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1、现代现代(xindi)物化电子湖南大学统计热物化电子湖南大学统计热力学绪论力学绪论第一页，共40页。1.1 绪论(xln)统计热力学是联系微观(wigun)和宏观的桥梁统计热力学的特点统计热力学体系的分类三种统计方法热力学分布和微观(wigun)状态玻尔兹曼熵定律统计热力学的基本假设第1页/共40页第二页，共40页。1.1.1 1.1.1 绪论统计绪论统计(tngj)(tngj)热力学的研热力学的研究目的究目的经典热力学：以宏观平衡体系经典热力学：以宏观平衡体系(tx)为为研究对象研究对象,以热力学定律为基础以热力学定律为基础,严密的严密的演绎推理，寻找规律演绎推理，寻找规律.第2页/共40页
2、第三页，共40页。量子力学量子力学(lin z l xu)微观微观 唯理唯理 研究单个微观粒子（原子、分子）的运研究单个微观粒子（原子、分子）的运动状态动状态(zhungti)，通过解薛定谔方程得，通过解薛定谔方程得到粒子的波函数和能态，可获得粒子的角到粒子的波函数和能态，可获得粒子的角动量、转动惯量、振动频率等。动量、转动惯量、振动频率等。1.1.1 1.1.1 绪论绪论(xln)(xln)统计热力学的研究目的统计热力学的研究目的第3页/共40页第四页，共40页。1.1.1 1.1.1 绪论统计热力学的研究绪论统计热力学的研究(ynji)(ynji)目的目的第4页/共40页第五页，共40页。
3、微观微观量子量子力学力学微观到宏观微观到宏观统计力学统计力学宏观宏观化学热力学化学热力学化学动力学化学动力学统计力学有两个统计力学有两个(lin )基本出发点：基本出发点：一是：宏观物质由大量的粒子构成；一是：宏观物质由大量的粒子构成；二是：热现象是大量粒子运动的整体表现。二是：热现象是大量粒子运动的整体表现。粒子：泛指分子、离子、电子、光子等微观粒子粒子：泛指分子、离子、电子、光子等微观粒子宏观物质与微观粒子的本质性差别：有无温度宏观物质与微观粒子的本质性差别：有无温度1.1.1 1.1.1 绪论统计热力学的研究绪论统计热力学的研究(ynji)(ynji)目的目的第5页/共40页第六页，共4
4、0页。优点：优点：将系统的微观性质与宏观性质联系起来，对于简单分子计将系统的微观性质与宏观性质联系起来，对于简单分子计算结果常是令人满意的。不需要进行复杂的低温量热实验，算结果常是令人满意的。不需要进行复杂的低温量热实验，就能求得相当准确的熵值。就能求得相当准确的熵值。局限性：局限性：计算时必须假定结构的模型，而人们对物质结构的认识计算时必须假定结构的模型，而人们对物质结构的认识(rn(rn shi)shi)也在不断深化，这势必引入一定的近似性。另外，对大也在不断深化，这势必引入一定的近似性。另外，对大的复杂分子以及凝聚系统，计算尚有困难。的复杂分子以及凝聚系统，计算尚有困难。1.1.21.1
5、.2绪论统计绪论统计(tngj)(tngj)热力学的特点热力学的特点第6页/共40页第七页，共40页。1.1.3 1.1.3 1.1.3 1.1.3 统计热力学的研究统计热力学的研究统计热力学的研究统计热力学的研究(ynji)(ynji)(ynji)(ynji)对象体系的对象体系的对象体系的对象体系的分类分类分类分类第7页/共40页第八页，共40页。粒子之间的相互作用非常微弱，因此可以忽略不计，所以独立(dl)粒子系统严格讲应称为近独立(dl)粒子系统。这种系统的总能量应等于各个粒子能量之和，即：独立独立独立独立(dl)(dl)子体系子体系子体系子体系（system of independen
6、t particlessystem of independent particles）第8页/共40页第九页，共40页。相依相依相依相依(xingy)(xingy)粒子体系粒子体系粒子体系粒子体系（system of interacting particlessystem of interacting particles）相依粒子系统又称为非独立粒子系统，系统中粒子之间的相互作用不能忽略，系统的总能量除了(ch le)包括各个粒子的能量之和外，还包括粒子之间的相互作用的位能:第9页/共40页第十页，共40页。定域子体系定域子体系(tx)（localized system）定域子系统又称为定位系
