应用复合梯形公式计算的结果，应用复合梯形公式计算的结果T8=0.9456909只有只有2位有效数字，而应用复合辛普森公式计算位有效数字，而应用复合辛普森公式计算
42、的结果的结果S4=0.9460832却有却有6位有效数字位有效数字.为了为了(wi le)利用余项公式估计误差，要求利用余项公式估计误差，要求f(x)=sinx/x的的高阶导数，由于高阶导数，由于所以所以(suy)有有第57页/共152页第五十七页，共152页。于是于是(ysh)复合梯形公式复合梯形公式(gngsh)误差为误差为复合复合(fh)辛普森公式误差为辛普森公式误差为第58页/共152页第五十八页，共152页。例例4 利用利用复合梯形公式复合梯形公式计算计算 使其误差使其误差限为限为10-4，应将区间，应将区间0,1几等分几等分?解解 利用利用(lyng)(lyng)例例3 3的结果的
43、结果取取n=17可满足要求可满足要求.由复合由复合(fh)(fh)梯形公式的余项得梯形公式的余项得第59页/共152页第五十九页，共152页。例例5 利用利用复合辛普森公式复合辛普森公式计算计算 使其误使其误差限为差限为10-4，应将区间，应将区间0,1几等分几等分?由复化合由复化合(huh)(huh)辛普森公式的余项得辛普森公式的余项得因此因此(ync)只需将区间只需将区间0,1二等分，即取二等分，即取m=1(n=2).解解 利用利用(lyng)(lyng)例例3 3的结果的结果第60页/共152页第六十页，共152页。前面前面(qin mian)用复合梯形公式计算此题，满足用复合梯形公式计
44、算此题，满足相同的精度需要将区间相同的精度需要将区间0,1划分划分17等分，可见复合等分，可见复合辛普森公式的精度的确比复合梯形公式精度高同样也辛普森公式的精度的确比复合梯形公式精度高同样也可用可用|S4m-S2m|来控制计算的精度来控制计算的精度.这就是下面要介绍的龙贝格求积这就是下面要介绍的龙贝格求积公式公式.参见参见(cnjin)(cnjin)书书p108p108的例的例4 4讲解讲解.第61页/共152页第六十一页，共152页。4.4 4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式龙贝格求积公式龙贝格求积公式(gngsh)(gngsh)4.4.1 梯形梯形(txng)法的递推化法的递推化 上节介
45、绍的复合求积方法可提高求积精度，实际计算上节介绍的复合求积方法可提高求积精度，实际计算时若精度不够可将步长逐次分半时若精度不够可将步长逐次分半.设将区间设将区间 a,b分为分为n等等分，共有分，共有(n yu)n+1个分点，如果将求积区间再分一个分点，如果将求积区间再分一次，则分点增至次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个积分值联个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考虑系起来加以考虑.并注意到每个子区间并注意到每个子区间xk,xk+1经过二分经过二分只增加了一个分点只增加了一个分点第62页/共152页第六十二页，共152页。设设h=(b-a)/n,xk=a+kh (k=0,1,n),
46、在在xk,xk+1上用上用(shn yn)梯形公式得梯形公式得在在xk,xk+1上用复合上用复合(fh)梯形公式得梯形公式得所以所以(suy)第63页/共152页第六十三页，共152页。从从0到到n-1对对k累加求和累加求和(qi h)得得 这就是递推的复合这就是递推的复合(fh)梯形公式梯形公式.从这一公式可以看出，将区间对分后，原复合梯从这一公式可以看出，将区间对分后，原复合梯形公式的值形公式的值Tn作为一个作为一个(y)整体保留整体保留.只需计算出只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量复
47、计算原节点的函数值，从而减少了计算量.即即第64页/共152页第六十四页，共152页。例例5 计算积分值计算积分值它在它在x=0的值定义为的值定义为f(0)=1，而，而f(1)=0.8414709，根据，根据梯形梯形(txng)公式计算得公式计算得 解解 我们先对整个区间我们先对整个区间0,1使用梯形公式使用梯形公式.对于对于函数函数将区间二等分将区间二等分,再求出中点再求出中点(zhn din)的函数值的函数值f(1/2)=0.9588510,从而利用递推公式从而利用递推公式(4.1)，有，有第65页/共152页第六十五页，共152页。进一步二分进一步二分(r fn)求积区间，并计算新分点上
48、的函数值求积区间，并计算新分点上的函数值f(1/4)=0.9896158,f(3/4)=0.9088516,再再(4.1)式，有式，有这样不断二分下去这样不断二分下去(xi q)，计算，计算结果见表结果见表.k为二分次数，为二分次数，n=2k kTn123456789100.93979330.94451350.94569090.94598500.94605960.94607690.94608150.94608270.94608300.9460831由表可见，用复合梯形公式由表可见，用复合梯形公式计算积分计算积分I要达到要达到7位有效数字的位有效数字的精度需要二分精度需要二分(r fn)区间区间
49、10次，次，即要有分点即要有分点1025个，计算量很大个，计算量很大.第66页/共152页第六十六页，共152页。4.4.2 4.4.2 外推技巧外推技巧外推技巧外推技巧(jqio)(jqio)上面讨论说明由梯形公式出发，将区间上面讨论说明由梯形公式出发，将区间a,b逐逐次二分可提高求积公式的精度次二分可提高求积公式的精度(jn d)，上述加速过，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是梯形公式的余项展程还可继续下去，其理论依据是梯形公式的余项展开，设开，设若记若记Tn=T(h)，当区间，当区间(q jin)a,b划分为划分为2n等分时，等分时，则有则有并且有并且有可以证明梯形公式余项可展开成可
50、以证明梯形公式余项可展开成级数形式级数形式，即，即第67页/共152页第六十七页，共152页。定理定理(dngl)4 设设f(x)Ca,b，则有，则有其中其中I为积分值，系数为积分值，系数(xsh)l(l=1,2)与与h 无关无关.此定理可利用此定理可利用f(x)的泰勒展开的泰勒展开(zhn ki)推导得到，推导得到，证略证略.定理定理4表明表明T(h)I是是O(h2)阶阶,若用若用h/2代替代替h,有有用用4乘乘(4.3)式减去式减去(4.2)式再除式再除3记为记为S(h)，则得，则得第68页/共152页第六十八页，共152页。这里系数这里系数 l与与h无关，这样构造的无关，这样构造的S(h