7、统，这种系统中的定域子系统又称为定位系统，这种系统中的粒子彼此可以分辨。粒子彼此可以分辨。例如例如:在晶体中，粒子在固定的晶格位置在晶体中，粒子在固定的晶格位置(wi zhi)(wi zhi)上作振动，每个位置上作振动，每个位置(wi zhi)(wi zhi)可以想象给可以想象给予编号而加以区分，所以定位系统的微观予编号而加以区分，所以定位系统的微观态数是很大的。态数是很大的。第10页/共40页第十一页，共40页。离域子系统离域子系统（non-localized system）离域子系统又称为非定位系统，离域子系统又称为非定位系统，离域子系统又称为非定位系统，离域子系统又称为非定位系统，基本粒
8、子之间不可区分。基本粒子之间不可区分。基本粒子之间不可区分。基本粒子之间不可区分。例如例如例如例如:气体的分子，总是处于混乱运动之气体的分子，总是处于混乱运动之气体的分子，总是处于混乱运动之气体的分子，总是处于混乱运动之中，彼此无法分辨，所以气体是中，彼此无法分辨，所以气体是中，彼此无法分辨，所以气体是中，彼此无法分辨，所以气体是离域子系统，它的微观状态数在离域子系统，它的微观状态数在离域子系统，它的微观状态数在离域子系统，它的微观状态数在粒子数相同粒子数相同粒子数相同粒子数相同(xin tn)(xin tn)的情况的情况的情况的情况下要比定域子系统少得多。下要比定域子系统少得多。下要比定域子
9、系统少得多。下要比定域子系统少得多。第11页/共40页第十二页，共40页。第12页/共40页第十三页，共40页。1.1.4 1.1.4 三种统计三种统计(tngj)(tngj)方法方法第13页/共40页第十四页，共40页。Maxwell-Boltzmann统计(tngj)英国物理学家克拉克英国物理学家克拉克.麦克麦克斯 韦（斯 韦（James Clerk James Clerk M a x w e l lM a x w e l l，1 8 3 11 8 3 118791879）（左图）是经典电）（左图）是经典电磁理论的奠基人。但他兴磁理论的奠基人。但他兴趣广泛，才智过人，不但趣广泛，才智过人，
10、不但是建立各种模型来类比不是建立各种模型来类比不同物理现象的能手，更是同物理现象的能手，更是运用数学工具来分析物理运用数学工具来分析物理问题的大师问题的大师(dsh)(dsh)。他在。他在热力学领域中也做出了贡热力学领域中也做出了贡献。献。18591859年他用统计方法导出年他用统计方法导出了热平衡态中气体分子的了热平衡态中气体分子的“麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律”。克拉克克拉克.麦克斯韦麦克斯韦(mi k s wi)第14页/共40页第十五页，共40页。Maxwell-Boltzmann统计(tngj)18771877年，奥地利物理学家玻尔兹曼年，奥地利物理学家玻尔兹曼（Ludwig
11、 Eduard BoltzmannLudwig Eduard Boltzmann，1844184419061906）（右图）发现了宏观）（右图）发现了宏观的熵与体系的热力学几率的熵与体系的热力学几率(j l)(j l)的关的关系。他在使科学界接受热力学理论、系。他在使科学界接受热力学理论、尤其是热力学第二定律方面立下了尤其是热力学第二定律方面立下了汗马功劳。汗马功劳。Ludwig Eduard Boltzmann第15页/共40页第十六页，共40页。Bose-Einstein统计统计(tngj)1924年，印度物理学家(w l xu ji)玻色提出了有关光粒子统计的一项重要理论，并将这一结果寄
12、给爱因斯坦。爱因斯坦将这一理论扩展到统计某一特定原子的领域中，发展成现在的Bose-Einstein统计。并预测，如果这类原子气体被冷却到非常低的温度时，所有的原子都将突然以最低能量状态聚集在一起，因此，它被称为“凝聚”（condensation）。这就是有名的玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensate，简称BEC）。美国麻省理工学院的Wolfgang Ketterle和科罗拉多大学的卡尔.威曼（Carl Wieman），艾里克.康奈尔（Eric Cornell）因实验上实现玻色爱因斯坦凝聚（简称BEC）现象而获2001年度诺贝尔物理学奖。第16页/共40页第十七页，
13、共40页。费米(fi m)-狄拉克统计19261926年初，美籍意大利物年初，美籍意大利物年初，美籍意大利物年初，美籍意大利物理学费米理学费米理学费米理学费米E.E.（Enrico Enrico Fermi 1901-1954)Fermi 1901-1954)根据泡根据泡根据泡根据泡利不相容原理，提出电子利不相容原理，提出电子利不相容原理，提出电子利不相容原理，提出电子应服从的统计规律。几个应服从的统计规律。几个应服从的统计规律。几个应服从的统计规律。几个(j)(j)月以后，英国物理月以后，英国物理月以后，英国物理月以后，英国物理学家学家学家学家P.A.M.P.A.M.狄拉克地提出狄拉克地提出
14、狄拉克地提出狄拉克地提出了相同的理论。因此后来了相同的理论。因此后来了相同的理论。因此后来了相同的理论。因此后来称由费米和狄喇克所提出称由费米和狄喇克所提出称由费米和狄喇克所提出称由费米和狄喇克所提出的处理服从不相容原理的的处理服从不相容原理的的处理服从不相容原理的的处理服从不相容原理的全同粒子的统计方法为全同粒子的统计方法为全同粒子的统计方法为全同粒子的统计方法为“费米费米费米费米-狄喇克统计狄喇克统计狄喇克统计狄喇克统计”。Enrico Enrico Fermi 1901-1954 Paul Adrie Maurice Dirac19021984 第17页/共40页第十八页，共40页。1.
15、1.5 分布(X)和微观(wigun)状态数（）分布分布分布分布(fnb)(fnb)（构型）：（构型）：（构型）：（构型）：微观粒子的任何排布方式。微观粒子的任何排布方式。微观粒子的任何排布方式。微观粒子的任何排布方式。微观状态数：微观状态数：微观状态数：微观状态数：每一种（分布每一种（分布每一种（分布每一种（分布(fnb)(fnb)）构型中的排列方式数）构型中的排列方式数）构型中的排列方式数）构型中的排列方式数()。=6=6 第18页/共40页第十九页，共40页。例题(lt)：四个红球，四个黑球，除颜色不同外，其余都相四个红球，四个黑球，除颜色不同外，其余都相四个红球，四个黑球，除颜色不同外
16、，其余都相四个红球，四个黑球，除颜色不同外，其余都相同，分布于左右两侧的八个槽中，每个槽只能容同，分布于左右两侧的八个槽中，每个槽只能容同，分布于左右两侧的八个槽中，每个槽只能容同，分布于左右两侧的八个槽中，每个槽只能容纳一球，各球在每个槽中的机会均等。试分析其纳一球，各球在每个槽中的机会均等。试分析其纳一球，各球在每个槽中的机会均等。试分析其纳一球，各球在每个槽中的机会均等。试分析其分布分布分布分布X X（构型）以及相应的微观（构型）以及相应的微观（构型）以及相应的微观（构型）以及相应的微观(wigun)(wigun)状态数状态数状态数状态数 .第19页/共40页第二十页，共40页。分布分布
17、1：左：左4R,右右4B分布分布2：左：左3R1B,右右3B1R分布分布3：左：左2R2B,右右2B2R分布分布4：左：左1R3B,右右1B3R 分布分布5：左：左4B,右右4R排列排列(pili)方式数以分布方式数以分布2为为例：例：左边左边(zu bian)4种方式种方式1黑球在黑球在A，红球在，红球在B/C/D2黑球在黑球在B，红球在，红球在A/C/D3黑球在黑球在C，红球在，红球在A/B/D4黑球在黑球在D，红球在，红球在A/B/C右边右边4种方式种方式(fngsh)1红球在红球在A，黑球在，黑球在B/C/D2红球在红球在B，黑球在，黑球在A/C/D3红球在红球在C，黑球在，黑球在A/
18、B/D4红球在红球在D，黑球在，黑球在A/B/C分布分布2的微观状态数为：的微观状态数为：4416解答：解答：第20页/共40页第二十一页，共40页。各分布的微观状态各分布的微观状态各分布的微观状态各分布的微观状态(zhungti)(zhungti)数分别为：数分别为：数分别为：数分别为：分布分布分布分布1 1：1 111111 1分布分布分布分布2 2：2 2 44 441616分布分布分布分布3 3：3*3*66 663636分布分布分布分布4 4：4 4 44 441616分布分布分布分布5 5：5 5 11 111 1讨论：讨论：讨论：讨论：其中分布其中分布其中分布其中分布3 3的微观
19、状态的微观状态的微观状态的微观状态(zhungti)(zhungti)最大，称最概然分布（最可几分布），最大，称最概然分布（最可几分布），最大，称最概然分布（最可几分布），最大，称最概然分布（最可几分布），加上标加上标加上标加上标*表示以示区别。表示以示区别。表示以示区别。表示以示区别。总的微观状态总的微观状态总的微观状态总的微观状态(zhungti)(zhungti)数数数数 为：为：为：为：1 1 2 2 3*3*4 4 5 5 1 11616363616161 17070当微粒数当微粒数当微粒数当微粒数N N很大时，很大时，很大时，很大时，*趋近于趋近于趋近于趋近于 。并存在如下关系：。
20、并存在如下关系：。并存在如下关系：。并存在如下关系：i i *第21页/共40页第二十二页，共40页。最概然分布最概然分布最概然分布最概然分布(fnb)(fnb)most probable distributionmost probable distribution最概然分布最概然分布最概然分布最概然分布(fnb):(fnb):出现的概率最大的分布出现的概率最大的分布出现的概率最大的分布出现的概率最大的分布(fnb)(fnb)可可见见(kjin),最最概概然然分分布布的的微微观观状状态态数数可可以以代代替替总总的的微微观观状状态态数数。即即最最概概然然分分布布 可可 以以 代代 替替 一一 切
21、切 分分 布布。lnlnln *ln *当粒子数当粒子数当粒子数当粒子数N N很大时很大时很大时很大时第22页/共40页第二十三页，共40页。系统系统系统系统(xtng)(xtng)总微态数总微态数总微态数总微态数 系统所有系统所有(suyu)(suyu)可能的能级分布取决于系统的可能的能级分布取决于系统的 N N，U U，V V，系统的，系统的 N N，U U，V V 确定了，系统所有确定了，系统所有(suyu)(suyu)可能的能级分布也就确定了，可能的能级分布也就确定了，也就确定了。也就确定了。即即 为为 N N，U U，V V 的函数，即的函数，即 (N(N，U U，V)V)当系统的状
22、态确定了，则当系统的状态确定了，则 N N，U U，V V也确定了，也确定了，也就确定了，即也就确定了，即 为系统的一为系统的一个热力学状态函数。个热力学状态函数。第23页/共40页第二十四页，共40页。1.1.6 Boltzmann1.1.6 Boltzmann1.1.6 Boltzmann1.1.6 Boltzmann熵定理熵定理熵定理熵定理(dngl)(dngl)(dngl)(dngl)玻玻耳耳兹兹曼曼于于玻玻耳耳兹兹曼曼于于18771877年年在在年年在在“论论热热力力学学第第二二定定律律与与几几率率的的关关系系，或或平平衡衡定定律律论论热热力力学学第第二二定定律律与与几几率率的的关关
23、系系，或或平平衡衡定定律律”的的著著名名的的著著名名论论文文中中，运运用用几几率率方方法法进进行行推推算算，把把熵熵论论文文中中，运运用用几几率率方方法法进进行行推推算算，把把熵熵S S与与热热力力学学状状态态的的几几率率与与热热力力学学状状态态的的几几率率w w联联系系起起来来，联联系系起起来来，从从而而从从而而(cng r)(cng r)得得出出热热力力学学第第二二定定律律是是关关于于几几率率定定律律的的重重要要结结论论。得得出出热热力力学学第第二二定定律律是是关关于于几几率率定定律律的的重重要要结结论论。19001900年年，年年，物物理理学学家家普普朗朗克克（物物理理学学家家普普朗朗克
24、克（M.Plank)M.Plank)将将玻玻耳耳兹兹曼曼熵熵与与热热力力学学几几率率的的关关系系简简写写为为：将将玻玻耳耳兹兹曼曼熵熵与与热热力力学学几几率率的的关关系系简简写写为为：S=klogWS=klogW这这一一公公式式至至今今仍仍刻刻在在玻玻耳耳兹兹曼曼的的墓墓碑碑上上。这这一一公公式式至至今今仍仍刻刻在在玻玻耳耳兹兹曼曼的的墓墓碑碑上上。S Skln kln （k=R/NOk=R/NO为玻尔兹曼常数为玻尔兹曼常数为玻尔兹曼常数为玻尔兹曼常数(chngsh)(chngsh)）所以熵实际上代表了系统总微态数的大小。所以熵实际上代表了系统总微态数的大小。所以熵实际上代表了系统总微态数的大
25、小。所以熵实际上代表了系统总微态数的大小。第24页/共40页第二十五页，共40页。熵的统计熵的统计(tngj)意义：意义：从上所述，从上所述，熵的大小代表熵的大小代表(dibio)了系了系统总微态数的统总微态数的大小，而系统大小，而系统的总微态数越的总微态数越大，系统的混大，系统的混乱度也就越大，乱度也就越大，所以，熵又是所以，熵又是系统混乱度的系统混乱度的量度。量度。第25页/共40页第二十六页，共40页。1.1.7 1.1.7 统计热力学的基本统计热力学的基本统计热力学的基本统计热力学的基本(jbn)(jbn)假定假定假定假定 在在在在 U U、V V、N N 一一一一定定定定的的的的体体
26、体体系系系系中中中中，每每每每一一一一种种种种(y(y zhn)zhn)微微微微观观观观状状状状态态态态出出出出现现现现的概率相等（等概率原理）。的概率相等（等概率原理）。的概率相等（等概率原理）。的概率相等（等概率原理）。体体体体系系系系的的的的宏宏宏宏观观观观量量量量是是是是相相相相应应应应微微微微观观观观量量量量的的的的统统统统计计计计平平平平均均均均值值值值，如如如如用用用用 表表表表示示示示某某某某一一一一宏宏宏宏观量，则观量，则观量，则观量，则nPi 是体系第是体系第 i 个微态出现的概率个微态出现的概率(gil)；Ai 是相应物理量在第是相应物理量在第 i 个微态中的取值。个微态
27、中的取值。第26页/共40页第二十七页，共40页。基本概念思考基本概念思考题题第27页/共40页第二十八页，共40页。2023/2/272023/2/271.1.统计统计(tngj)(tngj)热热力学主要研究（力学主要研究（）(A)(A)平衡体系平衡体系(tx)(tx)(B)(B)近平衡体系近平衡体系(tx)(tx)(C)(C)非平衡体系非平衡体系(tx)(tx)(D)(D)耗散结构耗散结构(E)(E)单个粒子的行为单个粒子的行为 第28页/共40页第二十九页，共40页。2023/2/272023/2/272.2.体系的微观体系的微观(wigun)(wigun)性质和宏观性质是通过（性质和宏
28、观性质是通过（）联系起来的）联系起来的(A)(A)(A)(A)热力学热力学热力学热力学(B)(B)(B)(B)化学化学化学化学(huxu)(huxu)(huxu)(huxu)动力学动力学动力学动力学 (C)(C)(C)(C)统计力学统计力学统计力学统计力学 (D)(D)(D)(D)经典力学经典力学经典力学经典力学 (E)(E)(E)(E)量子力学量子力学量子力学量子力学 第29页/共40页第三十页，共40页。2023/2/272023/2/273.3.统计热力学研究统计热力学研究(ynji)(ynji)的主要对象是：的主要对象是：（）(A)(A)(A)(A)微观粒子的各种变化规律微观粒子的各种
29、变化规律微观粒子的各种变化规律微观粒子的各种变化规律(B)(B)(B)(B)宏观体系的各种性质宏观体系的各种性质宏观体系的各种性质宏观体系的各种性质(C)(C)(C)(C)微观粒子的运动微观粒子的运动微观粒子的运动微观粒子的运动(yndng)(yndng)(yndng)(yndng)规律规律规律规律(D)(D)(D)(D)宏观系统的平衡性质宏观系统的平衡性质宏观系统的平衡性质宏观系统的平衡性质(E)(E)(E)(E)体系的宏观性质与微观结构的关系体系的宏观性质与微观结构的关系体系的宏观性质与微观结构的关系体系的宏观性质与微观结构的关系 第30页/共40页第三十一页，共40页。2023/2/27
30、2023/2/274.4.下述诸体系下述诸体系(tx)(tx)中，属独粒子体系中，属独粒子体系(tx)(tx)的是：（的是：（）(A)(A)纯液体纯液体 (B)(B)理想液态溶液理想液态溶液 (C)(C)理想的原子晶体理想的原子晶体(jngt)(jngt)(D)(D)理想气体理想气体 (E)(E)真实气体真实气体 第31页/共40页第三十二页，共40页。2023/2/272023/2/275.5.5.5.5.5.对于一个对于一个对于一个对于一个对于一个对于一个U,N,VU,N,VU,N,VU,N,VU,N,VU,N,V确定的体系，其微观状态数最确定的体系，其微观状态数最确定的体系，其微观状态数
31、最确定的体系，其微观状态数最确定的体系，其微观状态数最确定的体系，其微观状态数最大的分布就是大的分布就是大的分布就是大的分布就是大的分布就是大的分布就是(jish)(jish)(jish)(jish)(jish)(jish)最可几分布，得出这一最可几分布，得出这一最可几分布，得出这一最可几分布，得出这一最可几分布，得出这一最可几分布，得出这一结论的理论依据是：（结论的理论依据是：（结论的理论依据是：（结论的理论依据是：（结论的理论依据是：（结论的理论依据是：（）(A)(A)(A)(A)玻兹曼分布定律玻兹曼分布定律 (B)(B)(B)(B)等几率假设等几率假设(jish)(jish)(C)(C)
32、(C)(C)分子运动论分子运动论 (D)(D)(D)(D)统计学原理统计学原理 (E)(E)(E)(E)能量均分原理能量均分原理 第32页/共40页第三十三页，共40页。2023/2/272023/2/27 6.6.6.在统计在统计在统计(tngj)(tngj)(tngj)热力学中，对物系的分类按其组成的粒子能否被热力学中，对物系的分类按其组成的粒子能否被热力学中，对物系的分类按其组成的粒子能否被分辨来进行，按此原则：（分辨来进行，按此原则：（分辨来进行，按此原则：（）(A)气体(qt)和晶体皆属定域子体系(B)气体(qt)和晶体皆属离域子体系(C)气体(qt)属离域子体系而晶体属定域子体系(
33、D)气体(qt)属定域子体系而晶体属离域子体系第33页/共40页第三十四页，共40页。2023/2/272023/2/277.7.7.对给定的热力学体系对给定的热力学体系对给定的热力学体系(tx),(tx),(tx),任何分布应满足：（任何分布应满足：（任何分布应满足：（）(A)SNi=N(B)SNiei=U(C)N 及V 一定(ydng)(D)SNi=N 及 SNiei=U 第34页/共40页第三十五页，共40页。2023/2/272023/2/278.8.8.宏观宏观宏观(hnggun)(hnggun)(hnggun)测知的某种物理量实际上测知的某种物理量实际上测知的某种物理量实际上是相应
34、微观量的是相应微观量的是相应微观量的()()()算术平均值；几何(j h)平均值；综合反映；统计平均值 第35页/共40页第三十六页，共40页。2023/2/272023/2/27 9.9.9.一个总微观一个总微观一个总微观(wigun)(wigun)(wigun)状态数为状态数为状态数为W W W 的热力学的热力学的热力学平衡体系平衡体系平衡体系,其某一个微观其某一个微观其某一个微观(wigun)(wigun)(wigun)状态出现状态出现状态出现的概率为的概率为的概率为()()()(A)(A)1/WW ；(B)(B)lnlnWW ；(C)(C)W；(D)(D)exp(exp(W)第36页/共40页第三十七页，共40页。2023/2/272023/2/2710.10.10.等概率原理等概率原理等概率原理(yunl)(yunl)(yunl)只适用于只适用于只适用于()(A)非孤立体系；(B)处在平衡状态(zhungti)的孤立体系；(C)未达到平衡的孤立体系；(D)处在平衡状态(zhungti)的非孤立体系；(E)近平衡的孤立体系 第37页/共40页第三十八页，共40页。下节内容下节内容(nirng)请先请先预习排列组合知识预习排列组合知识第38页/共40页第三十九页，共40页。第39页/共40页第四十页，共40页。